{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność (\n)(\n)\n2\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje\nrównania i nierówności kwadratowe; zapisuje\nrozwiązanie w postaci sumy przedziałów (3.a).\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub zapisze błędny zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\n\nobliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\noraz\n\nzaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f określonej wzorem\n:\n1\n5\n2\nx = -\ni\n2\n1\nx = .\n\nrozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. 2\nalbo\n• realizując pierwszy etap rozwiązania zadania popełnia błędy (ale otrzyma dwa różne\npierwiastki) i konsekwentnie do tego zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np.:\n\npopełnia błędy rachunkowe przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków\ntrójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności,\n\nbłędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.:\n1\n2\n5\n2\nx\nx\n⋅\ni konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\nalbo\nwyznaczy odcięte punktów wspólnych wykresów funkcji określonych wzorami\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz\n1\ny\nx\n-:\n1\n5\n2\nx = -\noraz\n2\n1\nx = i na tym zakończy lub zapisze\nbłędny zbiór rozwiązań nierówności.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności:\nlub\nlub (\nlub\n),\n1\n5\n2\nx = -\n2\n1\nx =\n( )\n2\n2\n3\n5\nf x\nx\nx\n(\n)\n5\n1\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\nx\n\n\n∈-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\n5\n2\nx < -\n1\nx >\nalbo\n• sporządzi ilustrację graficzną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n,\n,\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki (dysleksja)\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci\n,\n, to przyznajemy 2 punkty.\nUwagi\n1.\nAkceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:\ni\n,\noraz\n2.\nJeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez\n, rozważając dwa przypadki\noraz\n, rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków i poda zbiór\nrozwiązań każdej z tych nierówności, to otrzymuje 2 punkty.\n3.\nJeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n,\ni zapisze, np.\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego\nz pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\n4.\nJeżeli zdający poprawnie rozwiąże nierówność\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>\n-, ale zapisze\nsprzeczną z tym rozwiązaniem odpowiedź, np.\n{\n}\n5\n2\n,1\nx\nR\n∉\n, albo\n5\n2\nx ≠-\ni\n1\nx ≠,\nto otrzymuje 2 punkty.\n5.\nJeżeli zdający rozwiązuje zadanie sposobem III i nie sprawdzi algebraicznie, że odczytane\nliczby\n1\n5\n2\nx = -\noraz\n2\n1\nx = są odciętymi punktów wspólnych wykresów funkcji\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz\n1\ny\nx\n-, to otrzymuje 2 punkty.\n6.\nJeżeli zdający pominie 2 w nierówności\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>\n- i rozwiąże nierówność\n(\n)(\n)\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>\n-, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n7.\nJeżeli zdający rozwiązuje zadanie sposobem III i błędnie odczyta którąkolwiek\nz odciętych punktów wspólnych wykresów funkcji\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz\n1\ny\nx\n-, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, pod warunkiem, że otrzyma sumę dwóch\nrozłącznych przedziałów otwartych.\n5\n2\nx < -\n1\nx >\n(\n)\n5\n,1\n,\n2\n\n\n-∞\n∪-\n+ ∞\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n+∞-\n∪\n-∞\n\n\n\n\n5\n2\nx < -\n1\nx >\n5\n2\nx < -\n1\nx >\n1\nx -\n1\n0\nx ->\n1\n0\nx -<\n1\n5\n2\nx = -\n2\n1\nx =\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n-∞-\n∪-\n+ ∞\n\n\n\n\nx\n1\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n8.\nJeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to\noznacza, że nie podjął realizacji pierwszego etapu rozwiązania i w konsekwencji\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n9.\nJeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony\nwyróżnik Δ jest niedodatni, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n10. Jeżeli zdający rozwiąże nierówność (\n)(\n)\n2\n1\n3\n0\nx\nx\n>\n, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n11. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez\nbez stosownego założenia,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:\n2\n2\n3\n5\nx\nx\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej.\nPierwszy etap rozwiązania może być realizowany następująco:\nI sposób\nPrzekształcamy równoważnie nierówność do postaci (\n)(\n)\n2\n5\n1\n0\nx\nx\n>\n(przenosimy\nwszystkie wyrażenia na lewą stronę nierówności i wyłączamy wspólny czynnik poza nawias),\na następnie zapisujemy pierwiastki trójmianu (\n)(\n)\n2\n5\n1\nx\nx\n:\noraz\nII sposób\nZapisujemy nierówność w postaci\ni obliczamy pierwiastki trójmianu\n• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\ni stąd\n1\n5\n2\nx\noraz\n2\n1\nx\nalbo\n• stosujemy wzory Viète’a:\noraz\n, stąd\noraz\nalbo\n• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową\ntrójmianu, lub zaznaczając je na wykresie (wystarczy szkic wykresu, oś liczbowa itp.):\n1\n5\n2\nx\noraz\n2\n1\nx\nlub2\nDrugi etap rozwiązania:\nZapisujemy zbiór rozwiązań nierówności:\nlub\nIII sposób\nWykonujemy rysunek pomocniczy. W jednym układzie współrzędnych szkicujemy fragment\nwykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz fragment wykresu\nfunkcji liniowej określonej wzorem\n1\ny\nx\n1\nx -\n1\n5\n2\nx = -\n2\n1\nx =\n2\n2\n3\n5\n0\nx\nx\n>\n2\n2\n3\n5\nx\nx\n49\nΔ =\n1\n2\n5\n2\nx\nx\n⋅\n1\n2\n3\n2\nx\nx\n1\n5\n2\nx = -\n2\n1\nx =\n(\n)\n5\n1\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\nx\n\n\n∈-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\nOdczytujemy odcięte punktów wspólnych obu wykresów. Są to liczby\n1\n5\n2\nx = -\noraz\n2\n1\nx = .\nSprawdzamy, czy odczytane współrzędne są odciętymi punktów wspólnych tych wykresów\n5\n5\n7\n1\n7\n2\n1\n3\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n5\n7\n1\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n⋅-\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nStąd liczba\n5\n2\n\n\n\n\n\n\njest odciętą punktu wspólnego obu wykresów, a liczba 1 jest wspólnym\nmiejscem zerowym obu funkcji\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz\n1\ny\nx\nZ naszkicowanego wykresu odczytujemy te argumenty, dla których funkcja kwadratowa\nprzyjmuje wartości większe niż funkcja liniowa\n. Zatem zbiór ten jest\nzbiorem rozwiązań nierówności (\n)(\n)\n2\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{1}{2}\\right] \\cup \\left[3,\\ +\\infty\\right)\\]\n\n## Sposób 1 - wyróżnik i analiza ramion paraboli\n\n**Krok 1: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu.**\n\nRozwiązujemy równanie \\(-2x^2 + 5x + 3 = 0\\).\n\nOdczytujemy współczynniki: \\(a = -2,\\ b = 5,\\ c = 3\\).\n\nLiczymy wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \\cdot (-2) \\cdot 3 = 25 + 24 = 49\\]\n\n\\(\\Delta = 49 > 0\\), więc są **dwa różne miejsca zerowe**:\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-5 - 7}{-4} = \\frac{-12}{-4} = 3\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-5 + 7}{-4} = \\frac{2}{-4} = -\\frac{1}{2}\\]\n\nCzyli \\(x_1 = -\\frac{1}{2}\\) i \\(x_2 = 3\\).\n\n**Krok 2: Ustal kierunek ramion paraboli.**\n\nWspółczynnik \\(a = -2 < 0\\), więc parabola jest **skierowana ramionami w dół** (∩ kształt).