Zadanie 32. (4 pkt)
Dany jest kwadrat ABCD, w którym
5
5,
3
A
. Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta
w prostej o równaniu
4
3
y
x
. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz
pole kwadratu ABCD.
Poziom podstawowy
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt
Poziom podstawowy
MMA_1P
Zadanie 32. (4 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
IV. Użycie i tworzenie strategii.
podaje równanie prostej w postaci
= 0
Ax
By
C
lub
y
ax
b mając dane dwa jej
punkty lub jeden punkt i współczynnik a w równaniu
kierunkowym (8.b). Zdający interpretuje
geometrycznie układ dwóch równań liniowych z
dwiema niewiadomymi (8.d). Zdający wyznacza
współrzędne środka odcinka (8.f).
Zasady oceniania I, II, III i IV sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
wyznaczy równanie prostej AC:
3
25
4
12
y
x
albo
obliczy odległość punktu A od prostej BD: 5
albo
zapisze współrzędne punktu P leżącego na prostej o równaniu
4
3
y
x
, np.
(
)
, 4
3
P
x
x
i wyznaczy odległość punktu P od danego punktu A jako funkcję jednej
zmiennej x :
(
)
(
)
2
2
5
5
4
3
3
AP
x
x
albo
wyznaczy równania prostych AB i AD:
(
)
5
5
1
7
3
y
x
oraz
(
)
7
5
5
3
y
x
,
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
wyznaczy równanie prostej AC:
3
25
4
12
y
x
i obliczy współrzędne punktu
przecięcia przekątnych kwadratu:
(
)
4
3
1,
O
albo
obliczy odległość punktu A od prostej BD: 5 i obliczy pole kwadratu: 50
albo
obliczy odległość punktu A od prostej BD: 5 i zapisze równanie
(
)
(
)
2
2
5
4
3
3
5
25
o
o
x
x
albo
obliczy x, dla którego odległość AP jest najmniejsza:
1
x =
albo
wyznaczy równania prostych AB i AD oraz obliczy współrzędne wierzchołków B i D:
(
)
5
5
1
7
3
y
x
,
(
)
7
5
5
3
y
x
,
(
)
8
3
2,
B
,
(
)
16
3
4,
D
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
obliczy współrzędne punktu przecięcia przekątnych kwadratu:
4
1, 3
=
O
i długość
przekątnej kwadratu (lub połowę tej długości): 10
albo
obliczy pole kwadratu: 50 i zapisze równanie (
)
(
)
2
2
5
4
3
3
5
25
o
o
x
x
albo
obliczy x, dla którego odległość AP jest najmniejsza:
1
x =
i obliczy współrzędne
punktu przecięcia przekątnych kwadratu:
4
1, 3
=
O
albo
obliczy x, dla którego odległość AP jest najmniejsza:
1
x =
i długość przekątnej
kwadratu: 10
albo
obliczy współrzędne punktu przecięcia przekątnych kwadratu:
4
1, 3
=
O
i długość
boku kwadratu: 50
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy pole kwadratu: 50 oraz współrzędne punktu przecięcia przekątnych
kwadratu:
4
1, 3
=
O
Uwagi
i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie
co najwyżej 3 punkty.
a) błąd przy ustalaniu współczynnika kierunkowego prostej AC, to zdający może otrzymać
co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;
b) błąd polegający na zamianie miejscami współrzędnych punktu, np. przy podstawieniu do
wzoru na odległość punktu od prostej, przy podstawieniu do wzoru na długość odcinka, przy
obliczaniu współczynnika b w równaniu kierunkowym prostej AC, to zdający może otrzymać
co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;
c) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru „
a
b
a
b
”, to zdający
może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;
w których zawierają się przekątne kwadratu, a następnie odczyta i zapisze współrzędne
punktu przecięcia się tych prostych i na tym zakończy, to otrzymuje 0 punktów.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Prosta AC jest prostopadła do prostej o równaniu
4
3
y
x
, więc współczynnik kierunkowy prostej
AC jest równy
3
4
AC
a
. Prosta AC przechodzi przez punkt
(
)
5,
5
3
A =
, więc jej równanie ma
postać
(
)
5
3
3
4
5
y
x
,
3
25
4
12
y
x
Obliczamy współrzędne punktu O przecięcia się prostych AC i BD, rozwiązując układ równań
4
3
3
25
4
12
y
x
y
x
Rozwiązaniem tego układu jest para liczb
1
x =
i
4
3
y =
. Stąd
(
)
4
3
1,
O =
Punkt O jest środkiem przekątnej AC, więc
(
)
2
2
4
5
2
2
1 5
3
3
AC
AO
(
)
2
2
9
2
2
4
2 16
9
2 5
10
3
AC
AO
⋅
Przekątna kwadratu ma długość
, gdzie a jest długością boku kwadratu.
