Zadanie 28. (2 pkt)
Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność
(
)
2
2
2
0
a a
b
b
Poziom podstawowy
MMA_1P
Zadanie 28. (2 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
V. Rozumowanie i argumentacja.
wzorami skróconego mnożenia: (
)
±
2
a
b
, (
)
±
3
a
b
,
2
2
a
b ,
±
3
3
a
b (2.a).
Zasady oceniania I i II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
zapisze nierówność w postaci (
)
2
2
0
a
b
b
albo
obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego w zależności od zmiennej a lub b,
występującego po jednej stronie nierówności, gdy po drugiej stronie jest 0,
i stwierdzi, że jest on niedodatni
albo
obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego w zależności od zmiennej a lub b,
występującego po jednej stronie nierówności, gdy po drugiej stronie jest 0 oraz
rozważy jeden z przypadków
0
Δ <
lub
0
Δ =
i w tym przypadku doprowadzi
rozumowanie do końca
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy poda pełne uzasadnienie.
Uwaga
Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości
a i b, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zasady oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy rozważy dwa przypadki:
w jednym, dla
0
a ≠
, podzieli stronami nierówność przez
2
a , w drugim, dla
0
b ≠
, podzieli
stronami nierówność przez
2
b
i w jednym przypadku doprowadzi rozumowanie do końca.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze pełne rozumowanie.
Uwaga
Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości
a i b, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zasady oceniania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
rozważy
trzy
przypadki
i
zapisze
nierówności
(
)
(
)
2
2
2
1
2
a
b
ab
,
(
)
(
)
2
2
2
1
2
a
b
ab
,
2
2
2
0
a
b
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
albo
przeprowadzi pełne rozumowanie w dwóch spośród trzech przypadków
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze pełne rozumowanie.
Uwaga
Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b,
to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zasady oceniania V sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze, że przeprowadza dowód nie wprost, zapisze nierówność (
)
2
2
2
0
a a
b
b
≤
w postaci (
)
2
2
0
a
b
b
≤
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze pełne rozumowanie.
Uwaga
Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b,
to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zasady oceniania VI sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
zapisze
nierówność
w
postaci
równoważnej
2
2
2
2
a
b
ab
oraz
zapisze,
że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwe są nierówności:
2
2
2
2
2
a
b
a
b
≥
oraz
2
2
2
a
b
ab
≥
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze pełne rozumowanie.
Uwaga
Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b,
to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Przekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy kolejno:
2
2
2
2
0
a
ab
b
,
2
2
2
2
0
a
ab
b
b
,
(
)
2
2
0
a
b
b
Nierówność (
)
2
2
0
a
b
b
jest prawdziwa, ponieważ:
\njest dodatnie, gdyż z założenia wynika
i kwadrat każdej
liczby rzeczywistej różnej od zera jest dodatni,
2
b jest nieujemne,
nieujemną, jest liczbą dodatnią.
To kończy dowód.
II sposób
Przekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy:
2
2
2
2
0
a
ab
b
Wyrażenie
2
2
2
2
a
ab
b
traktujemy jako trójmian kwadratowy jednej zmiennej np. a.
Wyróżnik trójmianu kwadratowego
2
2
2
2
a
ab
b
jest równy:
2
2
2
4
8
4
b
b
b
Δ =
Ten wyróżnik jest niedodatni dla każdej rzeczywistej wartości b.
Gdy
0
Δ <
, to
2
2
2
2
0
a
ab
b
dla każdej rzeczywistej wartości a.
Gdy
0
Δ =
, to
0
b =
, stąd
2
0
a >
, ponieważ z założenia a
b
≠
Oznacza to, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest
nierówność
2
2
2
2
0
a
ab
b
To kończy dowód.
III sposób
Przekształcamy równoważnie nierówność (
)
2
2
2
0
a a
b
b
i otrzymujemy:
2
2
2
2
0
a
ab
b
(
)
2
b
a -
0
≠
-b
a
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Z założenia wynika, że liczby a i b nie mogą jednocześnie przyjmować wartości 0 .
Jeżeli
0
b ≠
, to
2
0
b >
. Dzielimy obie strony nierówności przez
2
b i otrzymujemy nierówność
równoważną
2
2
2
0
a
a
b
b
-
Niech
a
x
b
. Otrzymujemy nierówność kwadratową
2
2
2
0
x
x
z niewiadomą x .