\n\nTo znaczy:\n- **między** pierwiastkami funkcja jest **dodatnia** (parabola jest powyżej osi \\(x\\))\n- **na zewnątrz** pierwiastków funkcja jest **ujemna** (parabola poniżej osi \\(x\\))\n\n**Krok 3: Odpowiedz na pytanie o nierówność.**\n\nSzukamy, gdzie \\(-2x^2 + 5x + 3 \\leq 0\\) (funkcja ujemna lub równa zero):\n\n\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{1}{2}\\right] \\cup \\left[3,\\ +\\infty\\right)}\\]\n\nNa krańcach (\\(x = -\\frac{1}{2}\\) i \\(x = 3\\)) funkcja = 0, więc wliczamy je (nierówność niestroga \\(\\leq\\)).\n\n## Sposób 2 - mnożenie przez \\(-1\\) i zamiana nierówności\n\n**Krok 1: Pomnóż obie strony przez \\(-1\\).**\n\nPamiętaj: mnożenie przez liczbę ujemną **odwraca kierunek nierówności**!\n\n\\[-2x^2 + 5x + 3 \\leq 0 \\quad \\Big| \\cdot (-1)\\]\n\\[2x^2 - 5x - 3 \\geq 0\\]\n\nTeraz mamy trójmian z **dodatnim** współczynnikiem \\(a = 2 > 0\\).\n\n**Krok 2: Wyznacz miejsca zerowe \\(2x^2 - 5x - 3 = 0\\).**\n\n\\[\\Delta = (-5)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-3) = 25 + 24 = 49\\]\n\\[x_1 = \\frac{5 - 7}{4} = -\\frac{1}{2}, \\qquad x_2 = \\frac{5 + 7}{4} = 3\\]\n\n**Krok 3: Analizuj parabolę z \\(a > 0\\) (ramiona w górę).**\n\nParabola \\(\\cup\\)-kształt: na zewnątrz pierwiastków jest **dodatnia** (lub zerowa). Szukamy \\(2x^2 - 5x - 3 \\geq 0\\):\n\n\\[x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{1}{2}\\right] \\cup \\left[3,\\ +\\infty\\right)\\]\n\nTen sam wynik - weryfikacja poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w obu sposobach do wyznaczenia pierwiastków trójmianu, które są granicami przedziałów rozwiązania.\n\nKluczowa obserwacja z karty: zachowanie trójmianu zależy od znaku \\(a\\) - to decyduje, gdzie funkcja jest dodatnia, a gdzie ujemna.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemne \\(a\\) odwraca logikę! Przy \\(a < 0\\) parabola jest skierowana **w dół**, więc wartości ujemne są **na zewnątrz** pierwiastków - odwrotnie niż przy \\(a > 0\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc nierówność przez liczbę ujemną (Sposób 2), **musisz odwrócić znak nierówności** (\\(\\leq\\) zamienia się w \\(\\geq\\)). Pominięcie tego kroku daje wynik dokładnie odwrotny do prawidłowego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ponieważ nierówność jest niestroga (\\(\\leq\\), nie \\(<\\)), punkty \\(x = -\\frac{1}{2}\\) i \\(x = 3\\) **należą do rozwiązania** - zapisujemy nawiasy kwadratowe \\(\\langle\\ldots\\rangle\\), nie okrągłe.\n\n**Rozwiązanie: \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{1}{2}\\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)\\)**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie pierwiastków i odczyt z wykresu\nRozwiązujemy \\(-2x^2 + 5x + 3 = 0\\).\n**Delta:** \\(\\Delta = 25 - 4\\cdot(-2)\\cdot 3 = 25 + 24 = 49\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 7\\).\n**Pierwiastki:**\n\\[x_1 = \\dfrac{-5 + 7}{2\\cdot(-2)} = \\dfrac{2}{-4} = -\\dfrac{1}{2}, \\quad x_2 = \\dfrac{-5-7}{-4} = \\dfrac{-12}{-4} = 3.\\]\n\nParabola ma **ramiona skierowane w dół** (\\(a = -2 < 0\\)). Wartości \\(\\le 0\\) (poniżej/na osi) występują **na zewnątrz** pierwiastków.\n\n### Sposób 2 - Zamiana na dodatnie \\(a\\)\nMnożymy przez \\(-1\\) (odwraca nierówność):\n\\[2x^2 - 5x - 3 \\ge 0.\\]\nPierwiastki te same: \\(-\\tfrac{1}{2}\\) i \\(3\\). Teraz ramiona w górę, \\(\\ge 0\\) na zewnątrz:\n\\[x \\le -\\tfrac{1}{2} \\text{ lub } x \\ge 3.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\tfrac{1}{2}\\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)\\).\n\n### Graficznie\nSzkic paraboli \\(f(x) = -2x^2 + 5x + 3\\): korzenie w \\(-\\tfrac{1}{2}\\) i \\(3\\), maksimum pomiędzy. Nierówność \\(\\le 0\\) ⇔ wykres na/pod osią \\(x\\) - na zewnątrz korzeni.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność (
)(
)
2
1
3
1
x
x
x

