{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczba\n5\nlog\n125 jest równa\nA. 2\n3\nB. 2\nC. 3\nD. 3\n2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający zna\ndefinicję logarytmu\ni stosuje w obliczeniach wzory na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku\nnaturalnym (1.h).\nWersja X\nWersja Y\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n**\\(\\log(5^2 \\cdot 2^3)\\)**\n\n## Sposób 1 - Zamiana współczynników na wykładniki\n\nKluczowa obserwacja: **współczynnik stojący przed logarytmem możemy \"wciągnąć\" do środka jako wykładnik**.\n\nKorzystamy z własności:\n\\[r \\cdot \\log x = \\log x^r\\]\n\nStosujemy ją do każdego składnika:\n\\[2\\log 5 = \\log 5^2\\]\n\\[3\\log 2 = \\log 2^3\\]\n\nZatem:\n\\[2\\log 5 + 3\\log 2 = \\log 5^2 + \\log 2^3\\]\n\nTeraz łączymy dwa logarytmy w jeden, korzystając z własności:\n\\[\\log x + \\log y = \\log(x \\cdot y)\\]\n\n\\[\\log 5^2 + \\log 2^3 = \\log(5^2 \\cdot 2^3)\\]\n\n**Wynik: \\(\\log(5^2 \\cdot 2^3)\\), czyli odpowiedź D.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez obliczenie wartości\n\nSprawdzamy, czy odpowiedź D daje tę samą wartość liczbową co wyrażenie wyjściowe.\n\nObliczamy wyrażenie wyjściowe numerycznie:\n\\[2\\log 5 + 3\\log 2 \\approx 2 \\cdot 0{,}699 + 3 \\cdot 0{,}301 = 1{,}398 + 0{,}903 = 2{,}301\\]\n\nSprawdzamy odpowiedź D:\n\\[\\log(5^2 \\cdot 2^3) = \\log(25 \\cdot 8) = \\log 200 \\approx 2{,}301 \\checkmark\\]\n\nMożna też zauważyć, że:\n\\[\\log 200 = \\log(2 \\cdot 100) = \\log 2 + \\log 100 = \\log 2 + 2 \\approx 0{,}301 + 2 = 2{,}301\\]\n\n**Wartości się zgadzają - odpowiedź D jest poprawna.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - dwie własności użyte w rozwiązaniu:\n\n1. Mnożenie przez stałą:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy tej własności \"od prawej do lewej\": \\(2\\log 5 = \\log 5^2\\) i \\(3\\log 2 = \\log 2^3\\).\n\n2. Logarytm iloczynu:\n\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]\nUżyliśmy tej własności \"od prawej do lewej\": \\(\\log 5^2 + \\log 2^3 = \\log(5^2 \\cdot 2^3)\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd | Prawidłowe rozumowanie |\n| A | \\(\\log(2 \\cdot 5) + \\log(3 \\cdot 2)\\) - zamieniono **współczynniki przed** log na **mnożniki wewnątrz** log, zamiast wciągnąć je jako wykładniki | \\(2\\log 5 = \\log 5^2\\), nie \\(\\log(2 \\cdot 5)\\) |\n| B | \\(\\log 2^5 + \\log 3^2\\) - zamieniono **podstawy** \\(5\\) i \\(2\\) z **wykładnikami** \\(2\\) i \\(3\\) miejscami | Wykładnik to ten współczynnik, który stoi **przed** logarytmem |\n| C | \\(2 \\cdot 3 \\cdot \\log(5 \\cdot 2)\\) - pomnożono współczynniki i argument; \\(6\\log 10 = 6 \\cdot 1 = 6\\), a nie \\(2{,}301\\) | Współczynniki **nie mnożą się** między sobą ani nie wchodzą do środka jako argument |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność \\(r \\cdot \\log x = \\log x^r\\) działa tylko wtedy, gdy współczynnik staje się **wykładnikiem argumentu** - nie mnoży ani samego argumentu, ani podstawy logarytmu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log(a \\cdot b) \\neq \\log a \\cdot \\log b\\) - logarytm iloczynu to **suma** logarytmów, a nie iloczyn. Bardzo częsty błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu \\(\\log\\) bez podstawy oznacza \\(\\log_{10}\\) (logarytm dziesiętny). Zapamiętaj: \\(\\log 10 = 1\\), \\(\\log 100 = 2\\), \\(\\log 1000 = 3\\) - to przydaje się przy weryfikacji.