{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nTrójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz\nPunkt F leży na boku BC i odcinek EF jest prostopadły do BC (zobacz rysunek).\nWykaż, że\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n3\n4\nCE\nCD\n9\n16\nCF\nCB\nC\nF\nA\nD\nB\nE\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nV. Rozumowanie i argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający wykorzystuje własności figur\npodobnych w zadaniach, w tym umieszczonych\nw kontekście praktycznym (7.b).\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• wyznaczy długości odcinków BC i CF w zależności od tej samej zmiennej, np.:\na\nBC =\ni\n3 3\n3\n8\n2\na\nCF =\n⋅\nlub\ni\nalbo\nwyznaczy skalę podobieństwa trójkątów BCD i CEF:\n8 3\n9\nk =\nalbo\n• wyznaczy długość odcinka CF w zależności od długości odcinków CB i CD oraz\nzależność między długościami odcinków CD i CB, np.:\n2\n3\n3\n,\n4\n2\nCD\nCF\nCD\nCB\nCB\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze pełne rozumowanie.\nUwaga\nPonieważ podobieństwo zachowuje stosunek długości odcinków, więc jeżeli zdający przyjmuje\nkonkretną wartość długości boku trójkąta i przeprowadzi rozumowanie do końca, ale nie\nodwołuje się do tej własności, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\n2\nBC\nx\n9\n8\nCF\nx\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nNiech\na\nBC =\n. Wtedy\n2\n3\na\nCD =\n. Ponieważ\n3\n4\nCE\nCD , to\n8\n3\n3\na\nCE =\nZatem\n3\n3 3\n3\n9\n9\n2\n8\n2\n16\n16\na\nCF\nCE\na\nBC\n⋅\n⋅\nTo kończy dowód.\nII sposób\nTrójkąt BCD jest trójkątem prostokątnym o kątach ostrych 30 i 60\n°\n° . Niech\ny\nBC =\n. Wtedy\n2\n3\ny\nCD =\n. Trójkąt CEF jest połową trójkąta równobocznego.\nNiech\nx\nCF =\n. Stąd\n3\n3\n2x\nCE =\nPonieważ\nCD\nCE\n4\n3\n, to\n2\n3\n4\n3\n3\n3\n2\ny\nx\n⋅\n. Stąd\ny\nx\n16\n9\nTo kończy dowód.\nC\nF\nA\nD\nB\nE\nC\nF\nA\nD\nB\nE\ny\na\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nx\nIII sposób\nNiech\nx\nBD . Trójkąt BCD jest trójkątem prostokątnym o kątach ostrych 30 i 60\n°\n°, więc\n2\nBC\nx\noraz\n3\nCD\nx\nPonieważ\n, więc\n. Trójkąt CEF jest połową trójkąta równobocznego,\nwięc\nStąd\n.Zatem\nTo kończy dowód.\n3\n4\nCE\nCD\n3\n4\n3\nCE\nx\n3\n4\n9\n8\n3\n3\n2\nx\nCF\nx\n⋅\n9\n8\n9\n16\n2\nx\nCF\nCB\nx\n9\n16\nCF\nCB\nC\nF\nA\nD\nB\nE\nx\nIV sposób\nTrójkąty BCD i ECF są podobne na podstawie cechy (kąt, kąt, kąt). Przyjmijmy następujące\noznaczenie: BC\na\n, wtedy\n3\n2\na\nCD\nh\n. Skalę podobieństwa można obliczyć w\nnastępujący sposób:\n3\n3\n3\n4\n4\n2\n8 3\n9\na\nBC\na\na\nk\nCE\nh\n⋅\noraz\nCD\nk\nCF\nStąd\n3\n9\n9\n2\n16\n8 3\nCD\na\nCF\na\nk\n⋅\nTo kończy dowód.","solution":"## Poprawna odpowiedź: α = 30°\n\nWykazane poniżej dwiema metodami.\n\n## Sposób 1 - Układ współrzędnych\n\n**Ustawiamy prostą \\(k\\) jako oś \\(OX\\).**\n\nOba okręgi są styczne do \\(k\\), więc ich środki leżą prostopadle nad \\(k\\) na wysokości równej promieniowi:\n\n\\[S = (0,\\ 2), \\qquad P = (x_P,\\ 6)\\]\n\n(Środek małego okręgu na wysokości \\(r = 2\\), dużego na wysokości \\(R = 6\\).)\n\n**Korzystamy z warunku styczności zewnętrznej:**\n\nOkręgi styczne zewnętrznie \\(\\Rightarrow\\) odległość między środkami \\(= r + R\\):\n\n\\[|SP| = r + R = 2 + 6 = 8\\]\n\n**Liczymy \\(x_P\\) ze wzoru na odległość:**\n\n\\[\\sqrt{(x_P - 0)^2 + (6 - 2)^2} = 8\\]\n\\[x_P^2 + 16 = 64\\]\n\\[x_P^2 = 48\\]\n\\[x_P = 4\\sqrt{3}\\]\n\n**Wyznaczamy kąt nachylenia prostej \\(l\\) do \\(k\\):**\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej \\(l\\) przez \\(S = (0, 2)\\) i \\(P = (4\\sqrt{3}, 6)\\):\n\n\\[a = \\frac{6 - 2}{4\\sqrt{3} - 0} = \\frac{4}{4\\sqrt{3}} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]\n\nKąt \\(\\alpha\\), jaki prosta \\(l\\) tworzy z osią \\(OX\\) (czyli z prostą \\(k\\)):\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\quad \\Rightarrow \\quad \\alpha = 30°\\]\n\n**Wniosek:** Prosta \\(l\\) przecina prostą \\(k\\) pod kątem \\(\\boxed{\\alpha = 30°}\\). \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - Trójkąt prostokątny (metoda geometryczna)\n\n**Budujemy pomocniczy trójkąt prostokątny.**\n\nPrzez środek \\(S\\) prowadzimy prostą poziomą (równoległą do \\(k\\)), a przez środek \\(P\\) - prostą pionową (prostopadłą do \\(k\\)). Niech \\(T\\) będzie punktem ich przecięcia.\n\nPowstaje trójkąt prostokątny \\(STP\\) z kątem prostym przy \\(T\\).