{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n9\n4\n36\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nI. Wykorzystanie i tworzenie\ninformacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje\nrównania wielomianowe metodą rozkładu na czynniki\n(3.d).\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\nx\n\n\n∈-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nzapisze\nlewą\nstronę\nrównania\nw\npostaci\niloczynu(\n)(\n)\n2\n4\n9\n0\nx\nx\nlub\n(\n)(\n)(\n)\n2\n2\n9\n0\nx\nx\nx\nalbo\npodzieli wielomian\n3\n2\n9\n4\n36\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n9\nx -\ni otrzyma iloraz (\n)\n2\n4\nx -\nalbo\npodzieli wielomian\n3\n2\n9\n4\n36\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n2\nx -\ni otrzyma iloraz\n2\n7\n18\nx\nx\nalbo\npodzieli wielomian\n3\n2\n9\n4\n36\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n2\nx +\ni otrzyma iloraz\n2\n11\n18\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:\n2\nx = -,\n2\nx =\noraz\n9\nx =\n, ale nie uzyska ich\nw wyniku błędnej metody.\nPrzykładowe rozwiązanie\nI sposób\nZapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania wyrazów\nZatem\n(\n)\n(\n)\n2\n9\n4\n9\n0\nx\nx\nx\nlub (\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n9\n4\n0\nx x\nx\nStąd (\n)(\n)\n2\n4\n9\n0\nx\nx\n, czyli (\n)(\n)(\n)\n2\n2\n9\n0\nx\nx\nx\nZatem\n2\nx =\nlub\n2\nx = - lub\n9\nx =\nII sposób\nStwierdzamy, że liczba 9 jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n9\n4\n36\nx\nx\nx\n. Dzielimy\nwielomian przez dwumian (\n)\n9\nx -\n. Otrzymujemy iloraz (\n)\n2\n4\nx -\n. Zapisujemy równanie w\npostaci (\n)(\n)\n2\n4\n9\n0\nx\nx\n. Stąd (\n)(\n)(\n)\n2\n2\n9\n0\nx\nx\nx\n, czyli\n2\nx =\nlub\n2\nx = - lub\n9\nx =\nUwaga\nZdający może ustalić, że pierwiastkiem wielomianu jest:\n- liczba 2 i zapisać równanie w postaci: (\n)(\n)\n2\n2\n7\n18\n0\nx\nx\nx\n- liczba (\n)\n2\ni zapisać równanie w postaci: (\n)(\n)\n2\n2\n11\n18\n0\nx\nx\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 1\\) lub \\(x = -\\frac{6}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek geometryczności (środkowy wyraz)\n\nW ciągu geometrycznym \\((a_1, a_2, a_3)\\) zachodzi własność środkowego wyrazu:\n\\[a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\nPodstawiamy nasze wyrazy:\n\\[(4x+2)^2 = (x+2)(x+11)\\]\n\nRozwijamy obie strony:\n\\[16x^2 + 16x + 4 = x^2 + 13x + 22\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\[15x^2 + 3x - 18 = 0\\]\n\nDzielimy przez 3:\n\\[5x^2 + x - 6 = 0\\]\n\nLiczymy deltę:\n\\[\\Delta = 1^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot (-6) = 1 + 120 = 121\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 11\\]\n\nWyznaczamy miejsca zerowe:\n\\[x_1 = \\frac{-1 - 11}{2 \\cdot 5} = \\frac{-12}{10} = -\\frac{6}{5}\\]\n\\[x_2 = \\frac{-1 + 11}{2 \\cdot 5} = \\frac{10}{10} = 1\\]\n\n**Sprawdzamy, czy żaden wyraz nie jest zerem** (w ciągu geometrycznym jest to niedopuszczalne):\n\nDla \\(x = 1\\): wyrazy to \\(3, 6, 12\\) - żaden nie jest zerem ✓\n\nDla \\(x = -\\frac{6}{5}\\): wyrazy to \\(\\frac{4}{5}, -\\frac{14}{5}, \\frac{49}{5}\\) - żaden nie jest zerem ✓\n\n**Odpowiedź: \\(x = 1\\) lub \\(x = -\\frac{6}{5}\\)**\n\n## Sposób 2 - Stały iloraz (weryfikacja i potwierdzenie)\n\nDla ciągu geometrycznego iloraz \\(q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\) musi być taki sam.