{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6\n(zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod\nkątem, którego tangens jest równy 7 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nA\nB\nC\nD\nS\n6\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n9. Stereometria. Zdający wskazuje i oblicza kąty\nmiędzy ścianami wielościanu, między ścianami\ni odcinkami oraz między odcinkami takimi jak\nkrawędzie, przekątne, wysokości (9.a).\nZdający wyznacza związki miarowe w wielościanach\ni bryłach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii\n(9.b).\nZasady oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\nzaznaczy na rysunku kąt α nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy\nalbo\nzapisze równanie wynikające z definicji tangensa kąta α:\n7\n1\n2\nh\na\nalbo\nzapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOE:\n2\n2\n2\n2\nb\na\nh\nh\n\n\n\n\n\n\nalbo\nzapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SEC:\n2\n2\n2\n6\n2\nb\na\nh\n\n\n\n\n\n\nalbo\nzapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOC:\n2\n2\n2\n2\n6\n2\na\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo\nzapisze równanie wynikające z definicji sinusa kąta α :\n14\n4\nb\nh\nh =\nalbo\nzapisze równanie wynikające z definicji cosinusa kąta α : 2\n2\n4\nb\na\nh =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze\nukład dwóch równań z dwiema niewiadomymi, np.:\n7\n1\n2\nh\na\ni\n2\n2\n2\n2\n6\n2\na\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\nukład trzech równań z trzema niewiadomymi, np.:\n14\n4\nb\nh\nh =\ni\n2\n2\n2\n2\nb\na\nh\nh\n\n\n\n\n\n\ni\n2\n2\n2\n2\n6\n2\na\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:\n2\n2\n2\n7\n2\n6\n2\n2\na\na\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n2\n2\n2\n2\n7\n2\n6\n2\nh\nh\n\n\n⋅\n\n\n\n\n\n\nlub\n2\n2\n2\n1\n14\n6\n4\n4\nb\nb\nh\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający:\nobliczy długość krawędzi podstawy ostrosłupa lub wysokość ostrosłupa:\n4\na =\n,\n2 7\nh =\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy\nalbo\nobliczy wysokość\nbh ściany bocznej ostrosłupa oraz wyznaczy objętość ostrosłupa\nw zależności od tej wysokości:\n4 2\nbh =\n,\n2\n1 1\n14\n3 2\n4\nb\nb\nV\nh\nh\n⋅\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy objętość ostrosłupa:\n32 7\n3\nV =\nUwagi\n1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności\nrozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe\nrozwiązanie co najwyżej 4 punkty.\n2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest pominięcie współczynnika 1\n3 we wzorze\nna objętość ostrosłupa, to otrzymuje 4 punkty.\n3. Jeżeli jedynym błędem jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji tangensa (lub niepoprawnej definicji innej\nfunkcji trygonometrycznej wykorzystanej przez zdającego), np. tg\nbh\nh\nα =\n, tg\nh\na\nα =\nb) niepoprawne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,\nc) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru „\na\nb\na\nb\n”,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie popełnia\ninnych błędów i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n4. Jeżeli zdający popełnia jeden błąd, opisany w uwadze 3., a ponadto popełnia błędy\nrachunkowe, ale poprawnie realizuje strategię rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej\n2 punkty za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający błędnie interpretuje kąt między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy\ntego ostrosłupa, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie, o ile poprawnie\nzastosuje twierdzenie Pitagorasa.