\n\n**Obliczamy jego boki:**\n\n- **Przeciwprostokątna \\(|SP|\\):** warunek styczności zewnętrznej daje\n\\[|SP| = r + R = 2 + 6 = 8\\]\n\n- **Ramię pionowe \\(|TP|\\):** różnica wysokości środków nad prostą \\(k\\)\n\\[|TP| = R - r = 6 - 2 = 4\\]\n\n**Liczymy sinus kąta \\(\\angle TSP = \\alpha\\):**\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{|TP|}{|SP|} = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Wnioskujemy o kącie:**\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{1}{2} \\quad \\Rightarrow \\quad \\alpha = 30°\\]\n\nPonieważ \\(ST \\parallel k\\) (obydwie poziome), kąt między prostą \\(l\\) a \\(ST\\) jest równy kątowi między \\(l\\) a \\(k\\).\n\n**Wniosek:** \\(\\alpha = 30°\\). \\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21):**\n\n- Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_P\\) z równania \\(x_P^2 + 4^2 = 8^2\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14):**\n\n- Definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do }\\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\n- Wartość \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\)\n\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia kąta z \\(\\sin\\alpha = \\frac{4}{8}\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):**\n\n- Współczynnik kierunkowy \\(a = \\operatorname{tg}\\alpha\\) i wzór na długość odcinka:\n\\[|SP| = \\sqrt{(x_P - x_S)^2 + (y_P - y_S)^2}\\]\nUżyte w Sposobie 1.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odległość między środkami okręgów **stycznych zewnętrznie** to \\(r + R\\), a nie \\(R - r\\). To \\(R - r\\) byłoby dla styczności wewnętrznej. Tu mamy \\(|SP| = 2 + 6 = 8\\), nie \\(4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica wysokości środków nad prostą \\(k\\) to \\(R - r = 4\\), a nie \\(R + r = 8\\) - środki leżą po tej samej stronie prostej \\(k\\) (oba okręgi są styczne do \\(k\\) z tej samej strony).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 kluczowe jest uzasadnienie, że \\(ST \\parallel k\\) - bo prowadzimy \\(ST\\) jako poziomą przez \\(S\\). Bez tego nie możemy bezpośrednio powiedzieć, że kąt \\(\\angle TSP\\) jest kątem między \\(l\\) a \\(k\\). Zdanie to trzeba explicite napisać w odpowiedzi na egzaminie!\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów \\(ASO\\) i \\(BPO\\)\nOznaczmy punkt przecięcia prostej \\(l\\) z \\(k\\) jako \\(O\\), punkty styczności z \\(k\\): \\(A\\) (dla okręgu o środku \\(S\\)), \\(B\\) (dla okręgu o środku \\(P\\)).\n\nWłasność styczności: promień jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności. Zatem \\(SA \\perp k\\) i \\(PB \\perp k\\), a \\(|SA| = r = 2\\), \\(|PB| = R = 6\\).\n\nTrójkąty \\(ASO\\) i \\(BPO\\) są podobne (oba prostokątne, wspólny kąt \\(\\alpha\\) przy \\(O\\)). Stąd:\n\\[\\dfrac{|BP|}{|PO|} = \\dfrac{|AS|}{|SO|}.\\]\n\nNiech \\(|SO| = x\\). Okręgi styczne zewnętrznie: \\(|SP| = r + R = 2 + 6 = 8\\), więc \\(|PO| = x + 8\\).\n\\[\\dfrac{6}{x+8} = \\dfrac{2}{x} \\Rightarrow 6x = 2x + 16 \\Rightarrow 4x = 16 \\Rightarrow x = 4.\\]\n\n**Obliczenie \\(\\sin\\alpha\\):**\n\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{|AS|}{|SO|} = \\dfrac{2}{4} = \\dfrac{1}{2} \\Rightarrow \\alpha = 30^\\circ. \\blacksquare\\]\n\n### Sposób 2 - Konstrukcja odcinka równoległego\nPoprowadźmy odcinek \\(SC\\) równoległy do \\(k\\), gdzie \\(C \\in PB\\). Wtedy \\(|CB| = |AS| = 2\\) (odległości między liniami równoległymi), a \\(|CP| = R - r = 6 - 2 = 4\\).\n\nTrójkąt \\(SPC\\) jest prostokątny (\\(SC \\parallel k\\), \\(PB \\perp k\\) → \\(SC \\perp PC\\)), z przeciwprostokątną \\(|SP| = 8\\) i przyprostokątną \\(|CP| = 4\\):\n\\[\\sin(\\angle CSP) = \\dfrac{|CP|}{|SP|} = \\dfrac{4}{8} = \\dfrac{1}{2}.\\]\nKąt \\(\\angle CSP = 30^\\circ\\). Ponieważ \\(SC \\parallel k\\), kąt \\(\\alpha\\) (kąt między prostą \\(l\\) a \\(k\\)) jest równy \\(\\angle CSP = 30^\\circ\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n**Kluczowe:** wykorzystanie prostopadłości promienia do stycznej i równoległości, aby zredukować problem do trójkąta prostokątnego z \\(\\sin = \\tfrac{1}{2}\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (2 pkt)
Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz
Punkt F leży na boku BC i odcinek EF jest prostopadły do BC (zobacz rysunek).
Wykaż, że
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
28.
29.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
3
4
CE
CD
9
16
CF
CB
C
F
A
D
B
E

