{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nDany jest stożek o objętości 18π , którego przekrojem osiowym jest trójkąt ABC (zobacz rysunek).\nKąt CBA jest kątem nachylenia tworzącej l tego stożka do płaszczyzny jego podstawy.\nTangens kąta CBA jest równy 2.\nWynika stąd, że wysokość h tego stożka jest równa\nA. 12\nB. 6\nC. 4\nD. 2\n7\na =\n6\na =\n5\na =\n4\na =\nH\nC\nG\nF\nE\nD\nA\nB\nl\nh\nA\nB\nC\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza\nzwiązki miarowe w wielościanach\ni bryłach obrotowych z\nzastosowaniem trygonometrii (9.b).\nWersja X\nWersja Y\nB\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadania otwarte\nUwaga: Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(12\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu\n\nSześcian ma 6 ścian, każda jest kwadratem o boku \\(a\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz bok \\(a\\) z pola powierzchni.**\n\n\\[P_c = 6a^2 = 12\\]\n\n\\[a^2 = 2\\]\n\n\\[a = \\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2: Policz sumę długości wszystkich krawędzi.**\n\nSześcian ma 12 równych krawędzi, więc:\n\n\\[L = 12a = 12\\sqrt{2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(12\\sqrt{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie\n\nMamy \\(a = \\sqrt{2}\\). Sprawdzamy, czy pole powierzchni faktycznie wynosi \\(12\\):\n\n\\[P_c = 6a^2 = 6 \\cdot (\\sqrt{2})^2 = 6 \\cdot 2 = 12 \\checkmark\\]\n\nSuma krawędzi:\n\n\\[L = 12 \\cdot \\sqrt{2} = 12\\sqrt{2} \\checkmark\\]\n\nZgadza się.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego:\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]\nDla sześcianu (\\(a = b = c\\)) upraszcza się to do:\n\\[P_c = 6a^2\\]\nTego wzoru użyliśmy w Kroku 1 do wyznaczenia długości krawędzi.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(6\\sqrt{2}\\) - policzono tylko **połowę** krawędzi (6 zamiast 12), np. pomyłka \"6 krawędzi\" zamiast 12 |\n| B | \\(3\\sqrt{2}\\) - wzięto \\(3a\\) zamiast \\(12a\\), czyli policzono tylko krawędzie jednej ściany lub pomieszano wzory |\n| D | \\(8\\sqrt{2}\\) - wzięto \\(8a\\), czyli liczbę wierzchołków sześcianu zamiast liczbę krawędzi |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sześcian ma **12 krawędzi**, nie 8 (tyle jest wierzchołków) i nie 6 (tyle jest ścian). To najczęstsze źródło błędu w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z \\(P_c = 6a^2 = 12\\) wynika \\(a^2 = 2\\), więc \\(a = \\sqrt{2}\\). Nie wolno zatrzymać się na \\(a^2 = 2\\) i napisać \\(L = 12 \\cdot 2 = 24\\) - trzeba wziąć pierwiastek!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(12\\sqrt{2} \\neq 12 \\cdot 2\\). Pamiętaj, że \\(\\sqrt{2} \\approx 1{,}41\\), więc wynik jest mniejszy niż 24.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Krawędź z pola powierzchni\nSześcian ma \\(6\\) kwadratowych ścian o boku \\(a\\). Pole całkowite: \\(P_c = 6a^2\\).\n\\[6a^2 = 12 \\Rightarrow a^2 = 2 \\Rightarrow a = \\sqrt{2}.\\]\nSuma wszystkich \\(12\\) krawędzi: \\(12a = 12\\sqrt{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(a = \\sqrt{2}\\): pole jednej ściany \\((\\sqrt{2})^2 = 2\\); pole całkowite \\(6\\cdot 2 = 12\\) ✓. Suma krawędzi \\(12\\sqrt{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6\\sqrt{2}\\)** - tylko \\(6\\) krawędzi zamiast \\(12\\).\n- **B. \\(3\\sqrt{2}\\)** - tylko \\(3\\) krawędzie.\n- **D. \\(8\\sqrt{2}\\)** - błąd rachunkowy.\n\n**Klucz:** sześcian ma \\(12\\) krawędzi, \\(6\\) ścian. \\(P_c = 6a^2\\), \\(\\sum\\text{krawędzi} = 12a\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 25. (1 pkt)<br>Dany jest stożek o objętości 18π , którego przekrojem osiowym jest trójkąt ABC (zobacz rysunek).<br>Kąt CBA jest kątem nachylenia tworzącej l tego stożka do płaszczyzny jego podstawy.<br>Tangens kąta CBA jest równy 2.