{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nKąt\njest ostry i spełnia warunek 2sin\n3cos\n4\ncos\nα\nα\nα\n. Oblicz tangens kąta\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nα\nα\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n6. Trygonometria. Zdający stosuje proste związki\nmiędzy funkcjami trygonometrycznymi kąta\nostrego (6.c).\nZasady oceniania I, II, III i IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy przekształci równanie 2sin\n3cos\n4\ncos\nα\nα\nα\ndo postaci:\n2tg\n3\n4\nα +\nlub 2sin\ncos\nα\nα\nlub 2sin\ncos\n0\nα\nα\nlub 2 a\nb\nc\nc\nlub 2a\nb\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy tangens kąta α :\n1\ntg\n2\nα =\n, ale nie uzyska go w wyniku błędnej metody.\nUwagi\n1.\nJeżeli zdający popełni błąd i zapisze\ncos\ntg\nsin\nα\nα\nα\n, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt.\n2.\nJeżeli zdający popełni jedyny błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru\na\nb\na\nb\nalbo (\n)\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\ni konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do\nkońca, to zmoże otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 1 punkt.\n5\n6\n5\nz\n1\n6\n1\n6\n5\n6\n5\n6\n1\n6\n5\nz\n5\nz\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nRównanie 2sin\n3cos\n4\ncos\nα\nα\nα\nprzekształcamy równoważnie do postaci:\n2sin\n3cos\n4\ncos\ncos\nα\nα\nα\nα\nStąd 2tg\n3\n4\nα +\n, czyli\n1\ntg\n2\nα =\nII sposób\nRównanie 2sin\n3cos\n4\ncos\nα\nα\nα\nprzekształcamy równoważnie do postaci:\n2sin\n3cos\n4cos\nα\nα\nα\nStąd 2sin\ncos\nα\nα\n, czyli\n1\ntg\n2\nα =\nIII sposób\nRysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b,\ndługość przeciwprostokątnej c oraz zaznaczamy kąt ostryα taki, żesin\na\nc\nα =\nlub cos\nb\nc\nα =\nPodane równanie 2sin\n3cos\n4\ncos\nα\nα\nα\nzapisujemy w postaci\n2\n3\n4\na\nb\nc\nc\nb\nc\n⋅\n+ ⋅\n. Następnie\nwykonujemy przekształcenia na lewej stronie tej równości i otrzymujemy 2\n3\n4\na\nb\nb\n. Stąd wynika,\nże 2\n3\n4\na\nb\nb\n, czyli 2a\nb\n. Ostatnia równość oznacza, że\n1\n2\na\nb =\n. Zatem\n1\ntg\n2\nα =\nIV sposób\nRównanie 2sin\n3cos\n4\ncos\nα\nα\nα\nprzekształcamy równoważnie do postaci\n2sin\n3cos\n4cos\nα\nα\nα\nStąd wynika, że 2sin\ncos\nα\nα\n. Korzystamy z tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\nα\nα\n= i otrzymujemy\nrównanie\n(\n)\n2\n2\nsin\n2sin\n1\nα\nα\n= . Stąd\n2\n1\nsin\n5\nα =\n. Ponieważ α jest kątem ostrym, więc\n1\nsin\n5\nα =\nAle cos\n2sin\nα\nα\n, więc\n2\ncos\n5\nα =\n. Ostatecznie\n1\nsin\n1\n5\ntg\n2\ncos\n2\n5\nα\nα\nα\na\nc\nb\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(n = 28\\)\n\n## Sposób 1 - Równanie z prawdopodobieństwa klasycznego\n\n**Co wiemy przed dołożeniem kul:**\n- kul białych: \\(5\\)\n- kul czarnych: \\(3\\)\n- kul łącznie: \\(8\\)\n\n**Po dołożeniu \\(n\\) kul białych:**\n- kul białych: \\(5 + n\\)\n- kul łącznie: \\(8 + n\\)\n\nPrawdopodobieństwo wylosowania kuli białej:\n\\[P(\\text{biała}) = \\frac{5 + n}{8 + n}\\]\n\nZgodnie z warunkiem zadania:\n\\[\\frac{5 + n}{8 + n} = \\frac{11}{12}\\]\n\nMnożymy krzyżowo (obie strony razy \\(12\\) i razy \\((8+n)\\)):\n\\[12(5 + n) = 11(8 + n)\\]\n\\[60 + 12n = 88 + 11n\\]\n\\[12n - 11n = 88 - 60\\]\n\\[\\boxed{n = 28}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(n = 28\\) spełnia warunek zadania:\n\n- kul białych: \\(5 + 28 = 33\\)\n- kul łącznie: \\(8 + 28 = 36\\)\n\n\\[P(\\text{biała}) = \\frac{33}{36} = \\frac{11}{12} \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba wyników sprzyjających zdarzeniu \\(A\\), a \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich możliwych wyników (równie prawdopodobnych).