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (2 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
V. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Planimetria. Zdający wykorzystuje własności figur
\n

podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych
w kontekście praktycznym (7.b).
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• wyznaczy długości odcinków BC i CF w zależności od tej samej zmiennej, np.:
a
BC =
i
3 3
3
8
2
a
CF =
⋅
lub
i
albo
wyznaczy skalę podobieństwa trójkątów BCD i CEF:
8 3
9
k =
albo
• wyznaczy długość odcinka CF w zależności od długości odcinków CB i CD oraz
zależność między długościami odcinków CD i CB, np.:
2
3
3
,
4
2
CD
CF
CD
CB
CB
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze pełne rozumowanie.
Uwaga
Ponieważ podobieństwo zachowuje stosunek długości odcinków, więc jeżeli zdający przyjmuje
konkretną wartość długości boku trójkąta i przeprowadzi rozumowanie do końca, ale nie
odwołuje się do tej własności, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt.
2
BC
x
9
8
CF
x
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Niech
a
BC =
. Wtedy
2
3
a
CD =
. Ponieważ
3
4
CE
CD , to
8
3
3
a
CE =
Zatem
3
3 3
3
9
9
2
8
2
16
16
a
CF
CE
a
BC
⋅
⋅
To kończy dowód.
II sposób
Trójkąt BCD jest trójkątem prostokątnym o kątach ostrych 30 i 60
°
° . Niech
y
BC =
. Wtedy
2
3
y
CD =
. Trójkąt CEF jest połową trójkąta równobocznego.
Niech
x
CF =
. Stąd
3
3
2x
CE =
Ponieważ
CD
CE
4
3
, to
2
3
4
3
3
3
2
y
x
⋅
. Stąd
y
x
16
9
To kończy dowód.
C
F
A
D
B
E
C
F
A
D
B
E
y
a
Zasady oceniania rozwiązań zadań
x
III sposób
Niech
x
BD . Trójkąt BCD jest trójkątem prostokątnym o kątach ostrych 30 i 60
°
°, więc
2
BC
x
oraz
3
CD
x
Ponieważ
, więc
. Trójkąt CEF jest połową trójkąta równobocznego,
więc
Stąd
.Zatem
To kończy dowód.
3
4
CE
CD
3
4
3
CE
x
3
4
9
8
3
3
2
x
CF
x
⋅
9
8
9
16
2
x
CF
CB
x
9
16
CF
CB
C
F
A
D
B
E
x
IV sposób
Trójkąty BCD i ECF są podobne na podstawie cechy (kąt, kąt, kąt). Przyjmijmy następujące
oznaczenie: BC
a
, wtedy
3
2
a
CD
h
. Skalę podobieństwa można obliczyć w
następujący sposób:
3
3
3
4
4
2
8 3
9
a
BC
a
a
k
CE
h
⋅
oraz
CD
k
CF
Stąd
3
9
9
2
16
8 3
CD
a
CF
a
k
⋅
To kończy dowód.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: α = 30°