\n6. Jeżeli zdający przyjmuje, że krawędź podstawy ostrosłupa jest równa 6, to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie, o ile zapisze poprawny związek\nmiędzy wielkościami h, hb i a lub zaznaczy poprawnie kąt nachylenia ściany bocznej\nostrosłupa do płaszczyzny podstawy.\n7. Akceptujemy poprawne przybliżenia liczb rzeczywistych.\nPrzykładowe rozwiązanie\nI sposób\nZaznaczmy na rysunku kąt α - kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy\ni wprowadzamy następujące oznaczenia:\na - krawędź podstawy ostrosłupa, h - wysokość ostrosłupa.\nKorzystając z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym SOE otrzymujemy\nzwiązek\n7\n1\n2\nh\na\n, czyli\n7\n2\nh\na\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOC wynika równanie\n2\n2\n2\n2\n6\n2\na\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\nWykorzystując wcześniejszą zależność otrzymujemy\n2\n2\n2\n7\n2\n6\n2\n2\na\na\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n7\n2\n36\n4\n4\na\na\n2\n9\n36\n4 a =\n, stąd\n2\n16\na =\n, czyli\n4.\na =\nStąd\n7\n4\n2 7\n2\nh =\n⋅\n. Obliczamy objętość ostrosłupa:\n2\n1\n32 7\n4\n2 7\n3\n3\nV =\n⋅\n⋅\nII sposób\n6\na\nh\nα\nB\nA\nC\nD\nE\nO\nS\nZaznaczmy na rysunku kąt α - kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy\ni wprowadzamy następujące oznaczenia:\na - krawędź podstawy ostrosłupa, h - wysokość ostrosłupa, hb - wysokość ściany bocznej\nostrosłupa\nKorzystając z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym SOE otrzymujemy:\n7\n1\n2\nh\na\n, czyli\n7\n2\nh\na\nZ twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SEC otrzymujemy\n2\n2\n2\n6\n2\nb\na\nh\n\n\n-\n\n\n\n2\n2\n144\n4\nb\na\nh\nZ twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SOE otrzymujemy:\n2\n2\n2\n2\nb\na\nh\nh\n\n\n\n\n\n\nZatem\n2\n2\n2\n144\n4\n4\na\na\nh\n,\n2\n2\n2\n7\n144\n4\n4\n4\na\na\na\n2\n16\na =\nStąd\n4\na =\n, więc\n2 7\nh =\nObjętość ostrosłupa jest równa:\n2\n1\n32\n4\n2 7\n7\n3\n3\nV =\n⋅\n⋅\nUwaga\nZależności między wielkościami h, a i\nbh możemy też otrzymać, wykorzystując definicje\nfunkcji sinus lub cosinus kąta α. Jeżeli tg\n7\nα =\n, to\n14\n4\nsin α =\ni\n2\n4\ncosα =\nStąd\n14\n4\nb\nh\nh =\noraz\n1\n2\n2\n4\nb\na\nh\nC\nD\nB\nA\nE\nO\nS\n6\na\nh\nα\nhb\nO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI.\nogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - matura z matematyki, poziom podstawowy, termin\ngłówny 2020.\nI.\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania,\nprzestawienia cyfr,\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie,\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W\nprzypadku\nzadania\nwymagającego\nwyznaczenia\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII.\nDodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku\narkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 26. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nw\nwyniku\nprzekształceń\nalgebraicznych\ndoprowadza\nnierówność\ndo\npostaci\n2\n0\n>\nax\nbx\nc\n, gdzie ∆ > 0 (wystarczy, że z rozwiązania zdającego wynika, że traktuje\notrzymaną nierówność jak nierówność kwadratową) oraz stosuje wzory na pierwiastki\ntrójmianu kwadratowego i oblicza te pierwiastki.