Stąd
2
10
a
, czyli
5 2
a =
Zatem pole kwadratu ABCD jest równe
(
)
2
2
5 2
50
a =
Uwaga
Pole kwadratu ABCD możemy obliczyć, wykorzystując długość przekątnej kwadratu (lub jej
połowy). Wtedy
2
2
10
50
1
1
2
2
⋅
⋅
ABCD
P
AC
II sposób
Długość przekątnej kwadratu ABCD (lub jej połowy) możemy obliczyć, korzystając ze wzoru
na odległość d punktu A od danej prostej. Wtedy
( )
(
)
2
2
5
4
25
3
3
3
5
4
3
3
5
1
5
d
⋅+
Zatem pole kwadratu ABCD jest równe
2
2
2
2 5
50
ABCD
P
d
⋅
⋅
Punkt
(
)
,
o
o
O
x
y
leży na prostej o równaniu
4
3
y
x
, więc
(
)
4
3
,
o
o
O
x
x
, a skoro odległość
d jest równa 5, to
2
25
AO
, czyli
(
)
(
)
2
2
5
4
3
3
5
25
o
o
x
x
,
2
2
16
40
25
9
9
9
10
25
25
0
o
o
o
o
x
x
x
x
,
2
25
50
25
9
9
9
0
o
o
x
x
,
2
2
1
0
o
o
x
x
,
2
a
(
)2
1
0
o
x -
,
Stąd
1
o
x =
, więc
(
) (
)
4
4
3
3
1,
1
1,
O =
⋅
III sposób (odległość jako funkcja jednej zmiennej)
Niech punkt
4
, 3
=
P
x
x będzie dowolnym punktem leżącym na prostej o równaniu
4
3
y
x
Zapiszemy odległość punktu P od danego punktu
5
5,
3
A
jako funkcję jednej zmiennej.
Obliczamy kolejno:
(
)
(
)
2
2
2
2
2
4
5
16
40
25
25
5
10
25
2
10
3
3
9
9
9
9
AP
x
x
x
x
x
x
x
x
Zatem
(
)2
5
( )
1
9
3
AP x
x
dla każdej liczby rzeczywistej x.
Zauważamy, że trójmian kwadratowy
(
)2
1
9
y
x
przyjmuje najmniejszą wartość dla
1
x = .
Ponieważ funkcja f określona wzorem
( )
f t
t
jest rosnąca, więc dla
1
x = także i odległość
AP jest najmniejsza. Oznacza to, że odcinek AP, którego długość jest równa 5, jest zawarty
w przekątnej AC kwadratu ABCD. Zatem przekątna tego kwadratu ma długość 10 oraz pole tego
kwadratu jest równe
2
1 10
50
2 ⋅
. Ponadto jeśli
1
x = , to punkt P ma współrzędne
4
1, 3
i jest
szukanym punktem przecięcia przekątnych AC i BD kwadratu ABCD.
IV sposób (kąt między prostymi)
Każda z prostych AB i AD zawierających boki kwadratu ABCD tworzą z prostą BD
o równaniu
4
3
y
x , kąt 45°. Każda z nich przechodzi przez punkt
(
)
5
3
5,
A
, więc ma
równanie postaci
(
)
5
3
5
y
a x
Ze wzoru na tangens kąta między prostymi otrzymujemy:
4
3
4
3
tg45
1
1
a
a
° =
⋅
,
4
4
3
3
1
a
a
,
4
4
3
3
1
a
a
lub
4
4
3
3
1
a
a
,
7
1
3
3 a
lub
7
1
3
3 a
,
1
7
a =
lub
7
a = -.