\n

Wykazane poniżej dwiema metodami.

\n

Sposób 1 - Układ współrzędnych

\n

Ustawiamy prostą \\(k\\) jako oś \\(OX\\).

\n

Oba okręgi są styczne do \\(k\\), więc ich środki leżą prostopadle nad \\(k\\) na wysokości równej promieniowi:

\n

\\[S = (0,\\ 2), \\qquad P = (x_P,\\ 6)\\]

\n

(Środek małego okręgu na wysokości \\(r = 2\\), dużego na wysokości \\(R = 6\\).)

\n

Korzystamy z warunku styczności zewnętrznej:

\n

Okręgi styczne zewnętrznie \\(\\Rightarrow\\) odległość między środkami \\(= r + R\\):

\n

\\[|SP| = r + R = 2 + 6 = 8\\]

\n

Liczymy \\(x_P\\) ze wzoru na odległość:

\n

\\[\\sqrt{(x_P - 0)^2 + (6 - 2)^2} = 8\\]
\\[x_P^2 + 16 = 64\\]
\\[x_P^2 = 48\\]
\\[x_P = 4\\sqrt{3}\\]

\n

Wyznaczamy kąt nachylenia prostej \\(l\\) do \\(k\\):

\n

Współczynnik kierunkowy prostej \\(l\\) przez \\(S = (0, 2)\\) i \\(P = (4\\sqrt{3}, 6)\\):

\n

\\[a = \\frac{6 - 2}{4\\sqrt{3} - 0} = \\frac{4}{4\\sqrt{3}} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]

\n

Kąt \\(\\alpha\\), jaki prosta \\(l\\) tworzy z osią \\(OX\\) (czyli z prostą \\(k\\)):

\n

\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\quad \\Rightarrow \\quad \\alpha = 30°\\]

\n

Wniosek: Prosta \\(l\\) przecina prostą \\(k\\) pod kątem \\(\\boxed{\\alpha = 30°}\\). \\(\\square\\)

\n

Sposób 2 - Trójkąt prostokątny (metoda geometryczna)

\n

Budujemy pomocniczy trójkąt prostokątny.

\n

Przez środek \\(S\\) prowadzimy prostą poziomą (równoległą do \\(k\\)), a przez środek \\(P\\) - prostą pionową (prostopadłą do \\(k\\)). Niech \\(T\\) będzie punktem ich przecięcia.

\n

Powstaje trójkąt prostokątny \\(STP\\) z kątem prostym przy \\(T\\).

\n

Obliczamy jego boki:

\n\n

\\[|SP| = r + R = 2 + 6 = 8\\]

\n\n

\\[|TP| = R - r = 6 - 2 = 4\\]

\n

Liczymy sinus kąta \\(\\angle TSP = \\alpha\\):

\n

\\[\\sin\\alpha = \\frac{|TP|}{|SP|} = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}\\]

\n

Wnioskujemy o kącie:

\n

\\[\\sin\\alpha = \\frac{1}{2} \\quad \\Rightarrow \\quad \\alpha = 30°\\]

\n

Ponieważ \\(ST \\parallel k\\) (obydwie poziome), kąt między prostą \\(l\\) a \\(ST\\) jest równy kątowi między \\(l\\) a \\(k\\).