Zauważamy, że ta nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x , bo z równości
(
)
2
2
2
2
1
1
x
x
x
wnioskujemy, że (
)
2
1
1
0
x -
, wobec oczywistej nierówności (
)
2
1
0
x -
≥
. Natomiast jeżeli
0
a ≠
, to
2
0
a >
. Dzielimy obie strony nierówności przez
2
a i otrzymujemy nierówność
równoważną
2
2
2
1
0
b
b
a
a
-
Niech teraz
b
x
a
. Otrzymujemy nierówność kwadratową
2
2
2
1
0
x
x
z niewiadomą x .
Ponieważ wyróżnik trójmianu
2
2
2
1
x
x
potędze trójmianu jest dodatni, więc ten trójmian przyjmuje tylko wartości dodatnie dla każdej
liczby rzeczywistej x .
Z rozważonych przypadków wynika, że nierówność jest prawdziwa dla każdych dwóch różnych
liczb rzeczywistych a i b.
To kończy dowód.
IV sposób
Niech a
b
≠
. Rozważmy następujące przypadki:
Przypadek I:
0
a b
⋅
Przekształcamy równoważnie nierówność (
)
2
2
2
0
a a
b
b
i otrzymujemy:
2
2
2
2 2
2
2 2
a
b
ab
ab
ab
Stąd (
)
(
)
2
2
2
1
2
a
b
ab
Wyrażenie (
)
2
2
a
b
jest nieujemne. Wyrażenie
(
)
2
1
2
ab
jest ujemne, ponieważ
1
2
0
<
i z założenia
0
ab
Nierówność jest prawdziwa dla każdych dwóch liczb rzeczywistych a i b, takich, że
0 i
a b
a
b
⋅
≠
Przypadek II:
0
a b
⋅<
Przekształcamy równoważnie nierówność (
)
2
2
2
0
a a
b
b
i otrzymujemy:
2
2
2
2 2
2
2 2
a
b
ab
ab
ab
Stąd (
)
(
)
2
2
2
1
2
a
b
ab
Wyrażenie (
)
2
2
a
b
jest nieujemne. Wyrażenie
(
)
2
1
2
ab
jest ujemne, ponieważ
1
2
0
i z założenia
0
ab <
Nierówność jest prawdziwa dla każdych dwóch liczb rzeczywistych a i b, takich, że
0 i
a b
a
b
⋅<
≠
Przypadek III:
0
a b
⋅
Przekształcamy równoważnie nierówność (
)
2
2
2
0
a a
b
b
i otrzymujemy:
2
2
2
2
0
a
ab
b
Ponieważ
0
a b
⋅
, więc nierówność
2
2
2
2
0
a
ab
b
możemy zapisać w postaci
2
2
2
0
a
b
Suma kwadratów dwóch dowolnych liczb rzeczywistych a i b, takich, że a
b
≠
jest dodatnia.
Nierówność jest prawdziwa dla każdych dwóch liczb rzeczywistych a i b, takich, że
0 i
a b
a
b
⋅
≠
To kończy dowód.
V sposób (dowód nie wprost)
Załóżmy, że istnieją różne liczby rzeczywiste a i b, dla których prawdziwa jest nierówność
(
)
2
2
2
0
a a
b
b
≤
Powyższa nierówność jest równoważna nierównościom:
2
2
2
2
0
a
ab
b
≤
,
(
)
2
2
0
a
b
b
≤
Ponieważ lewa strona tej nierówności jest sumą dwóch liczb nieujemnych (
)
2
a
b
i
2
b ,
więc może zachodzić jedynie przypadek (
)
2
2
0
a
b
b
. Wynika stąd, że
0
a
b
i
0
b =
Zatem
0
a =
i
0
b =
, co przeczy założeniu, że liczby a i b są różne.
Otrzymana sprzeczność oznacza, że nierówność (
)
2
2
2
0
a a
b
b
≤
jest fałszywa.
Prawdziwa zatem jest nierówność
(
)
2
2
2
0
a a
b
b
, dla każdych dwóch różnych liczb
rzeczywistych a i b.
To kończy dowód.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
VI sposób (szacowanie)
Nierówność (
)
2
2
2
0
a a
b
b
jest równoważna nierówności
2
2
2
2
a
b
ab
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwe są nierówności
2
2
2
2
2
a
b
a
b
≥
oraz
2
2
2
a
b
ab
≥
, przy czym
2
2
2
a
b
ab
tylko wtedy, gdy a
b
. Ale z założenia a
b
≠
, więc
otrzymujemy
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
≥
To kończy dowód.