\n\n**Dla \\(x = 1\\):** wyrazy to \\((3,\\ 6,\\ 12)\\)\n\\[q = \\frac{6}{3} = 2, \\qquad q = \\frac{12}{6} = 2\\]\nIloraz stały \\(q = 2\\) ✓\n\n**Dla \\(x = -\\frac{6}{5}\\):** wyrazy to \\(\\left(\\frac{4}{5},\\ -\\frac{14}{5},\\ \\frac{49}{5}\\right)\\)\n\\[q = \\frac{-\\frac{14}{5}}{\\frac{4}{5}} = -\\frac{14}{4} = -\\frac{7}{2}\\]\n\\[q = \\frac{\\frac{49}{5}}{-\\frac{14}{5}} = \\frac{49}{-14} = -\\frac{7}{2}\\]\nIloraz stały \\(q = -\\frac{7}{2}\\) ✓\n\nOba rozwiązania są poprawne. Warto zauważyć, że iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny - wyrazy mogą zmieniać znak.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\nTo jest kluczowy wzór użyty w Sposobie 1 do postawienia równania.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na miejsca zerowe trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy tego do rozwiązania równania \\(5x^2 + x - 6 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek geometryczności \\(a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\) to konieczny, ale nie wystarczający warunek - trzeba jeszcze sprawdzić, czy żaden wyraz nie jest równy **zero**. Jeśli któryś wyraz wynosi 0, ciąg nie jest geometryczny (iloraz byłby nieokreślony).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uczniowie często zapominają, że iloraz ciągu geometrycznego może być **ujemny**. Rozwiązanie \\(x = -\\frac{6}{5}\\) daje ciąg z naprzemiennie zmieniającymi się znakami - to nadal poprawny ciąg geometryczny!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić warunek ciągu geometrycznego \\(a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\) z warunkiem ciągu arytmetycznego \\(2a_2 = a_1 + a_3\\). Upewnij się, że używasz właściwego wzoru.\n\n**Odpowiedź: \\(x = 1\\) lub \\(x = -\\dfrac{6}{5}\\)**\n\n### Sposób 1 - Własność ciągu geometrycznego\nW ciągu geometrycznym: \\(a_2^2 = a_1\\cdot a_3\\). Zatem:\n\\[(4x+2)^2 = (x+2)(x+11).\\]\nRozwijamy:\n\\[16x^2 + 16x + 4 = x^2 + 13x + 22\\]\n\\[15x^2 + 3x - 18 = 0\\]\n\\[5x^2 + x - 6 = 0.\\]\n\n**Delta:** \\(\\Delta = 1 + 120 = 121\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 11\\).\n\\[x_1 = \\dfrac{-1+11}{10} = 1, \\quad x_2 = \\dfrac{-1-11}{10} = -\\dfrac{12}{10} = -\\dfrac{6}{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie, czy wyrazy \\(\\ne 0\\)\n**Dla \\(x = 1\\):** ciąg \\((3, 6, 12)\\), iloraz \\(q = 2\\) ✓.\n**Dla \\(x = -\\tfrac{6}{5}\\):** ciąg \\((\\tfrac{4}{5}, -\\tfrac{14}{5}, \\tfrac{49}{5})\\), iloraz \\(q = -\\tfrac{7}{2}\\) ✓.\n\n**Uwaga:** Dla \\(x = -2\\) ciąg byłby \\((0, -6, 9)\\) - nie jest geometryczny (zero). Trzeba więc wykluczyć \\(x = -2\\), ale nie jest to rozwiązanie równania, więc i tak odpada.\n\n**Odpowiedź:** \\(x = 1\\) lub \\(x = -\\dfrac{6}{5}\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Rozwiąż równanie
3
2
9
4
36
0
x
x
x
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
26.
27.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
I. Wykorzystanie i tworzenie
informacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje
\n

