{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną\nliczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A\npolegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nIII. Modelowanie matematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej; teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający\nwykorzystuje własności prawdopodobieństwa i\nstosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja\nprawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń (10.d).\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\nzapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych\n26\n36\nΩ =\nlub opisze zbiór\nzdarzeń elementarnych za pomocą tabeli\nalbo\nwypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:\n(\n)\n{\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)}\n1,5 , 2,5 , 3,5 , 4,5 , 5,5 , 5,6 , 5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 6,5\nA =\nC\nF\nA\nD\nB\nE\na\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nlub zaznaczy je wszystkie w tabeli lub zaznaczy wszystkie istotne gałęzie na pełnym\ndrzewie składającym się z 36 gałęzi,\nalbo\nobliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A , np.:\n2 6 1 11\nA = ⋅-=\n,\n5\n5 1 11\nA =\ni nie wskaże przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A,\nalbo\nzapisze prawdopodobieństwa potrzebne do wyznaczenia końcowego wyniku na dwóch\netapach (przy stosowaniu metody drzewa probabilistycznego składającego się\nz czterech gałęzi) oraz wskaże wszystkie istotne gałęzie (dla zdarzenia A lub zdarzenia A′)\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: ( )\n11\n36\nA\nP A =\nΩ\nUwagi\n1. Jeżeli zdający zapisze tylko:\n11\nA =\n,\n36\nΩ =\n,\n11\n( )\n36\nP A =\n, lub zapisze tylko:\n11\n( )\n36\nP A =\n,\nlub 11\n36\n, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający zapisze prawdopodobieństwo\n1 1\n1 5\n( )\n2\n6 6\n6 6\nP A =\n⋅\n⋅\n⋅\n, to otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający zapisze tylko\n11\nA =\n, to otrzymuje 1 punkt.\n4. Jeżeli zdający popełni błąd przy wypisywaniu zdarzeń elementarnych i wypisze o jedno za\nmało lub jedno powtórzy, ale nie wypisze żadnego niewłaściwego i konsekwentnie do\npopełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający stosuje drzewo probabilistyczne o 36 gałęziach, w którym przynajmniej 7\ngałęzi odpowiada sytuacjom sprzyjającym rozważanemu zdarzeniu A (lub przynajmniej 13,\ngdy rozpatruje zdarzenie A′), ale nie wskaże gałęzi niewłaściwej, i konsekwentnie do\npopełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo to otrzymuje 1 punkt.\n6. Jeżeli zdający narysuje tylko drzewko i nie zaznaczy oraz nie opisze żadnej gałęzi,\nto otrzymuje 0 punków.\n7. Jeżeli zdający zapisze tylko liczby 36 lub 11 lub 25 i z rozwiązania zadania nie wynika\nznaczenie tych liczb, to otrzymuje 0 punktów.\n8. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nlub\n( )\n0\nP A\nP A\n>\n<\n, to otrzymuje\nza całe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu\nw działaniach na ułamkach.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nObliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia\n26\n36\nΩ =\nlub\nopisujemy zbiór zdarzeń elementarnych w postaci tabeli\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n1\n(1,1)\n(1,2)\n(1,3)\n(1,4)\n(1,5)\n(1,6)\n2\n(2,1)\n(2,2)\n(2,3)\n(2,4)\n(2,5)\n(2,6)\n3\n(3,1)\n(3,2)\n(3,3)\n(3,4)\n(3,5)\n(3,6)\n4\n(4,1)\n(4,2)\n(4,3)\n(4,4)\n(4,5)\n(4,6)\n5\n(5,1)\n(5,2)\n(5,3)\n(5,4)\n(5,5)\n(5,6)\n6\n(6,1)\n(6,2)\n(6,3)\n(6,4)\n(6,5)\n(6,6)\nWskazujemy elementy zbioru A i zliczamy je:\n11\nA =\nObliczamy\nprawdopodobieństwo\nzdarzenia\nA.\nPonieważ\nwszystkie\nzdarzenia\njednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, więc korzystamy z klasycznej definicji\nprawdopodobieństwa:\n( )\n11\n36\nA\nP A =\nΩ\nII sposób\nObliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n26\n36\nΩ =\nA - zdarzenie polegające na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma\noczkami.\n- zdarzenie polegające na tym, że ani razu nie wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.\nWskazujemy elementy zbioru A′ (wypisujemy lub zaznaczamy w tabeli) i zliczamy je:\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n1\n(1,1)\n(1,2)\n(1,3)\n(1,4)\n(1,5)\n(1,6)\n2\n(2,1)\n(2,2)\n(2,3)\n(2,4)\n(2,5)\n(2,6)\n3\n(3,1)\n(3,2)\n(3,3)\n(3,4)\n(3,5)\n(3,6)\n4\n(4,1)\n(4,2)\n(4,3)\n(4,4)\n(4,5)\n(4,6)\n5\n(5,1)\n(5,2)\n(5,3)\n(5,4)\n(5,5)\n(5,6)\n6\n(6,1)\n(6,2)\n(6,3)\n(6,4)\n(6,5)\n(6,6)\n25\n25\nA′ =\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\nA′\n( )\n(\n)\n36\n11\n36\n25\n1\n1\n′\nA\nP\nA\nP\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nIII sposób (metoda drzewka)\nPrzedstawiamy model graficzny doświadczenia.