\n\nUżyliśmy tego wzoru, by zapisać \\(P(\\text{biała}) = \\frac{5+n}{8+n}\\) - licznik to kule białe (wyniki sprzyjające), mianownik to wszystkie kule (przestrzeń zdarzeń elementarnych).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nZadanie jest otwarte (oblicz \\(n\\)), więc typowe błędy prowadzące do złego wyniku:\n\n| Błąd | Niepoprawny wynik |\n| Piszemy \\(\\frac{n}{8+n} = \\frac{11}{12}\\) - zapominamy o 5 białych, które już były w pudełku | \\(n = \\frac{88}{1} = 88\\) (zły mianownik-licznik) |\n| Piszemy \\(\\frac{5+n}{8} = \\frac{11}{12}\\) - nie aktualizujemy mianownika (łącznej liczby kul) | \\(n = \\frac{88-60}{12} = \\frac{28}{12} \\notin \\mathbb{N}\\) - wynik niebędący liczbą naturalną |\n| Błąd w mnożeniu krzyżowym: \\(11(5+n) = 12(8+n)\\) - zamienione strony | \\(55 + 11n = 96 + 12n \\Rightarrow n = -41\\) - wynik ujemny |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik ułamka to **łączna** liczba kul po dołożeniu - czyli \\(8 + n\\), nie samo \\(n\\) ani samo \\(8\\). Dołożone kule zwiększają zarówno licznik (białe), jak i mianownik (wszystkie).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed mnożeniem krzyżowym upewnij się, że masz równanie postaci \\(\\frac{A}{B} = \\frac{C}{D}\\) - wtedy \\(A \\cdot D = B \\cdot C\\). Zamiana stron w mnożeniu krzyżowym to jeden z najczęstszych błędów!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(n\\) musi być **dodatnią liczbą naturalną** - jeśli wychodzi ułamek lub liczba ujemna, gdzieś jest błąd w równaniu.\n\n**Odpowiedź: \\(n = 28\\)**\n\n### Sposób 1 - Równanie bezpośrednie\nPo dodaniu \\(n\\) kul białych:\n- Wszystkich kul: \\(8 + n\\).\n- Białych: \\(5 + n\\).\n\nPrawdopodobieństwo wylosowania białej:\n\\[P(\\text{biała}) = \\dfrac{5+n}{8+n} = \\dfrac{11}{12}.\\]\nMnożymy na krzyż:\n\\[12(5+n) = 11(8+n)\\]\n\\[60 + 12n = 88 + 11n\\]\n\\[n = 28.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez zdarzenie przeciwne\nPrawdopodobieństwo czarnej: \\(1 - \\tfrac{11}{12} = \\tfrac{1}{12}\\).\nCzarnych jest \\(3\\): \\(\\dfrac{3}{8+n} = \\dfrac{1}{12} \\Rightarrow 8+n = 36 \\Rightarrow n = 28\\).\n\n### Sposób 3 - Przez rozszerzenie ułamka\n\\(\\tfrac{11}{12}\\) oznacza \\(11\\) białych na \\(12\\) wszystkich. Skalujemy tak, aby liczba czarnych (= liczba wszystkich - liczba białych w proporcji) wynosiła \\(3\\): \\(12 - 11 = 1\\) odpowiada \\(1\\) czarnej; żeby było \\(3\\), mnożymy \\(\\times 3\\): \\(\\tfrac{33}{36}\\). Wszystkich kul \\(36\\), czyli \\(n = 36 - 8 = 28\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(n = 28\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (2 pkt)
Kąt
jest ostry i spełnia warunek 2sin
3cos
4
cos
α
α
α
. Oblicz tangens kąta
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
α
α