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich różnych liczb rzeczywistych \\(a\\) i \\(b\\) (czyli \\(a \\neq b\\)).
\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę i upraszczamy:
\n\\[a(a+b) + b^2 > 3ab\\]
\nRozwijamy nawiasy po lewej stronie:
\n\\[a^2 + ab + b^2 > 3ab\\]
\nPrzenosimy \\(3ab\\) na lewą stronę:
\n\\[a^2 + ab + b^2 - 3ab > 0\\]
\nŁączymy wyrazy z \\(ab\\):
\n\\[a^2 - 2ab + b^2 > 0\\]
\nRozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:
\n\\[\\boxed{(a - b)^2 > 0}\\]
\nDlaczego to prawda? Ponieważ \\(a \\neq b\\), mamy \\(a - b \\neq 0\\), a kwadrat dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej jest ściśle dodatni.
\nZatem \\((a-b)^2 > 0\\), co kończy dowód. \\(\\square\\)
\nPrzekształcamy lewą stronę nierówności tak samo jak wyżej, otrzymując:
\n\\[a^2 - 2ab + b^2 > 0\\]
\nPotraktujemy wyrażenie \\(f(a) = a^2 - 2ab + b^2\\) jako trójmian kwadratowy względem \\(a\\), gdzie \\(b\\) jest ustalonym parametrem.
\nWspółczynniki: \\(\\alpha = 1 > 0\\), \\(\\beta = -2b\\), \\(\\gamma = b^2\\).
\nWyznaczamy wyróżnik:
\n\\[\\Delta = \\beta^2 - 4\\alpha\\gamma = (-2b)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot b^2 = 4b^2 - 4b^2 = 0\\]
\nWniosek z analizy wyróżnika:
\nPonieważ z założenia \\(a \\neq b\\), zachodzi \\(f(a) = a^2 - 2ab + b^2 > 0\\), co jest równoważne wyjściowej nierówności. \\(\\square\\)
\nDział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Kluczowy wzór w Sposobie 1 - pozwala rozpoznać, że \\(a^2 - 2ab + b^2\\) jest pełnym kwadratem, co natychmiast daje nieujemność wyrażenia.
Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_0 = -\\frac{b}{2a}\\]
Użyty w Sposobie 2 - analiza znaku trójmianu kwadratowego przez wyróżnik.
⚠️ Uwaga: To zadanie nie ma odpowiedzi liczbowej - musisz napisać pełny dowód. Nie wystarczy sprawdzenie dla konkretnych liczb (np. \\(a=2, b=1\\))! Przykłady nie są dowodem.\n
⚠️ Uwaga: Kluczowe jest użycie założenia \\(a \\neq b\\) na końcu. Bez niego moglibyśmy stwierdzić tylko \\((a-b)^2 \\geq 0\\), a zadanie wymaga ścisłej nierówności \\(> 0\\).\n
⚠️ Uwaga: Częsty błąd - przepisanie \\(a^2 + ab + b^2 - 3ab\\) jako \\(a^2 - ab + b^2\\) (błąd w łączeniu: \\(ab - 3ab = -ab\\), a nie \\(-2ab\\)). Uważaj na znaki!\n
Dowód.
\n\\[a(a+b) + b^2 > 3ab\\]
\\[a^2 + ab + b^2 > 3ab\\]
\\[a^2 - 2ab + b^2 > 0\\]
\\[(a-b)^2 > 0.\\]
Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, a zerem jest tylko wtedy, gdy \\(a-b = 0\\), czyli \\(a = b\\). Z założenia \\(a \\ne b\\), więc \\((a-b)^2 > 0\\). \\(\\blacksquare\\)
\nRozważamy \\(a^2 - 2ab + b^2\\) jako trójmian zmiennej \\(a\\). Współczynniki:
\\(\\text{współ. przy } a^2 = 1 > 0\\), \\(\\Delta_a = 4b^2 - 4b^2 = 0\\).
Stąd trójmian ma podwójny pierwiastek \\(a = b\\), a dla wszystkich innych \\(a\\) wartość jest dodatnia. Gdy \\(a \\ne b\\): \\(a^2 - 2ab + b^2 > 0\\).