\n5 - oznacza wypadnięcie ścianki kostki z pięcioma oczkami, z - oznacza wypadnięcie\ninnej ścianki niż z pięcioma oczkami.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n1 1\n1 5\n5 1\n11\n6 6\n6 6\n6 6\n36\nP A =\n⋅\n⋅\n⋅","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -3\\), \\(x = -2\\), \\(x = 3\\)\n\n## Sposób 1 - Własność iloczynu zerowego\n\nJeśli iloczyn dwóch wyrażeń równa się zero, to **co najmniej jedno z nich musi być równe zero**.\n\n\\[(x^3 + 8)(x^2 - 9) = 0\\]\n\nZatem:\n\\[x^3 + 8 = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad x^2 - 9 = 0\\]\n\n**Przypadek 1:** \\(x^3 + 8 = 0\\)\n\n\\[x^3 = -8\\]\n\\[x = \\sqrt[3]{-8} = -2\\]\n\n**Przypadek 2:** \\(x^2 - 9 = 0\\)\n\n\\[x^2 = 9\\]\n\\[x = \\pm\\sqrt{9} = \\pm 3\\]\n\nStąd: \\(x = 3\\) lub \\(x = -3\\).\n\n**Odpowiedź:** \\[x \\in \\{-3,\\; -2,\\; 3\\}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (wzory skróconego mnożenia)\n\nZamiast rozwiązywać oba równania osobno, rozłóżmy każdy nawias na czynniki, używając wzorów:\n\n**Nawias pierwszy** - suma sześcianów (\\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\)):\n\n\\[x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)\\]\n\n**Nawias drugi** - różnica kwadratów (\\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\)):\n\n\\[x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)\\]\n\nCałe równanie staje się:\n\n\\[(x+2)(x^2 - 2x + 4)(x-3)(x+3) = 0\\]\n\nSprawdzamy każdy czynnik:\n\n- \\(x + 2 = 0 \\Rightarrow x = -2\\) ✓\n- \\(x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3\\) ✓\n- \\(x + 3 = 0 \\Rightarrow x = -3\\) ✓\n- \\(x^2 - 2x + 4 = 0\\): liczymy \\(\\Delta = (-2)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0\\) → **brak rozwiązań rzeczywistych**\n\n**Wynik identyczny:** \\(x \\in \\{-3,\\; -2,\\; 3\\}\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\n\\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\]\n\nUżyte w Sposobie 2 do rozkładu \\(x^3 + 8\\) jako \\(x^3 + 2^3\\).\n\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\n\nUżyte do rozkładu \\(x^2 - 9\\) jako \\(x^2 - 3^2\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\nUżyte w Sposobie 2 do sprawdzenia, że \\(x^2 - 2x + 4 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych (\\(\\Delta < 0\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(x^3 + 8 = 0\\) uczniowie często błędnie piszą \\(x = 2\\) (bez minusa). Pamiętaj: \\(\\sqrt[3]{-8} = -2\\), bo \\((-2)^3 = -8\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójmian \\(x^2 - 2x + 4\\) wygląda jak coś, co da się rozwiązać - sprawdź zawsze deltę, zanim przyjmiesz, że czynnik daje rozwiązanie. Tu \\(\\Delta < 0\\), więc odpada.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloczyn zerowy działa tylko dla iloczynu równego **zero** - gdyby prawa strona była np. \\(6\\), nie można by tak rozdzielać.\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in \\{-3, -2, 3\\}\\)**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn = 0\nIloczyn jest zerem, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem.\n\n**Czynnik 1:** \\(x^3 + 8 = 0\\):\n\\[x^3 = -8 \\Rightarrow x = \\sqrt[3]{-8} = -2.\\]\n(W zbiorze liczb rzeczywistych tylko jedno rozwiązanie.)\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 - 9 = 0\\):\n\\[x^2 = 9 \\Rightarrow x = \\pm 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Pełny rozkład na czynniki\n\\(x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)\\) (wzór \\(a^3+b^3\\)). Drugi czynnik \\(x^2 - 2x + 4\\) ma \\(\\Delta = 4 - 16 = -12 < 0\\), więc brak pierwiastków rzeczywistych.\n\\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\).\n\nRównanie: \\((x+2)(x^2-2x+4)(x-3)(x+3) = 0\\).\nPierwiastki: \\(-2\\), \\(3\\), \\(-3\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\{-3, -2, 3\\}\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 30. (2 pkt)
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną
liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A
polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (2 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
III. Modelowanie matematyczne.