\nlub\nrozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, z których jednym będzie (\n)\n1\nx\nlub\npoprawnie rozwiąże nierówność (\n)(\n)\n2\n1\n3\n0\n>\nx\nx\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\nPomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci:\n(\n)\n5\n,1\n,\n2\n\n\n-∞\n∪-\n+ ∞\n\n\n\n\n,\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n+∞-\n∪\n-∞\n\n\n\n\nUwaga!\nJeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci sumy przedziałów domkniętych,\nto może otrzymać co najwyżej 1 pkt.\nZadanie 27. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\npoda co najmniej dwa poprawne rozwiązania równania.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\nprzyrówna każdy z czynników do zera, wyznaczy 4 pierwiastki, z których dwa będą\nprawidłowe (obliczone z jednego czynnika), a w obliczeniu pozostałych pierwiastków będą\nwystępowały błędy opisane w pkt 1. i 2. dodatkowych zasad\nlub\nprzyrówna każdy z czynników do zera i wyznaczy pierwiastki równania:\n1,\n0,\n2\nx\nx\nx\n(z pominięciem\n1\nx\n).\nZadanie 28. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nobliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego\n2\n2\n2\n2\na\nab\nb w zależności od zmiennej 𝑎 lub 𝑏\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\nzapisze nierówność w postaci równoważnej (\n)\n2\n2\n0\n>\na\nb\nb\noraz stwierdzi (lub zaznaczy),\nże każdy ze składników lewej strony nierówności jest dodatni.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 29. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzapisze poprawną proporcję między długościami boków trójkątów 𝐶𝐵𝐷 i 𝐶𝐸𝐹, wynikającą\nz ich podobieństwa np.:\nCF\nCD\nCE\nCB\nlub\nustali związki miarowe między długościami boków w jednym z trójkątów prostokątnych\n𝐶𝐵𝐷 lub 𝐶𝐸𝐹.\nZadanie 30. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzapisze jedynie liczbę 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń\nelementarnych)\nlub\nzapisze liczbę 11, a z zapisów wynika, że interpretuje tę liczbę jako liczbę zdarzeń\nelementarnych sprzyjających zdarzeniu A (np. zilustruje to wypisaniem kilku zdarzeń\nelementarnych sprzyjających zdarzeniu A, ale nie zapisze zdarzeń elementarnych, które\nnie sprzyjają zdarzeniu A).\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\npoprawnie wypisze (lub zaznaczy) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu\nA, popełni błąd w ich zliczeniu i konsekwentnie zapisze wynik\n36\nx , gdzie x jest liczbą\nzliczonych zdarzeń elementarnych sprzyjających A.\nUwaga!\nW ocenie rozwiązania zadania 30. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się następującej\nuwagi z zasad oceniania arkuszy standardowych:\nJeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma 𝑃(𝐴) > 1 lub 𝑃(𝐴) < 0, to otrzymuje za\ncałe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu w działaniach na\nułamkach.\nZadanie 31. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\ndoprowadzi równanie\n2sin\n3cos\n4\ncos\nα +\nα =\nα\ndo postaci\nsin\ncos\nα =\nα\na\nb\n, popełniając\newentualnie błędy opisane w pkt 1. i 2. dodatkowych zasad oceniania\nlub\npoprawnie zastosuje definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie\nprostokątnym i poprawnie zapisze równanie 2sin\n3cos\n4\ncos\nα +\nα =\nα\nw postaci, w której\nwystępują jedynie długości boków trójkąta prostokątnego.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\ndoprowadzi do równania: 2tg\n1\nα = .\nZadanie 32. (0-4)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\npoprawnie wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej AC:\n3\n4\nlub\npoprawnie zastosuje wzór na odległość punktu A od prostej BD.