Zadanie 33. (4 pkt)
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego
, określonego dla
1
n ≥, są dodatnie. Wyrazy tego
ciągu spełniają warunek
1
2
3
6
5
0
a
a
a
. Oblicz iloraz q tego ciągu należący do przedziału
2 2, 3 2 .
(
)
na
Poziom podstawowy
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
33.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt
Poziom podstawowy
MMA_1P
Zadanie 33. (4 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
IV. Użycie i tworzenie strategii.
sumę n-początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego i ciągu geometrycznego, również
umieszczone w kontekście praktycznym (5.c).
Zasady oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego
rozwiązania zadania 1 p.
Zdający wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego i zapisze
oraz
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze równość
1
2
3
6
5
0
a
a
a
w postaci
2
1
1
1
6
5
0
a
a
q
a
q
⋅
⋅
lub
(
)
2
1
5
6
0
a
q
q
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
2
1
a
a q
⋅
2
3
1
a
a
q
⋅
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający rozwiąże równanie
2
5
6
0
q
q
:
2
q =
lub
3
q =
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający zapisze iloraz q ciągu geometrycznego
należący do przedziału 2 2, 3 2 :
3
q =
Zasady oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego
rozwiązania zadania 1 p.
Przy oznaczeniach
wykorzysta własność ciągu geometrycznego i zapisze
równość
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze równość
i z równości 6
5
0
a
b
c
wyznaczy jedną niewiadomą
w zależności od dwóch pozostałych, np.:
5
6
c
b
a
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający rozwiąże równanie
2
2
5
6
0
b
ab
a
z niewiadomą, np. b:
1
2
b
a
lub
2
3
b
a
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający poda iloraz q ciągu geometrycznego
:
3
q =
Uwagi do I i II sposobu oceniania
2
1
1
1
6
5
0
⋅
a
a q
a q
i przyjmie jako pierwszy wyraz
ciągu konkretną liczbę dodatnią, pisząc, np. że wartość pierwszego wyrazu nie ma wpływu
na iloraz ciągu, a następnie rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje
4 punkty.
rozwiązanie i konsekwentnie poda odpowiedź, to za całe rozwiązanie może otrzymać co
najwyżej 3 punkty.
2
1
1
1
6
5
0
⋅
a
a q
a q
i przyjmie jako pierwszy wyraz ciągu
konkretną liczbę dodatnią i rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe z niewiadomą q
oraz zapisze wnioski, konsekwentne do otrzymanych rozwiązań, dotyczące należenia
bądź nie tych rozwiązań do przedziału 2 2 , 3 2 , to otrzymuje 3 punkty.
(
)
n
a
1
2
3
,
,
a
a a
b a
c
2
b
ac
2
b
ac
(
)
na
Zasady oceniania rozwiązań zadań
2
1
1
1
6
5
0
⋅
a
a q
a q
i przyjmie jako pierwszy wyraz
ciągu konkretną liczbę dodatnią, a następnie poda
3
q =
i zapisze, że ten iloraz należy do
przedziału 2 2 , 3 2 , to otrzymuje 3 punkty.
2
1
1
1
6
5
0
⋅
a
a q
a q
i przyjmie jako pierwszy wyraz
ciągu konkretną liczbę dodatnią, a następnie poda
2
q
i zapisze, że ten iloraz nie należy
do przedziału 2 2 , 3 2 , to otrzymuje 3 punkty.
rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty.
\n3
q =
, np. (
)
1,3,9,
oraz
sprawdzi,
że
pierwszy,
drugi
i
trzeci
wyraz
tego
ciągu
spełniają
warunek
1
2
3
6
5
0
a
a
a
i zapisze, że ten iloraz należy do przedziału 2 2 , 3 2 i na
tym zakończy, to otrzymuje 2 punkty.
2
q
,
np. (1,2,4, ) , drugi o ilorazie
3
q =
, np.(
)
1,3,9, oraz sprawdzi, że pierwszy, drugi i trzeci
wyraz każdego z tych ciągów spełniają warunek
1
2
3
6
5
0
a
a
a
i zapisze, że
iloraz
2
q
nie należy do przedziału 2 2 , 3 2 , a iloraz
3
q =
należy do przedziału
2 2 , 3 2 i na tym zakończy, to otrzymuje 2 punkty.