\n
  1. Elementy statystyki opisowej; teoria
\n

prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający
wykorzystuje własności prawdopodobieństwa i
stosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja
prawdopodobieństwa do obliczania
prawdopodobieństw zdarzeń (10.d).
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych
26
36
Ω =
lub opisze zbiór
zdarzeń elementarnych za pomocą tabeli
albo
wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:
(
)
{
(
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)}
1,5 , 2,5 , 3,5 , 4,5 , 5,5 , 5,6 , 5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 6,5
A =
C
F
A
D
B
E
a
Zasady oceniania rozwiązań zadań
lub zaznaczy je wszystkie w tabeli lub zaznaczy wszystkie istotne gałęzie na pełnym
drzewie składającym się z 36 gałęzi,
albo
obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A , np.:
2 6 1 11
A = ⋅-=
,
5
5 1 11
A =
i nie wskaże przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych
sprzyjających zdarzeniu A,
albo
zapisze prawdopodobieństwa potrzebne do wyznaczenia końcowego wyniku na dwóch
etapach (przy stosowaniu metody drzewa probabilistycznego składającego się
z czterech gałęzi) oraz wskaże wszystkie istotne gałęzie (dla zdarzenia A lub zdarzenia A′)
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: ( )
11
36
A
P A =
Ω
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze tylko:
\n

11
A =
,
36
Ω =
,
11
( )
36
P A =
, lub zapisze tylko:
11
( )
36
P A =
,
lub 11
36
, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze prawdopodobieństwo
\n

1 1
1 5
( )
2
6 6
6 6
P A =
⋅
⋅
⋅
, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze tylko
\n

11
A =
, to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd przy wypisywaniu zdarzeń elementarnych i wypisze o jedno za
\n

mało lub jedno powtórzy, ale nie wypisze żadnego niewłaściwego i konsekwentnie do
popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający stosuje drzewo probabilistyczne o 36 gałęziach, w którym przynajmniej 7
\n

gałęzi odpowiada sytuacjom sprzyjającym rozważanemu zdarzeniu A (lub przynajmniej 13,
gdy rozpatruje zdarzenie A′), ale nie wskaże gałęzi niewłaściwej, i konsekwentnie do
popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający narysuje tylko drzewko i nie zaznaczy oraz nie opisze żadnej gałęzi,
\n

to otrzymuje 0 punków.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze tylko liczby 36 lub 11 lub 25 i z rozwiązania zadania nie wynika
\n

znaczenie tych liczb, to otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma
\n

( )
1
lub
( )
0
P A
P A

\n
\n

<
, to otrzymuje
za całe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu
w działaniach na ułamkach.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia
26
36
Ω =
lub
opisujemy zbiór zdarzeń elementarnych w postaci tabeli
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
Wskazujemy elementy zbioru A i zliczamy je:
11
A =
Obliczamy
prawdopodobieństwo
zdarzenia
A.
Ponieważ
wszystkie
zdarzenia
jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, więc korzystamy z klasycznej definicji
prawdopodobieństwa:
( )
11
36
A
P A =
Ω
II sposób
Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
26
36
Ω =
A - zdarzenie polegające na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma
oczkami.