Zatem równania prostych AB i AD mają postać
Zasady oceniania rozwiązań zadań
(
)
5
1
7
3
5
y
x
oraz
(
)
5
3
7
5
y
x
,
50
1
7
21
y
x
oraz
100
3
7
y
x
Obliczamy współrzędne wierzchołków B i D, rozwiązując układy równań
4
3
50
1
7
21
y
x
y
x
oraz
4
3
100
3
7
y
x
y
x
Stąd otrzymujemy równania
4
3
50
1
7
21
x
x
oraz 4
3
100
3
7
x
x
,
2
x = - oraz
4
x =
Zatem
(
)
8
3
2,
B
oraz
(
)
16
3
4,
D
Punkt O przecięcia przekątnych kwadratu ma zatem współrzędne
(
)
8
16
3
3
4
3
2 4,
1,
2
2
O
Pole kwadratu ABCD jest równe
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
5
7
1
50
8
5
3
3
ABCD
P
AB
Ustawiamy układ współrzędnych. Kładziemy \\(A = (0, 0)\\), \\(B = (12, 0)\\), a \\(C\\) na osi symetrii trójkąta.
\nŚrodek \\(AB\\) leży w \\((6, 0)\\). Wysokość \\(h\\) z warunku \\(|AC| = 10\\):
\\[h^2 + 6^2 = 10^2 \\implies h^2 = 64 \\implies h = 8\\]
Zatem \\(C = (6, 8)\\).
\nPunkt D to środek ramienia \\(BC\\):
\\[D = \\left(\\frac{12+6}{2},\\ \\frac{0+8}{2}\\right) = (9,\\ 4)\\]
Wyznaczamy wektory:
\\[\\vec{AC} = (6, 8), \\qquad \\vec{AD} = (9, 4)\\]
Kąt \\(\\alpha\\) między \\(\\vec{AD}\\) a \\(\\vec{AC}\\) - korzystamy ze wzoru na sinus przez iloczyn wektorowy:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{|\\vec{AC} \\times \\vec{AD}|}{|\\vec{AC}| \\cdot |\\vec{AD}|}\\]
Moduł iloczynu wektorowego (współczynnik \\(z\\)):
\\[|6 \\cdot 4 - 8 \\cdot 9| = |24 - 72| = 48\\]
Długości:
\\[|\\vec{AC}| = \\sqrt{36 + 64} = 10, \\qquad |\\vec{AD}| = \\sqrt{81 + 16} = \\sqrt{97}\\]
Zatem:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{48}{10\\sqrt{97}} = \\frac{24}{5\\sqrt{97}} = \\frac{24\\sqrt{97}}{485}\\]
Dane w trójkącie \\(ACD\\):
\nObliczamy \\(\\cos(\\angle ACB)\\) twierdzeniem cosinusów w trójkącie \\(ABC\\):
\\[\\cos(\\angle ACB) = \\frac{|AC|^2 + |BC|^2 - |AB|^2}{2 \\cdot |AC| \\cdot |BC|} = \\frac{100 + 100 - 144}{200} = \\frac{56}{200} = \\frac{7}{25}\\]
Stąd:
\\[\\sin(\\angle ACB) = \\sqrt{1 - \\left(\\frac{7}{25}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{625 - 49}{625}} = \\sqrt{\\frac{576}{625}} = \\frac{24}{25}\\]
Obliczamy \\(|AD|\\) twierdzeniem cosinusów w trójkącie \\(ACD\\):
\\[|AD|^2 = |AC|^2 + |CD|^2 - 2 \\cdot |AC| \\cdot |CD| \\cdot \\cos(\\angle ACD)\\]
\\[|AD|^2 = 100 + 25 - 2 \\cdot 10 \\cdot 5 \\cdot \\frac{7}{25} = 125 - 28 = 97\\]
\\[|AD| = \\sqrt{97}\\]
Kąt \\(\\alpha\\) z twierdzenia sinusów w trójkącie \\(ACD\\):
\\[\\frac{\\sin\\alpha}{|CD|} = \\frac{\\sin(\\angle ACD)}{|AD|}\\]
\\[\\frac{\\sin\\alpha}{5} = \\frac{\\dfrac{24}{25}}{\\sqrt{97}}\\]
\\[\\sin\\alpha = \\frac{5 \\cdot 24}{25\\sqrt{97}} = \\frac{24}{5\\sqrt{97}} = \\boxed{\\dfrac{24\\sqrt{97}}{485}}\\]
Oba sposoby dają ten sam wynik. ✓
\nDział 10 (Planimetria, s. 15-16) - twierdzenie cosinusów:
\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]
Użyliśmy go w Sposobie 2 dwukrotnie: do obliczenia \\(\\cos(\\angle ACB)\\) oraz długości \\(|AD|\\).
Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie sinusów:
\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma}\\]
Użyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\) z proporcji w trójkącie \\(ACD\\).
Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Użyliśmy jej do przejścia od \\(\\cos(\\angle ACB) = \\frac{7}{25}\\) do \\(\\sin(\\angle ACB) = \\frac{24}{25}\\).
⚠️ Uwaga: D jest środkiem ramienia \\(BC\\), nie punktem na podstawie \\(AB\\). To nie jest klasyczna środkowa trójkąta do podstawy - nie myl z wysokością ani z osią symetrii!\n
⚠️ Uwaga: Przy liczeniu \\(\\cos(\\angle ACB)\\) w trójkącie równoramiennym łatwo pomylić, który bok jest "przeciwległy" do kąta. Kąt przy wierzchołku \\(C\\) leży naprzeciwko podstawy \\(AB = 12\\) - to ona wchodzi jako \\(a^2\\) w mianowniku.\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(\\dfrac{24}{5\\sqrt{97}}\\) i \\(\\dfrac{24\\sqrt{97}}{485}\\) to ta sama liczba - wymagane jest usunięcie pierwiastka z mianownika (racjonalizacja): \\(\\dfrac{24}{5\\sqrt{97}} \\cdot \\dfrac{\\sqrt{97}}{\\sqrt{97}} = \\dfrac{24\\sqrt{97}}{485}\\).\n
Odpowiedź: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{24}{5\\sqrt{97}} = \\dfrac{24\\sqrt{97}}{485}\\)
\nKrok 1 - wysokość \\(h\\) z \\(C\\) na \\(AB\\).
Punkt \\(E\\) - środek \\(AB\\), \\(|AE| = 6\\). Z Pitagorasa w trójkącie \\(AEC\\):
\\[10^2 = 6^2 + h^2 \\Rightarrow h^2 = 100 - 36 = 64 \\Rightarrow h = 8.\\]
Krok 2 - pole trójkąta \\(ABC\\).
\\(P_{ABC} = \\tfrac{1}{2}\\cdot |AB|\\cdot h = \\tfrac{1}{2}\\cdot 12\\cdot 8 = 48\\).
Krok 3 - pole \\(ADC\\) (środkowa dzieli na dwa równe pola).
\\[P_{ADC} = \\tfrac{1}{2}\\cdot P_{ABC} = 24.\\]
Krok 4 - długość środkowej \\(|AD|\\).
\\(D\\) - środek \\(BC\\), rzut \\(D\\) na \\(AB\\) to \\(F\\) (środek \\(EB\\)). Wtedy \\(|AF| = 6 + 3 = 9\\), \\(|DF| = \\tfrac{1}{2}h = 4\\). Z Pitagorasa w \\(AFD\\):
\\[|AD|^2 = 9^2 + 4^2 = 81 + 16 = 97 \\Rightarrow |AD| = \\sqrt{97}.\\]
Krok 5 - sinus \\(\\alpha\\) ze wzoru na pole.
\\(P_{ADC} = \\tfrac{1}{2}\\cdot |AD|\\cdot |AC|\\cdot \\sin\\alpha\\):
\\[24 = \\tfrac{1}{2}\\cdot \\sqrt{97}\\cdot 10\\cdot \\sin\\alpha = 5\\sqrt{97}\\sin\\alpha\\]
\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{24}{5\\sqrt{97}} = \\dfrac{24\\sqrt{97}}{485}.\\]
\\(p = \\tfrac{1}{2}(12+10+10) = 16\\). \\(P = \\sqrt{16\\cdot 4\\cdot 6\\cdot 6} = \\sqrt{2304} = 48\\) (zgadza się).
Długość środkowej ze wzoru: \\(d^2 = \\tfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}\\) (środkowa na bok \\(a\\)). Dla środkowej z \\(A\\) na \\(BC\\): \\(d^2 = \\tfrac{2|AB|^2 + 2|AC|^2 - |BC|^2}{4} = \\tfrac{288 + 200 - 100}{4} = \\tfrac{388}{4} = 97\\). Czyli \\(|AD| = \\sqrt{97}\\).
Odpowiedź: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{24}{5\\sqrt{97}}\\).
"}]}