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Własności logarytmów\n\\(k\\log a = \\log a^k\\) oraz \\(\\log a + \\log b = \\log(ab)\\). Stąd:\n\\[2\\log 5 + 3\\log 2 = \\log 5^2 + \\log 2^3 = \\log(5^2\\cdot 2^3) = \\log(25\\cdot 8) = \\log 200.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja numeryczna\n\\(2\\log 5 \\approx 2\\cdot 0{,}699 = 1{,}398\\); \\(3\\log 2 \\approx 3\\cdot 0{,}301 = 0{,}903\\). Suma: \\(\\approx 2{,}301 \\approx \\log 200\\). \\(\\log(5^2\\cdot 2^3) = \\log 200\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\(\\log(2\\cdot 5) + \\log(3\\cdot 2) = \\log 10 + \\log 6 = \\log 60\\) - nie jest równe \\(\\log 200\\).\n- **B.** \\(\\log 2^5 + \\log 3^2 = \\log(32\\cdot 9) = \\log 288\\) - pomylono podstawy liczb.\n- **C.** \\(2\\cdot 3\\log(5\\cdot 2) = 6\\log 10 = 6\\) - błędne mnożenie współczynników.\n\n**Klucz:** współczynnik \\(k\\) idzie **do wykładnika** potęgi wewnątrz \\(\\log\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 3. (1 pkt)<br>Liczba<br>5<br>log<br>125 jest równa<br>A. 2<br>3<br>B. 2<br>C. 3<br>D. 3<br>2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 3. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Liczby rzeczywiste. Zdający zna</li></ol>\n<p>definicję logarytmu<br>i stosuje w obliczeniach wzory na<br>logarytm iloczynu, logarytm ilorazu<br>i logarytm potęgi o wykładniku<br>naturalnym (1.h).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>D<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p><strong>\\(\\log(5^2 \\cdot 2^3)\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 1 - Zamiana współczynników na wykładniki</h4>\n<p>Kluczowa obserwacja: <strong>współczynnik stojący przed logarytmem możemy &quot;wciągnąć&quot; do środka jako wykładnik</strong>.</p>\n<p>Korzystamy z własności:<br>\\[r \\cdot \\log x = \\log x^r\\]</p>\n<p>Stosujemy ją do każdego składnika:<br>\\[2\\log 5 = \\log 5^2\\]<br>\\[3\\log 2 = \\log 2^3\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[2\\log 5 + 3\\log 2 = \\log 5^2 + \\log 2^3\\]</p>\n<p>Teraz łączymy dwa logarytmy w jeden, korzystając z własności:<br>\\[\\log x + \\log y = \\log(x \\cdot y)\\]</p>\n<p>\\[\\log 5^2 + \\log 2^3 = \\log(5^2 \\cdot 2^3)\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(\\log(5^2 \\cdot 2^3)\\), czyli odpowiedź D.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez obliczenie wartości</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy odpowiedź D daje tę samą wartość liczbową co wyrażenie wyjściowe.</p>\n<p>Obliczamy wyrażenie wyjściowe numerycznie:<br>\\[2\\log 5 + 3\\log 2 \\approx 2 \\cdot 0{,}699 + 3 \\cdot 0{,}301 = 1{,}398 + 0{,}903 = 2{,}301\\]</p>\n<p>Sprawdzamy odpowiedź D:<br>\\[\\log(5^2 \\cdot 2^3) = \\log(25 \\cdot 8) = \\log 200 \\approx 2{,}301 \\checkmark\\]</p>\n<p>Można też zauważyć, że:<br>\\[\\log 200 = \\log(2 \\cdot 100) = \\log 2 + \\log 100 = \\log 2 + 2 \\approx 0{,}301 + 2 = 2{,}301\\]</p>\n<p><strong>Wartości się zgadzają - odpowiedź D jest poprawna.