<br>Wynika stąd, że wysokość h tego stożka jest równa<br>A. 12<br>B. 6<br>C. 4<br>D. 2<br>7<br>a =<br>6<br>a =<br>5<br>a =<br>4<br>a =<br>H<br>C<br>G<br>F<br>E<br>D<br>A<br>B<br>l<br>h<br>A<br>B<br>C</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 25. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stereometria. Zdający wyznacza</li></ol>\n<p>związki miarowe w wielościanach<br>i bryłach obrotowych z<br>zastosowaniem trygonometrii (9.b).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>B<br>C<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zadania otwarte<br>Uwaga: Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki<br>zadania.</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(12\\sqrt{2}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu</h4>\n<p>Sześcian ma 6 ścian, każda jest kwadratem o boku \\(a\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz bok \\(a\\) z pola powierzchni.</strong></p>\n<p>\\[P_c = 6a^2 = 12\\]</p>\n<p>\\[a^2 = 2\\]</p>\n<p>\\[a = \\sqrt{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Policz sumę długości wszystkich krawędzi.</strong></p>\n<p>Sześcian ma 12 równych krawędzi, więc:</p>\n<p>\\[L = 12a = 12\\sqrt{2}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(12\\sqrt{2}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie</h4>\n<p>Mamy \\(a = \\sqrt{2}\\). Sprawdzamy, czy pole powierzchni faktycznie wynosi \\(12\\):</p>\n<p>\\[P_c = 6a^2 = 6 \\cdot (\\sqrt{2})^2 = 6 \\cdot 2 = 12 \\checkmark\\]</p>\n<p>Suma krawędzi:</p>\n<p>\\[L = 12 \\cdot \\sqrt{2} = 12\\sqrt{2} \\checkmark\\]</p>\n<p>Zgadza się.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego:<br>\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]<br>Dla sześcianu (\\(a = b = c\\)) upraszcza się to do:<br>\\[P_c = 6a^2\\]<br>Tego wzoru użyliśmy w Kroku 1 do wyznaczenia długości krawędzi.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\(6\\sqrt{2}\\) - policzono tylko <strong>połowę</strong> krawędzi (6 zamiast 12), np. pomyłka &quot;6 krawędzi&quot; zamiast 12 |<br>| B | \\(3\\sqrt{2}\\) - wzięto \\(3a\\) zamiast \\(12a\\), czyli policzono tylko krawędzie jednej ściany lub pomieszano wzory |<br>| D | \\(8\\sqrt{2}\\) - wzięto \\(8a\\), czyli liczbę wierzchołków sześcianu zamiast liczbę krawędzi |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sześcian ma <strong>12 krawędzi</strong>, nie 8 (tyle jest wierzchołków) i nie 6 (tyle jest ścian). To najczęstsze źródło błędu w tym typie zadania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Z \\(P_c = 6a^2 = 12\\) wynika \\(a^2 = 2\\), więc \\(a = \\sqrt{2}\\). Nie wolno zatrzymać się na \\(a^2 = 2\\) i napisać \\(L = 12 \\cdot 2 = 24\\) - trzeba wziąć pierwiastek!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(12\\sqrt{2} \\neq 12 \\cdot 2\\). Pamiętaj, że \\(\\sqrt{2} \\approx 1{,}41\\), więc wynik jest mniejszy niż 24.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Krawędź z pola powierzchni</h5>\n<p>Sześcian ma \\(6\\) kwadratowych ścian o boku \\(a\\). Pole całkowite: \\(P_c = 6a^2\\).<br>\\[6a^2 = 12 \\Rightarrow a^2 = 2 \\Rightarrow a = \\sqrt{2}.\\]<br>Suma wszystkich \\(12\\) krawędzi: \\(12a = 12\\sqrt{2}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>Dla \\(a = \\sqrt{2}\\): pole jednej ściany \\((\\sqrt{2})^2 = 2\\); pole całkowite \\(6\\cdot 2 = 12\\) ✓. Suma krawędzi \\(12\\sqrt{2}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(6\\sqrt{2}\\)</strong> - tylko \\(6\\) krawędzi zamiast \\(12\\).</li><li><strong>B. \\(3\\sqrt{2}\\)</strong> - tylko \\(3\\) krawędzie.</li><li><strong>D. \\(8\\sqrt{2}\\)</strong> - błąd rachunkowy.</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> sześcian ma \\(12\\) krawędzi, \\(6\\) ścian. \\(P_c = 6a^2\\), \\(\\sum\\text{krawędzi} = 12a\\).</p>"}]}