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (2 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
IV. Użycie i tworzenie strategii.

\n
  1. Trygonometria. Zdający stosuje proste związki
\n

między funkcjami trygonometrycznymi kąta
ostrego (6.c).
Zasady oceniania I, II, III i IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy przekształci równanie 2sin
3cos
4
cos
α
α
α
do postaci:
2tg
3
4
α +
lub 2sin
cos
α
α
lub 2sin
cos
0
α
α
lub 2 a
b
c
c
lub 2a
b
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy tangens kąta α :
1
tg
2
α =
, ale nie uzyska go w wyniku błędnej metody.
Uwagi
1.
Jeżeli zdający popełni błąd i zapisze
cos
tg
sin
α
α
α
, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt.
2.
Jeżeli zdający popełni jedyny błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru
a
b
a
b
albo (
)
2
2
2
a
b
a
b
i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do
końca, to zmoże otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 1 punkt.
5
6
5
z
1
6
1
6
5
6
5
6
1
6
5
z
5
z
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Równanie 2sin
3cos
4
cos
α
α
α
przekształcamy równoważnie do postaci:
2sin
3cos
4
cos
cos
α
α
α
α
Stąd 2tg
3
4
α +
, czyli
1
tg
2
α =
II sposób
Równanie 2sin
3cos
4
cos
α
α
α
przekształcamy równoważnie do postaci:
2sin
3cos
4cos
α
α
α
Stąd 2sin
cos
α
α
, czyli
1
tg
2
α =
III sposób
Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b,
długość przeciwprostokątnej c oraz zaznaczamy kąt ostryα taki, żesin
a
c
α =
lub cos
b
c
α =
Podane równanie 2sin
3cos
4
cos
α
α
α
zapisujemy w postaci
2
3
4
a
b
c
c
b
c
⋅

\n\n

. Następnie
wykonujemy przekształcenia na lewej stronie tej równości i otrzymujemy 2
3
4
a
b
b
. Stąd wynika,
że 2
3
4
a
b
b
, czyli 2a
b
. Ostatnia równość oznacza, że
1
2
a
b =
. Zatem
1
tg
2
α =
IV sposób
Równanie 2sin
3cos
4
cos
α
α
α
przekształcamy równoważnie do postaci
2sin
3cos
4cos
α
α
α
Stąd wynika, że 2sin
cos
α
α
. Korzystamy z tożsamości
2
2
sin
cos
1
α
α
= i otrzymujemy
równanie
(
)
2
2
sin
2sin
1
α
α
= . Stąd
2
1
sin
5
α =
. Ponieważ α jest kątem ostrym, więc
1
sin
5
α =
Ale cos
2sin
α
α
, więc
2
cos
5
α =
. Ostatecznie
1
sin
1
5
tg
2
cos
2
5
α
α
α
a
c
b
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(n = 28\\)

\n

Sposób 1 - Równanie z prawdopodobieństwa klasycznego

\n

Co wiemy przed dołożeniem kul:

\n\n

Po dołożeniu \\(n\\) kul białych:

\n\n

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej:
\\[P(\\text{biała}) = \\frac{5 + n}{8 + n}\\]

\n

Zgodnie z warunkiem zadania:
\\[\\frac{5 + n}{8 + n} = \\frac{11}{12}\\]

\n

Mnożymy krzyżowo (obie strony razy \\(12\\) i razy \\((8+n)\\)):
\\[12(5 + n) = 11(8 + n)\\]
\\[60 + 12n = 88 + 11n\\]
\\[12n - 11n = 88 - 60\\]
\\[\\boxed{n = 28}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy, czy \\(n = 28\\) spełnia warunek zadania:

\n\n

\\[P(\\text{biała}) = \\frac{33}{36} = \\frac{11}{12} \\checkmark\\]

\n

Wynik się zgadza.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
gdzie \\(|A|\\) to liczba wyników sprzyjających zdarzeniu \\(A\\), a \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich możliwych wyników (równie prawdopodobnych).