3
q =
i zapisze, że ten iloraz należy do przedziału 2 2 , 3 2 i na
tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.
3
q =
oraz sprawdzi,
że ten iloraz należy do przedziału 2 2 , 3 2 i na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.
3
q =
, np. (
)
1,3,9,
oraz sprawdzi, że pierwszy, drugi i trzeci wyraz tego ciągu spełniają warunek
1
2
3
6
5
0
a
a
a
i na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.
2
q
, np. (
)
1,2,4,
oraz
sprawdzi,
że
pierwszy,
drugi
i
trzeci
wyraz
tego
ciągu
spełniają
warunek
1
2
3
6
5
0
a
a
a
i zapisze, że ten iloraz nie należy do przedziału 2 2 , 3 2
i na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.
2
q
i zapisze, że ten iloraz nie należy do przedziału 2 2 , 3 2
i na tym zakończy, to otrzymuje 0 punktów.
to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.
\n3
q =
i na tym zakończy, to otrzymuje 0 punków.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Oznaczamy przez q iloraz ciągu
. Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu
geometrycznego i zapisujemy równość
2
1
1
1
6
5
0
⋅+
⋅
a
a q
a q
,
Wyłączamy wspólny czynnik
1a poza nawias (
)
2
1 6 5
0
-⋅+
a
q
q
Ponieważ wyrazy ciągu są dodatnie, więc
1
0
a ≠
. Korzystamy z własności iloczynu równego
zero i otrzymujemy równanie
2
5
6
0
q
q
To równanie ma dwa rozwiązania
2
q =
lub
3
q =
. Ponieważ
2 2, 3 2
q∈
, więc
3
q =
II sposób
Niech q oznacza iloraz ciągu geometrycznego
oraz niech
Zatem równość
1
2
3
6
5
0
a
a
a
zapisujemy w postaci: 6
5
0
a
b
c
Stąd
5
6
c
b
a
. Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu (
)
, ,
a b c są dodatnie, więc ciąg ten jest
geometryczny, gdy spełniona jest równość
Podstawiamy do równania
za c i otrzymujemy:
(
)
2
5
6
b
a
b
a
,
2
2
5
6
0
b
ab
a
Rozwiązujemy to równanie przyjmując za niewiadomą, np. b.
Wtedy
2
a
Δ =
,
a
Δ =
, ponieważ
0
a >
Zatem rozwiązaniami równania są
1
5
2
2
a
a
b
a
lub
2
5
3
2
a
a
b
a
Obliczamy iloraz q ciągu
:
2
2
b
a
q
a
a
lub
3
3
b
a
q
a
a
Ponieważ
2 2, 3 2
q∈
, więc iloraz ciągu
jest równy:
3
q =
(
)
na
(
)
na
1
2
3
,
,
a
a a
b a
c
2
b
ac
2
b
ac
(
)
na
(
)
na
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Oznaczenia:
\nKrok 1: Zapisz pola.
\nPole podstawy (koło): \\(P_p = \\pi r^2\\)
\nPole powierzchni bocznej: \\(P_b = \\pi r l\\)
\nKrok 2: Skorzystaj z warunku zadania.
\n\\[P_b = 3 \\cdot P_p\\]
\\[\\pi r l = 3 \\pi r^2\\]
Dzielimy obie strony przez \\(\\pi r\\) (zakładamy \\(r > 0\\)):
\\[l = 3r\\]
Krok 3: Wyznacz \\(r\\) z twierdzenia Pitagorasa.
\nTworząca, wysokość i promień spełniają:
\\[l^2 = r^2 + h^2\\]
\\[(3r)^2 = r^2 + 12^2\\]
\\[9r^2 = r^2 + 144\\]
\\[8r^2 = 144\\]
\\[r^2 = 18\\]
Krok 4: Oblicz objętość.
\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 18 \\cdot 12 = \\frac{1}{3} \\cdot 216\\pi\\]
\n\\[\\boxed{V = 72\\pi}\\]
\nWyznaczamy \\(l\\) bezpośrednio.