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\nzdający wyznaczy poprawne równanie prostej AC, zapisuje układ równań, pozwalający\nobliczyć współrzędne punktu O i rozwiązuje ten układ równań\nlub\nzdający obliczy odległość punktu A od prostej BD i stosuje poprawną metodę obliczenia\npola kwadratu, z wykorzystaniem obliczonej odległości.\nZadanie 33. (0-4)\nStosują się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 34. (0-5)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzastosuje poprawnie twierdzenie Pitagorasa dla jednego z trójkątów: SOE lub SEC lub\nSOC\nlub\nzastosuje poprawnie definicję funkcji tangens w trójkącie SOE dla kąta 𝛼:\ntg\nOS\nOE\nα =","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(Q = \\left(-\\frac{4}{5},\\ \\frac{13}{5}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Przecięcie prostej PQ z symetralną\n\n**Co wiemy o symetralnej odcinka?**\n\nSymetralna odcinka \\(PQ\\) to prosta, która:\n1. **Przechodzi przez środek** odcinka \\(PQ\\),\n2. **Jest prostopadła** do odcinka \\(PQ\\).\n\nUżyjemy obu tych własności.\n\n**Krok 1: Wyznacz nachylenie prostej PQ.**\n\nSymetralna ma nachylenie \\(a_s = -2\\). Ponieważ \\(PQ \\perp\\) symetralna:\n\n\\[a_{PQ} \\cdot a_s = -1\\]\n\n\\[a_{PQ} \\cdot (-2) = -1 \\implies a_{PQ} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 2: Napisz równanie prostej PQ.**\n\nProsta przez \\(P = (4, 5)\\) z nachyleniem \\(\\frac{1}{2}\\):\n\n\\[y - 5 = \\frac{1}{2}(x - 4)\\]\n\n\\[y = \\frac{1}{2}x - 2 + 5\\]\n\n\\[y = \\frac{1}{2}x + 3\\]\n\n**Krok 3: Znajdź środek \\(M\\) odcinka \\(PQ\\).**\n\nŚrodek leży jednocześnie na symetralnej i na prostej \\(PQ\\). Przyrównujemy:\n\n\\[\\frac{1}{2}x + 3 = -2x + 7\\]\n\n\\[\\frac{1}{2}x + 2x = 4\\]\n\n\\[\\frac{5}{2}x = 4 \\implies x = \\frac{8}{5}\\]\n\n\\[y = -2 \\cdot \\frac{8}{5} + 7 = -\\frac{16}{5} + \\frac{35}{5} = \\frac{19}{5}\\]\n\n**Środek:** \\(M = \\left(\\dfrac{8}{5},\\ \\dfrac{19}{5}\\right)\\)\n\n**Krok 4: Wyznacz \\(Q\\) ze wzoru na środek odcinka.**\n\nSkoro \\(M\\) jest środkiem \\(PQ\\):\n\n\\[\\frac{x_P + x_Q}{2} = \\frac{8}{5} \\implies \\frac{4 + x_Q}{2} = \\frac{8}{5} \\implies 4 + x_Q = \\frac{16}{5} \\implies x_Q = \\frac{16}{5} - \\frac{20}{5} = -\\frac{4}{5}\\]\n\n\\[\\frac{y_P + y_Q}{2} = \\frac{19}{5} \\implies \\frac{5 + y_Q}{2} = \\frac{19}{5} \\implies 5 + y_Q = \\frac{38}{5} \\implies y_Q = \\frac{38}{5} - \\frac{25}{5} = \\frac{13}{5}\\]\n\n\\[\\boxed{Q = \\left(-\\frac{4}{5},\\ \\frac{13}{5}\\right)}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie trzech warunków)\n\nSprawdzamy, że wyznaczony \\(Q = \\left(-\\frac{4}{5},\\ \\frac{13}{5}\\right)\\) spełnia wszystkie warunki symetralnej.\n\n**Warunek 1:** Środek \\(M\\) leży na prostej \\(y = -2x + 7\\)?\n\n\\[M = \\left(\\frac{4 + \\left(-\\frac{4}{5}\\right)}{2},\\ \\frac{5 + \\frac{13}{5}}{2}\\right) = \\left(\\frac{\\frac{16}{5}}{2},\\ \\frac{\\frac{38}{5}}{2}\\right) = \\left(\\frac{8}{5},\\ \\frac{19}{5}\\right)\\]\n\nSprawdzamy: \\(-2 \\cdot \\frac{8}{5} + 7 = -\\frac{16}{5} + \\frac{35}{5} = \\frac{19}{5}\\) ✓\n\n**Warunek 2:** \\(PQ \\perp\\) symetralna?\n\n\\[a_{PQ} = \\frac{\\frac{13}{5} - 5}{-\\frac{4}{5} - 4} = \\frac{-\\frac{12}{5}}{-\\frac{24}{5}} = \\frac{1}{2}\\]\n\n\\[a_{PQ} \\cdot a_s = \\frac{1}{2} \\cdot (-2) = -1\\] ✓\n\n**Warunek 3:** \\(|PM| = |QM|\\) (M jest rzeczywiście środkiem)?