\n\n

Wskazujemy elementy zbioru A′ (wypisujemy lub zaznaczamy w tabeli) i zliczamy je:
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
25
25
A′ =
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
A′
( )
(
)
36
11
36
25
1
1
′
A
P
A
P
Zasady oceniania rozwiązań zadań
III sposób (metoda drzewka)
Przedstawiamy model graficzny doświadczenia.
5 - oznacza wypadnięcie ścianki kostki z pięcioma oczkami, z - oznacza wypadnięcie
innej ścianki niż z pięcioma oczkami.
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
( )
1 1
1 5
5 1
11
6 6
6 6
6 6
36
P A =
⋅
⋅
⋅

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = -3\\), \\(x = -2\\), \\(x = 3\\)

\n

Sposób 1 - Własność iloczynu zerowego

\n

Jeśli iloczyn dwóch wyrażeń równa się zero, to co najmniej jedno z nich musi być równe zero.

\n

\\[(x^3 + 8)(x^2 - 9) = 0\\]

\n

Zatem:
\\[x^3 + 8 = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad x^2 - 9 = 0\\]

\n

Przypadek 1: \\(x^3 + 8 = 0\\)

\n

\\[x^3 = -8\\]
\\[x = \\sqrt[3]{-8} = -2\\]

\n

Przypadek 2: \\(x^2 - 9 = 0\\)

\n

\\[x^2 = 9\\]
\\[x = \\pm\\sqrt{9} = \\pm 3\\]

\n

Stąd: \\(x = 3\\) lub \\(x = -3\\).

\n

Odpowiedź: \\[x \\in \\{-3,\\; -2,\\; 3\\}\\]

\n

Sposób 2 - Rozkład na czynniki (wzory skróconego mnożenia)

\n

Zamiast rozwiązywać oba równania osobno, rozłóżmy każdy nawias na czynniki, używając wzorów:

\n

Nawias pierwszy - suma sześcianów (\\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\)):

\n

\\[x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)\\]

\n

Nawias drugi - różnica kwadratów (\\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\)):

\n

\\[x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)\\]

\n

Całe równanie staje się:

\n

\\[(x+2)(x^2 - 2x + 4)(x-3)(x+3) = 0\\]

\n

Sprawdzamy każdy czynnik:

\n\n

Wynik identyczny: \\(x \\in \\{-3,\\; -2,\\; 3\\}\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):

\n

\\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\]

\n

Użyte w Sposobie 2 do rozkładu \\(x^3 + 8\\) jako \\(x^3 + 2^3\\).

\n

\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]

\n

Użyte do rozkładu \\(x^2 - 9\\) jako \\(x^2 - 3^2\\).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):

\n

\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]

\n

Użyte w Sposobie 2 do sprawdzenia, że \\(x^2 - 2x + 4 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych (\\(\\Delta < 0\\)).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy \\(x^3 + 8 = 0\\) uczniowie często błędnie piszą \\(x = 2\\) (bez minusa). Pamiętaj: \\(\\sqrt[3]{-8} = -2\\), bo \\((-2)^3 = -8\\).
\n
⚠️ Uwaga: Trójmian \\(x^2 - 2x + 4\\) wygląda jak coś, co da się rozwiązać - sprawdź zawsze deltę, zanim przyjmiesz, że czynnik daje rozwiązanie. Tu \\(\\Delta < 0\\), więc odpada.
\n
⚠️ Uwaga: Iloczyn zerowy działa tylko dla iloczynu równego zero - gdyby prawa strona była np. \\(6\\), nie można by tak rozdzielać.
\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\{-3, -2, 3\\}\\)

\n
Sposób 1 - Iloczyn = 0
\n

Iloczyn jest zerem, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem.

\n

Czynnik 1: \\(x^3 + 8 = 0\\):
\\[x^3 = -8 \\Rightarrow x = \\sqrt[3]{-8} = -2.\\]
(W zbiorze liczb rzeczywistych tylko jedno rozwiązanie.)

\n

Czynnik 2: \\(x^2 - 9 = 0\\):
\\[x^2 = 9 \\Rightarrow x = \\pm 3.\\]

\n
Sposób 2 - Pełny rozkład na czynniki
\n

\\(x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)\\) (wzór \\(a^3+b^3\\)). Drugi czynnik \\(x^2 - 2x + 4\\) ma \\(\\Delta = 4 - 16 = -12 < 0\\), więc brak pierwiastków rzeczywistych.
\\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\).

\n

Równanie: \\((x+2)(x^2-2x+4)(x-3)(x+3) = 0\\).
Pierwiastki: \\(-2\\), \\(3\\), \\(-3\\).

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\{-3, -2, 3\\}\\).

"}]}