równania wielomianowe metodą rozkładu na czynniki
(3.d).
(
)
5
,
1,
2
x


∈-∞-
∪

\n\n





Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
zapisze
lewą
stronę
równania
w
postaci
iloczynu(
)(
)
2
4
9
0
x
x
lub
(
)(
)(
)
2
2
9
0
x
x
x
albo
podzieli wielomian
3
2
9
4
36
x
x
x
przez dwumian (
)
9
x -
i otrzyma iloraz (
)
2
4
x -
albo
podzieli wielomian
3
2
9
4
36
x
x
x
przez dwumian (
)
2
x -
i otrzyma iloraz
2
7
18
x
x
albo
podzieli wielomian
3
2
9
4
36
x
x
x
przez dwumian (
)
2
x +
i otrzyma iloraz
2
11
18
x
x
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:
2
x = -,
2
x =
oraz
9
x =
, ale nie uzyska ich
w wyniku błędnej metody.
Przykładowe rozwiązanie
I sposób
Zapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania wyrazów
Zatem
(
)
(
)
2
9
4
9
0
x
x
x
lub (
)
(
)
2
2
4
9
4
0
x x
x
Stąd (
)(
)
2
4
9
0
x
x
, czyli (
)(
)(
)
2
2
9
0
x
x
x
Zatem
2
x =
lub
2
x = - lub
9
x =
II sposób
Stwierdzamy, że liczba 9 jest pierwiastkiem wielomianu
3
2
9
4
36
x
x
x
. Dzielimy
wielomian przez dwumian (
)
9
x -
. Otrzymujemy iloraz (
)
2
4
x -
. Zapisujemy równanie w
postaci (
)(
)
2
4
9
0
x
x
. Stąd (
)(
)(
)
2
2
9
0
x
x
x
, czyli
2
x =
lub
2
x = - lub
9
x =
Uwaga
Zdający może ustalić, że pierwiastkiem wielomianu jest:

\n\n

)(
)
2
2
7
18
0
x
x
x

\n\n

)
2
i zapisać równanie w postaci: (
)(
)
2
2
11
18
0
x
x
x

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = 1\\) lub \\(x = -\\frac{6}{5}\\)

\n

Sposób 1 - Warunek geometryczności (środkowy wyraz)

\n

W ciągu geometrycznym \\((a_1, a_2, a_3)\\) zachodzi własność środkowego wyrazu:
\\[a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\]

\n

Podstawiamy nasze wyrazy:
\\[(4x+2)^2 = (x+2)(x+11)\\]

\n

Rozwijamy obie strony:
\\[16x^2 + 16x + 4 = x^2 + 13x + 22\\]

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\\[15x^2 + 3x - 18 = 0\\]

\n

Dzielimy przez 3:
\\[5x^2 + x - 6 = 0\\]

\n

Liczymy deltę:
\\[\\Delta = 1^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot (-6) = 1 + 120 = 121\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = 11\\]

\n

Wyznaczamy miejsca zerowe:
\\[x_1 = \\frac{-1 - 11}{2 \\cdot 5} = \\frac{-12}{10} = -\\frac{6}{5}\\]
\\[x_2 = \\frac{-1 + 11}{2 \\cdot 5} = \\frac{10}{10} = 1\\]

\n

Sprawdzamy, czy żaden wyraz nie jest zerem (w ciągu geometrycznym jest to niedopuszczalne):

\n

Dla \\(x = 1\\): wyrazy to \\(3, 6, 12\\) - żaden nie jest zerem ✓

\n

Dla \\(x = -\\frac{6}{5}\\): wyrazy to \\(\\frac{4}{5}, -\\frac{14}{5}, \\frac{49}{5}\\) - żaden nie jest zerem ✓

\n

Odpowiedź: \\(x = 1\\) lub \\(x = -\\frac{6}{5}\\)

\n

Sposób 2 - Stały iloraz (weryfikacja i potwierdzenie)

\n

Dla ciągu geometrycznego iloraz \\(q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\) musi być taki sam.