\n
\n

Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (2 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
II. Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje
\n

równania i nierówności kwadratowe; zapisuje
rozwiązanie w postaci sumy przedziałów (3.a).
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub zapisze błędny zbiór
rozwiązań nierówności, np.

obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego
oraz

zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f określonej wzorem
:
1
5
2
x = -
i
2
1
x = .

rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. 2
albo
• realizując pierwszy etap rozwiązania zadania popełnia błędy (ale otrzyma dwa różne
pierwiastki) i konsekwentnie do tego zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np.:

popełnia błędy rachunkowe przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków
trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór
rozwiązań nierówności,

błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.:
1
2
5
2
x
x
⋅
i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
albo
wyznaczy odcięte punktów wspólnych wykresów funkcji określonych wzorami
(
)(
)
2
1
3
y
x
x
oraz
1
y
x
-:
1
5
2
x = -
oraz
2
1
x = i na tym zakończy lub zapisze
błędny zbiór rozwiązań nierówności.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
• poda zbiór rozwiązań nierówności:
lub
lub (
lub
),
1
5
2
x = -
2
1
x =
( )
2
2
3
5
f x
x
x
(
)
5
1
2
x
x






(
)
5
,
1,
2


-∞-
∪

\n\n





(
)
5
,
1,
2
x


∈-∞-
∪

\n\n





5
2
x < -
1
x >
albo
• sporządzi ilustrację graficzną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań
nierówności w postaci:
,
,
albo
• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki (dysleksja)
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci
,
, to przyznajemy 2 punkty.
Uwagi
1.
Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:
i
,
oraz
2.
Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez
, rozważając dwa przypadki
oraz
, rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków i poda zbiór
rozwiązań każdej z tych nierówności, to otrzymuje 2 punkty.
3.
Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu
,
i zapisze, np.
, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego
z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.
4.
Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże nierówność
(
)(
)
2
1
3
1
x
x
x

\n
\n

-, ale zapisze
sprzeczną z tym rozwiązaniem odpowiedź, np.
{
}
5
2
,1
x
R
∉
, albo
5
2
x ≠-
i
1
x ≠,
to otrzymuje 2 punkty.
5.
Jeżeli zdający rozwiązuje zadanie sposobem III i nie sprawdzi algebraicznie, że odczytane
liczby
1
5
2
x = -
oraz
2
1
x = są odciętymi punktów wspólnych wykresów funkcji
(
)(
)
2
1
3
y
x
x
oraz
1
y
x
-, to otrzymuje 2 punkty.
6.
Jeżeli zdający pominie 2 w nierówności
(
)(
)
2
1
3
1
x
x
x

\n
\n\n

(
)(
)
1
3
1
x
x
x

\n
\n

-, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
7.
Jeżeli zdający rozwiązuje zadanie sposobem III i błędnie odczyta którąkolwiek
z odciętych punktów wspólnych wykresów funkcji
(
)(
)
2
1
3
y
x
x
oraz
1
y
x
-, to
otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, pod warunkiem, że otrzyma sumę dwóch
rozłącznych przedziałów otwartych.
5
2
x < -
1
x >
(
)
5
,1
,
2


-∞
∪-

\n\n





(
)
5
,
1,
2


+∞-
∪
-∞




5
2
x < -
1
x >
5
2
x < -
1
x >
1
x -
1
0
x ->
1
0
x -<
1
5
2
x = -
2
1
x =
(
)
5
,
1,
2


-∞-
∪-

\n\n





x
1
Zasady oceniania rozwiązań zadań
8.
Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to
oznacza, że nie podjął realizacji pierwszego etapu rozwiązania i w konsekwencji
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
9.
Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony
wyróżnik Δ jest niedodatni, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający rozwiąże nierówność (
\n

)(
)
2
1
3
0
x
x

\n
\n

, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez
\n

bez stosownego założenia,
to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe rozwiązanie
Pierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:
2
2
3
5
x
x
Drugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej.
Pierwszy etap rozwiązania może być realizowany następująco:
I sposób
Przekształcamy równoważnie nierówność do postaci (
)(
)
2
5
1
0
x
x