\n

Użyliśmy tego wzoru, by zapisać \\(P(\\text{biała}) = \\frac{5+n}{8+n}\\) - licznik to kule białe (wyniki sprzyjające), mianownik to wszystkie kule (przestrzeń zdarzeń elementarnych).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

Zadanie jest otwarte (oblicz \\(n\\)), więc typowe błędy prowadzące do złego wyniku:

\n

| Błąd | Niepoprawny wynik |
| Piszemy \\(\\frac{n}{8+n} = \\frac{11}{12}\\) - zapominamy o 5 białych, które już były w pudełku | \\(n = \\frac{88}{1} = 88\\) (zły mianownik-licznik) |
| Piszemy \\(\\frac{5+n}{8} = \\frac{11}{12}\\) - nie aktualizujemy mianownika (łącznej liczby kul) | \\(n = \\frac{88-60}{12} = \\frac{28}{12} \\notin \\mathbb{N}\\) - wynik niebędący liczbą naturalną |
| Błąd w mnożeniu krzyżowym: \\(11(5+n) = 12(8+n)\\) - zamienione strony | \\(55 + 11n = 96 + 12n \\Rightarrow n = -41\\) - wynik ujemny |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Mianownik ułamka to łączna liczba kul po dołożeniu - czyli \\(8 + n\\), nie samo \\(n\\) ani samo \\(8\\). Dołożone kule zwiększają zarówno licznik (białe), jak i mianownik (wszystkie).
\n
⚠️ Uwaga: Przed mnożeniem krzyżowym upewnij się, że masz równanie postaci \\(\\frac{A}{B} = \\frac{C}{D}\\) - wtedy \\(A \\cdot D = B \\cdot C\\). Zamiana stron w mnożeniu krzyżowym to jeden z najczęstszych błędów!
\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(n\\) musi być dodatnią liczbą naturalną - jeśli wychodzi ułamek lub liczba ujemna, gdzieś jest błąd w równaniu.
\n

Odpowiedź: \\(n = 28\\)

\n
Sposób 1 - Równanie bezpośrednie
\n

Po dodaniu \\(n\\) kul białych:

\n\n

Prawdopodobieństwo wylosowania białej:
\\[P(\\text{biała}) = \\dfrac{5+n}{8+n} = \\dfrac{11}{12}.\\]
Mnożymy na krzyż:
\\[12(5+n) = 11(8+n)\\]
\\[60 + 12n = 88 + 11n\\]
\\[n = 28.\\]

\n
Sposób 2 - Przez zdarzenie przeciwne
\n

Prawdopodobieństwo czarnej: \\(1 - \\tfrac{11}{12} = \\tfrac{1}{12}\\).
Czarnych jest \\(3\\): \\(\\dfrac{3}{8+n} = \\dfrac{1}{12} \\Rightarrow 8+n = 36 \\Rightarrow n = 28\\).

\n
Sposób 3 - Przez rozszerzenie ułamka
\n

\\(\\tfrac{11}{12}\\) oznacza \\(11\\) białych na \\(12\\) wszystkich. Skalujemy tak, aby liczba czarnych (= liczba wszystkich - liczba białych w proporcji) wynosiła \\(3\\): \\(12 - 11 = 1\\) odpowiada \\(1\\) czarnej; żeby było \\(3\\), mnożymy \\(\\times 3\\): \\(\\tfrac{33}{36}\\). Wszystkich kul \\(36\\), czyli \\(n = 36 - 8 = 28\\).

\n

Odpowiedź: \\(n = 28\\).

"}]}