\n

Dla \\(x = 1\\): wyrazy to \\((3,\\ 6,\\ 12)\\)
\\[q = \\frac{6}{3} = 2, \\qquad q = \\frac{12}{6} = 2\\]
Iloraz stały \\(q = 2\\) ✓

\n

Dla \\(x = -\\frac{6}{5}\\): wyrazy to \\(\\left(\\frac{4}{5},\\ -\\frac{14}{5},\\ \\frac{49}{5}\\right)\\)
\\[q = \\frac{-\\frac{14}{5}}{\\frac{4}{5}} = -\\frac{14}{4} = -\\frac{7}{2}\\]
\\[q = \\frac{\\frac{49}{5}}{-\\frac{14}{5}} = \\frac{49}{-14} = -\\frac{7}{2}\\]
Iloraz stały \\(q = -\\frac{7}{2}\\) ✓

\n

Oba rozwiązania są poprawne. Warto zauważyć, że iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny - wyrazy mogą zmieniać znak.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:
\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]
To jest kluczowy wzór użyty w Sposobie 1 do postawienia równania.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzór na miejsca zerowe trójmianu:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy tego do rozwiązania równania \\(5x^2 + x - 6 = 0\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Warunek geometryczności \\(a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\) to konieczny, ale nie wystarczający warunek - trzeba jeszcze sprawdzić, czy żaden wyraz nie jest równy zero. Jeśli któryś wyraz wynosi 0, ciąg nie jest geometryczny (iloraz byłby nieokreślony).
\n
⚠️ Uwaga: Uczniowie często zapominają, że iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny. Rozwiązanie \\(x = -\\frac{6}{5}\\) daje ciąg z naprzemiennie zmieniającymi się znakami - to nadal poprawny ciąg geometryczny!
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić warunek ciągu geometrycznego \\(a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\) z warunkiem ciągu arytmetycznego \\(2a_2 = a_1 + a_3\\). Upewnij się, że używasz właściwego wzoru.
\n

Odpowiedź: \\(x = 1\\) lub \\(x = -\\dfrac{6}{5}\\)

\n
Sposób 1 - Własność ciągu geometrycznego
\n

W ciągu geometrycznym: \\(a_2^2 = a_1\\cdot a_3\\). Zatem:
\\[(4x+2)^2 = (x+2)(x+11).\\]
Rozwijamy:
\\[16x^2 + 16x + 4 = x^2 + 13x + 22\\]
\\[15x^2 + 3x - 18 = 0\\]
\\[5x^2 + x - 6 = 0.\\]

\n

Delta: \\(\\Delta = 1 + 120 = 121\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 11\\).
\\[x_1 = \\dfrac{-1+11}{10} = 1, \\quad x_2 = \\dfrac{-1-11}{10} = -\\dfrac{12}{10} = -\\dfrac{6}{5}.\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie, czy wyrazy \\(\\ne 0\\)
\n

Dla \\(x = 1\\): ciąg \\((3, 6, 12)\\), iloraz \\(q = 2\\) ✓.
Dla \\(x = -\\tfrac{6}{5}\\): ciąg \\((\\tfrac{4}{5}, -\\tfrac{14}{5}, \\tfrac{49}{5})\\), iloraz \\(q = -\\tfrac{7}{2}\\) ✓.

\n

Uwaga: Dla \\(x = -2\\) ciąg byłby \\((0, -6, 9)\\) - nie jest geometryczny (zero). Trzeba więc wykluczyć \\(x = -2\\), ale nie jest to rozwiązanie równania, więc i tak odpada.

\n

Odpowiedź: \\(x = 1\\) lub \\(x = -\\dfrac{6}{5}\\).

"}]}