\n
\n

(przenosimy
wszystkie wyrażenia na lewą stronę nierówności i wyłączamy wspólny czynnik poza nawias),
a następnie zapisujemy pierwiastki trójmianu (
)(
)
2
5
1
x
x
:
oraz
II sposób
Zapisujemy nierówność w postaci
i obliczamy pierwiastki trójmianu
• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
i stąd
1
5
2
x
oraz
2
1
x
albo
• stosujemy wzory Viète’a:
oraz
, stąd
oraz
albo
• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową
trójmianu, lub zaznaczając je na wykresie (wystarczy szkic wykresu, oś liczbowa itp.):
1
5
2
x
oraz
2
1
x
lub2
Drugi etap rozwiązania:
Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności:
lub
III sposób
Wykonujemy rysunek pomocniczy. W jednym układzie współrzędnych szkicujemy fragment
wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem
(
)(
)
2
1
3
y
x
x
oraz fragment wykresu
funkcji liniowej określonej wzorem
1
y
x
1
x -
1
5
2
x = -
2
1
x =
2
2
3
5
0
x
x

\n
\n

2
2
3
5
x
x
49
Δ =
1
2
5
2
x
x
⋅
1
2
3
2
x
x
1
5
2
x = -
2
1
x =
(
)
5
1
2
x
x






(
)
5
,
1,
2


-∞-
∪

\n\n





(
)
5
,
1,
2
x


∈-∞-
∪

\n\n





Odczytujemy odcięte punktów wspólnych obu wykresów. Są to liczby
1
5
2
x = -
oraz
2
1
x = .
Sprawdzamy, czy odczytane współrzędne są odciętymi punktów wspólnych tych wykresów
5
5
7
1
7
2
1
3
2
2
2
2
2
2
5
7
1
2
2






⋅-












Stąd liczba
5
2






jest odciętą punktu wspólnego obu wykresów, a liczba 1 jest wspólnym
miejscem zerowym obu funkcji
(
)(
)
2
1
3
y
x
x
oraz
1
y
x
Z naszkicowanego wykresu odczytujemy te argumenty, dla których funkcja kwadratowa
przyjmuje wartości większe niż funkcja liniowa
. Zatem zbiór ten jest
zbiorem rozwiązań nierówności (
)(
)
2
1
3
1
x
x
x

\n
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\[x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{1}{2}\\right] \\cup \\left[3,\\ +\\infty\\right)\\]

\n

Sposób 1 - wyróżnik i analiza ramion paraboli

\n

Krok 1: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu.

\n

Rozwiązujemy równanie \\(-2x^2 + 5x + 3 = 0\\).

\n

Odczytujemy współczynniki: \\(a = -2,\\ b = 5,\\ c = 3\\).

\n

Liczymy wyróżnik:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \\cdot (-2) \\cdot 3 = 25 + 24 = 49\\]

\n

\\(\\Delta = 49 > 0\\), więc są dwa różne miejsca zerowe:
\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-5 - 7}{-4} = \\frac{-12}{-4} = 3\\]
\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-5 + 7}{-4} = \\frac{2}{-4} = -\\frac{1}{2}\\]

\n

Czyli \\(x_1 = -\\frac{1}{2}\\) i \\(x_2 = 3\\).

\n

Krok 2: Ustal kierunek ramion paraboli.

\n

Współczynnik \\(a = -2 < 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w dół (∩ kształt).

\n

To znaczy:

\n\n

Krok 3: Odpowiedz na pytanie o nierówność.

\n

Szukamy, gdzie \\(-2x^2 + 5x + 3 \\leq 0\\) (funkcja ujemna lub równa zero):

\n

\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{1}{2}\\right] \\cup \\left[3,\\ +\\infty\\right)}\\]

\n

Na krańcach (\\(x = -\\frac{1}{2}\\) i \\(x = 3\\)) funkcja = 0, więc wliczamy je (nierówność niestroga \\(\\leq\\)).

\n

Sposób 2 - mnożenie przez \\(-1\\) i zamiana nierówności

\n

Krok 1: Pomnóż obie strony przez \\(-1\\).

\n

Pamiętaj: mnożenie przez liczbę ujemną odwraca kierunek nierówności!