\n

Wniosek: \\(\\alpha = 30°\\). \\(\\square\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21):

\n\n

\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_P\\) z równania \\(x_P^2 + 4^2 = 8^2\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14):

\n\n

\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do }\\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]

\n\n

Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia kąta z \\(\\sin\\alpha = \\frac{4}{8}\\).

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):

\n\n

\\[|SP| = \\sqrt{(x_P - x_S)^2 + (y_P - y_S)^2}\\]
Użyte w Sposobie 1.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Odległość między środkami okręgów stycznych zewnętrznie to \\(r + R\\), a nie \\(R - r\\). To \\(R - r\\) byłoby dla styczności wewnętrznej. Tu mamy \\(|SP| = 2 + 6 = 8\\), nie \\(4\\).
\n
⚠️ Uwaga: Różnica wysokości środków nad prostą \\(k\\) to \\(R - r = 4\\), a nie \\(R + r = 8\\) - środki leżą po tej samej stronie prostej \\(k\\) (oba okręgi są styczne do \\(k\\) z tej samej strony).
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 kluczowe jest uzasadnienie, że \\(ST \\parallel k\\) - bo prowadzimy \\(ST\\) jako poziomą przez \\(S\\). Bez tego nie możemy bezpośrednio powiedzieć, że kąt \\(\\angle TSP\\) jest kątem między \\(l\\) a \\(k\\). Zdanie to trzeba explicite napisać w odpowiedzi na egzaminie!
\n

Dowód.

\n
Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów \\(ASO\\) i \\(BPO\\)
\n

Oznaczmy punkt przecięcia prostej \\(l\\) z \\(k\\) jako \\(O\\), punkty styczności z \\(k\\): \\(A\\) (dla okręgu o środku \\(S\\)), \\(B\\) (dla okręgu o środku \\(P\\)).

\n

Własność styczności: promień jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności. Zatem \\(SA \\perp k\\) i \\(PB \\perp k\\), a \\(|SA| = r = 2\\), \\(|PB| = R = 6\\).

\n

Trójkąty \\(ASO\\) i \\(BPO\\) są podobne (oba prostokątne, wspólny kąt \\(\\alpha\\) przy \\(O\\)). Stąd:
\\[\\dfrac{|BP|}{|PO|} = \\dfrac{|AS|}{|SO|}.\\]

\n

Niech \\(|SO| = x\\). Okręgi styczne zewnętrznie: \\(|SP| = r + R = 2 + 6 = 8\\), więc \\(|PO| = x + 8\\).
\\[\\dfrac{6}{x+8} = \\dfrac{2}{x} \\Rightarrow 6x = 2x + 16 \\Rightarrow 4x = 16 \\Rightarrow x = 4.\\]

\n

Obliczenie \\(\\sin\\alpha\\):
\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{|AS|}{|SO|} = \\dfrac{2}{4} = \\dfrac{1}{2} \\Rightarrow \\alpha = 30^\\circ. \\blacksquare\\]

\n
Sposób 2 - Konstrukcja odcinka równoległego
\n

Poprowadźmy odcinek \\(SC\\) równoległy do \\(k\\), gdzie \\(C \\in PB\\). Wtedy \\(|CB| = |AS| = 2\\) (odległości między liniami równoległymi), a \\(|CP| = R - r = 6 - 2 = 4\\).

\n

Trójkąt \\(SPC\\) jest prostokątny (\\(SC \\parallel k\\), \\(PB \\perp k\\) → \\(SC \\perp PC\\)), z przeciwprostokątną \\(|SP| = 8\\) i przyprostokątną \\(|CP| = 4\\):
\\[\\sin(\\angle CSP) = \\dfrac{|CP|}{|SP|} = \\dfrac{4}{8} = \\dfrac{1}{2}.\\]
Kąt \\(\\angle CSP = 30^\\circ\\). Ponieważ \\(SC \\parallel k\\), kąt \\(\\alpha\\) (kąt między prostą \\(l\\) a \\(k\\)) jest równy \\(\\angle CSP = 30^\\circ\\). \\(\\blacksquare\\)

\n

Kluczowe: wykorzystanie prostopadłości promienia do stycznej i równoległości, aby zredukować problem do trójkąta prostokątnego z \\(\\sin = \\tfrac{1}{2}\\).

"}]}