\nZ \\(r^2 = 18\\) mamy \\(r = 3\\sqrt{2}\\), zatem:
\\[l = 3r = 3 \\cdot 3\\sqrt{2} = 9\\sqrt{2}\\]
Weryfikacja warunku (czy rzeczywiście \\(P_b = 3P_p\\)?):
\\[P_p = \\pi r^2 = 18\\pi\\]
\\[P_b = \\pi r l = \\pi \\cdot 3\\sqrt{2} \\cdot 9\\sqrt{2} = \\pi \\cdot 3\\sqrt{2} \\cdot 9\\sqrt{2} = \\pi \\cdot 27 \\cdot 2 = 54\\pi\\]
Sprawdzamy: \\(54\\pi = 3 \\cdot 18\\pi\\) ✓
\nWeryfikacja twierdzenia Pitagorasa:
\\[r^2 + h^2 = 18 + 144 = 162 = (9\\sqrt{2})^2 = l^2\\] ✓
Objętość:
\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3} \\cdot 18\\pi \\cdot 12 = 72\\pi\\] ✓
Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - Objętość stożka:
\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]
Użyte w obu sposobach do obliczenia końcowego wyniku.
Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - Pole powierzchni bocznej stożka:
\\[P_b = \\pi r l\\]
Użyte do zapisania warunku \\(P_b = 3P_p\\).
Dział 10 (Planimetria, s. 18) - Pole koła (podstawa stożka):
\\[P_p = \\pi r^2\\]
Twierdzenie Pitagorasa (Dział 10, s. 15):
\\[l^2 = r^2 + h^2\\]
Użyte do wyrażenia tworzącej \\(l\\) przez \\(r\\) i wyznaczenia \\(r^2 = 18\\).
⚠️ Uwaga: „Trzy razy większe" oznacza \\(P_b = 3P_p\\), a nie \\(P_b = P_p + 3\\). To klasyczna pułapka językowa - upewnij się, że dobrze interpretujesz treść.\n
⚠️ Uwaga: Do wzoru na objętość wstawiamy \\(r^2 = 18\\) bezpośrednio - nie ma potrzeby obliczać \\(r = 3\\sqrt{2}\\) i podnosić do kwadratu ponownie. Oszczędza to czas i eliminuje błędy przy pierwiastkach.\n
⚠️ Uwaga: Tworząca \\(l\\) to nie wysokość \\(h\\)! Tworząca to boczna krawędź stożka: \\(l = \\sqrt{r^2 + h^2}\\). Podstawienie \\(l = h\\) w wzorze na pole boczne to najczęstszy błąd.\n
Odpowiedź: \\(V = 72\\pi\\)
\nOznaczenia: \\(r\\) - promień podstawy, \\(l\\) - tworząca, \\(h = 12\\) - wysokość.
\nKrok 1 - związek \\(l\\) i \\(r\\) z warunku.
Pole boczne: \\(P_b = \\pi r l\\). Pole podstawy: \\(P_p = \\pi r^2\\). Warunek \\(P_b = 3P_p\\):
\\[\\pi r l = 3\\pi r^2 \\Rightarrow l = 3r \\quad (r \\ne 0).\\]
Krok 2 - związek \\(h\\), \\(r\\), \\(l\\) (z Pitagorasa).
W stożku: \\(l^2 = r^2 + h^2\\):
\\[(3r)^2 = r^2 + 12^2\\]
\\[9r^2 = r^2 + 144\\]
\\[8r^2 = 144 \\Rightarrow r^2 = 18.\\]
Krok 3 - obliczenie objętości.
\\[V = \\tfrac{1}{3}\\pi r^2 h = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot 18\\cdot 12 = 72\\pi.\\]
\\(l = 3r\\) → tworząca 3-krotnie dłuższa od promienia. W trójkącie prostokątnym o kątach \\(90^\\circ\\) z bokami \\(r, h, l = 3r\\): \\(h^2 = l^2 - r^2 = 9r^2 - r^2 = 8r^2\\). Dla \\(h = 12\\): \\(r = \\sqrt{18} = 3\\sqrt{2}\\), \\(l = 9\\sqrt{2}\\).
\\(V = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot 18\\cdot 12 = 72\\pi\\).
Odpowiedź: \\(V = 72\\pi\\).
"}]}