</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)</strong> - dwie własności użyte w rozwiązaniu:</p>\n<ol><li>Mnożenie przez stałą:</li></ol>\n<p>\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]<br>Użyliśmy tej własności &quot;od prawej do lewej&quot;: \\(2\\log 5 = \\log 5^2\\) i \\(3\\log 2 = \\log 2^3\\).</p>\n<ol><li>Logarytm iloczynu:</li></ol>\n<p>\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]<br>Użyliśmy tej własności &quot;od prawej do lewej&quot;: \\(\\log 5^2 + \\log 2^3 = \\log(5^2 \\cdot 2^3)\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd | Prawidłowe rozumowanie |<br>| A | \\(\\log(2 \\cdot 5) + \\log(3 \\cdot 2)\\) - zamieniono <strong>współczynniki przed</strong> log na <strong>mnożniki wewnątrz</strong> log, zamiast wciągnąć je jako wykładniki | \\(2\\log 5 = \\log 5^2\\), nie \\(\\log(2 \\cdot 5)\\) |<br>| B | \\(\\log 2^5 + \\log 3^2\\) - zamieniono <strong>podstawy</strong> \\(5\\) i \\(2\\) z <strong>wykładnikami</strong> \\(2\\) i \\(3\\) miejscami | Wykładnik to ten współczynnik, który stoi <strong>przed</strong> logarytmem |<br>| C | \\(2 \\cdot 3 \\cdot \\log(5 \\cdot 2)\\) - pomnożono współczynniki i argument; \\(6\\log 10 = 6 \\cdot 1 = 6\\), a nie \\(2{,}301\\) | Współczynniki <strong>nie mnożą się</strong> między sobą ani nie wchodzą do środka jako argument |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Własność \\(r \\cdot \\log x = \\log x^r\\) działa tylko wtedy, gdy współczynnik staje się <strong>wykładnikiem argumentu</strong> - nie mnoży ani samego argumentu, ani podstawy logarytmu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\log(a \\cdot b) \\neq \\log a \\cdot \\log b\\) - logarytm iloczynu to <strong>suma</strong> logarytmów, a nie iloczyn. Bardzo częsty błąd!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W zadaniu \\(\\log\\) bez podstawy oznacza \\(\\log_{10}\\) (logarytm dziesiętny). Zapamiętaj: \\(\\log 10 = 1\\), \\(\\log 100 = 2\\), \\(\\log 1000 = 3\\) - to przydaje się przy weryfikacji.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Własności logarytmów</h5>\n<p>\\(k\\log a = \\log a^k\\) oraz \\(\\log a + \\log b = \\log(ab)\\). Stąd:<br>\\[2\\log 5 + 3\\log 2 = \\log 5^2 + \\log 2^3 = \\log(5^2\\cdot 2^3) = \\log(25\\cdot 8) = \\log 200.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Weryfikacja numeryczna</h5>\n<p>\\(2\\log 5 \\approx 2\\cdot 0{,}699 = 1{,}398\\); \\(3\\log 2 \\approx 3\\cdot 0{,}301 = 0{,}903\\). Suma: \\(\\approx 2{,}301 \\approx \\log 200\\). \\(\\log(5^2\\cdot 2^3) = \\log 200\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> \\(\\log(2\\cdot 5) + \\log(3\\cdot 2) = \\log 10 + \\log 6 = \\log 60\\) - nie jest równe \\(\\log 200\\).</li><li><strong>B.</strong> \\(\\log 2^5 + \\log 3^2 = \\log(32\\cdot 9) = \\log 288\\) - pomylono podstawy liczb.</li><li><strong>C.</strong> \\(2\\cdot 3\\log(5\\cdot 2) = 6\\log 10 = 6\\) - błędne mnożenie współczynników.</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> współczynnik \\(k\\) idzie <strong>do wykładnika</strong> potęgi wewnątrz \\(\\log\\).</p>"}]}