\n

\\[-2x^2 + 5x + 3 \\leq 0 \\quad \\Big| \\cdot (-1)\\]
\\[2x^2 - 5x - 3 \\geq 0\\]

\n

Teraz mamy trójmian z dodatnim współczynnikiem \\(a = 2 > 0\\).

\n

Krok 2: Wyznacz miejsca zerowe \\(2x^2 - 5x - 3 = 0\\).

\n

\\[\\Delta = (-5)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-3) = 25 + 24 = 49\\]
\\[x_1 = \\frac{5 - 7}{4} = -\\frac{1}{2}, \\qquad x_2 = \\frac{5 + 7}{4} = 3\\]

\n

Krok 3: Analizuj parabolę z \\(a > 0\\) (ramiona w górę).

\n

Parabola \\(\\cup\\)-kształt: na zewnątrz pierwiastków jest dodatnia (lub zerowa). Szukamy \\(2x^2 - 5x - 3 \\geq 0\\):

\n

\\[x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{1}{2}\\right] \\cup \\left[3,\\ +\\infty\\right)\\]

\n

Ten sam wynik - weryfikacja poprawna.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

Wyróżnik i miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Użyliśmy tych wzorów w obu sposobach do wyznaczenia pierwiastków trójmianu, które są granicami przedziałów rozwiązania.

\n

Kluczowa obserwacja z karty: zachowanie trójmianu zależy od znaku \\(a\\) - to decyduje, gdzie funkcja jest dodatnia, a gdzie ujemna.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Ujemne \\(a\\) odwraca logikę! Przy \\(a < 0\\) parabola jest skierowana w dół, więc wartości ujemne są na zewnątrz pierwiastków - odwrotnie niż przy \\(a > 0\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.
\n
⚠️ Uwaga: Mnożąc nierówność przez liczbę ujemną (Sposób 2), musisz odwrócić znak nierówności (\\(\\leq\\) zamienia się w \\(\\geq\\)). Pominięcie tego kroku daje wynik dokładnie odwrotny do prawidłowego.
\n
⚠️ Uwaga: Ponieważ nierówność jest niestroga (\\(\\leq\\), nie \\(<\\)), punkty \\(x = -\\frac{1}{2}\\) i \\(x = 3\\) należą do rozwiązania - zapisujemy nawiasy kwadratowe \\(\\langle\\ldots\\rangle\\), nie okrągłe.
\n

Rozwiązanie: \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{1}{2}\\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)\\)

\n
Sposób 1 - Wyznaczenie pierwiastków i odczyt z wykresu
\n

Rozwiązujemy \\(-2x^2 + 5x + 3 = 0\\).
Delta: \\(\\Delta = 25 - 4\\cdot(-2)\\cdot 3 = 25 + 24 = 49\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 7\\).
Pierwiastki:
\\[x_1 = \\dfrac{-5 + 7}{2\\cdot(-2)} = \\dfrac{2}{-4} = -\\dfrac{1}{2}, \\quad x_2 = \\dfrac{-5-7}{-4} = \\dfrac{-12}{-4} = 3.\\]

\n

Parabola ma ramiona skierowane w dół (\\(a = -2 < 0\\)). Wartości \\(\\le 0\\) (poniżej/na osi) występują na zewnątrz pierwiastków.

\n
Sposób 2 - Zamiana na dodatnie \\(a\\)
\n

Mnożymy przez \\(-1\\) (odwraca nierówność):
\\[2x^2 - 5x - 3 \\ge 0.\\]
Pierwiastki te same: \\(-\\tfrac{1}{2}\\) i \\(3\\). Teraz ramiona w górę, \\(\\ge 0\\) na zewnątrz:
\\[x \\le -\\tfrac{1}{2} \\text{ lub } x \\ge 3.\\]

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\tfrac{1}{2}\\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)\\).

\n
Graficznie
\n

Szkic paraboli \\(f(x) = -2x^2 + 5x + 3\\): korzenie w \\(-\\tfrac{1}{2}\\) i \\(3\\), maksimum pomiędzy. Nierówność \\(\\le 0\\) ⇔ wykres na/pod osią \\(x\\) - na zewnątrz korzeni.

"}]}