\n\n\\[|PM| = \\sqrt{\\left(4 - \\frac{8}{5}\\right)^2 + \\left(5 - \\frac{19}{5}\\right)^2} = \\sqrt{\\left(\\frac{12}{5}\\right)^2 + \\left(\\frac{6}{5}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{144+36}{25}} = \\frac{\\sqrt{180}}{5} = \\frac{6\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n\\[|QM| = \\sqrt{\\left(-\\frac{4}{5} - \\frac{8}{5}\\right)^2 + \\left(\\frac{13}{5} - \\frac{19}{5}\\right)^2} = \\sqrt{\\left(-\\frac{12}{5}\\right)^2 + \\left(-\\frac{6}{5}\\right)^2} = \\frac{6\\sqrt{5}}{5}\\] ✓\n\nWszystkie warunki spełnione - wynik poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nŚrodek odcinka:\n\\[x_M = \\frac{x_P + x_Q}{2}, \\quad y_M = \\frac{y_P + y_Q}{2}\\]\nUżyliśmy w Kroku 4 do wyznaczenia \\(x_Q\\) i \\(y_Q\\) z poznanego środka.\n\nProste prostopadłe:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy w Kroku 1 do wyznaczenia nachylenia \\(PQ\\) z nachylenia symetralnej.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetralna to NIE jest po prostu prostopadła do \\(PQ\\) - musi też przechodzić przez środek. Niektórzy uczniowie od razu szukają symetrycznej względem prostej, pomijając etap wyznaczenia środka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kierunek: skoro symetralna ma nachylenie \\(-2\\), to \\(PQ\\) ma nachylenie \\(\\frac{1}{2}\\) (odwrotność ze zmianą znaku), nie \\(2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wzorze na środek odcinka musisz pamiętać, że znasz \\(P\\) i \\(M\\), a szukasz \\(Q\\) - uważaj na kolejność: \\(M = \\frac{P+Q}{2}\\), stąd \\(Q = 2M - P\\). To daje szybszy rachunek:\n> \\[x_Q = 2 \\cdot \\frac{8}{5} - 4 = \\frac{16}{5} - \\frac{20}{5} = -\\frac{4}{5}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(Q = \\left(-\\dfrac{4}{5}, \\dfrac{13}{5}\\right)\\)**\n\n### Sposób 1 - Przez prostą \\(PQ\\) prostopadłą do symetralnej\n\n**Krok 1 - równanie prostej \\(PQ\\).**\nSymetralna ma współczynnik \\(-2\\), więc prosta \\(PQ\\) (prostopadła) ma współczynnik \\(\\tfrac{1}{2}\\). Przechodzi przez \\(P = (4,5)\\):\n\\[y = \\tfrac{1}{2}x + b \\Rightarrow 5 = 2 + b \\Rightarrow b = 3.\\]\nProsta \\(PQ\\): \\(y = \\tfrac{1}{2}x + 3\\).\n\n**Krok 2 - punkt \\(S\\) = przecięcie \\(PQ\\) z symetralną.**\n\\[\\tfrac{1}{2}x + 3 = -2x + 7\\]\n\\[\\tfrac{1}{2}x + 2x = 4 \\Rightarrow \\tfrac{5}{2}x = 4 \\Rightarrow x = \\tfrac{8}{5}.\\]\n\\(y = -2\\cdot\\tfrac{8}{5} + 7 = -\\tfrac{16}{5} + \\tfrac{35}{5} = \\tfrac{19}{5}\\).\nZatem \\(S = \\left(\\tfrac{8}{5}, \\tfrac{19}{5}\\right)\\).\n\n**Krok 3 - \\(S\\) jest środkiem odcinka \\(PQ\\).**\n\\(\\dfrac{4 + x_Q}{2} = \\tfrac{8}{5} \\Rightarrow x_Q = \\tfrac{16}{5} - 4 = -\\tfrac{4}{5}\\).\n\\(\\dfrac{5 + y_Q}{2} = \\tfrac{19}{5} \\Rightarrow y_Q = \\tfrac{38}{5} - 5 = \\tfrac{13}{5}\\).\n\n\\[Q = \\left(-\\dfrac{4}{5}, \\dfrac{13}{5}\\right).\\]\n\n### Sposób 2 - Symetria osiowa\nPunkt \\(Q\\) jest symetryczny do \\(P\\) względem prostej \\(y = -2x + 7\\). Wykorzystujemy wzór na rzut punktu na prostą i odbicie symetryczne. Dla prostej \\(ax + by + c = 0\\), gdzie \\(2x + y - 7 = 0\\) (z \\(y = -2x+7\\)):\n\\[Q = P - 2\\cdot\\dfrac{aP_x + bP_y + c}{a^2+b^2}(a,b).\\]\nPodstawiamy: \\(2\\cdot 4 + 1\\cdot 5 - 7 = 6\\), \\(a^2+b^2 = 5\\):\n\\[Q = (4, 5) - 2\\cdot\\dfrac{6}{5}(2, 1) = (4, 5) - \\left(\\tfrac{24}{5}, \\tfrac{12}{5}\\right) = \\left(\\tfrac{20-24}{5}, \\tfrac{25-12}{5}\\right) = \\left(-\\tfrac{4}{5}, \\tfrac{13}{5}\\right).\\]\n\n**Sprawdzenie odległości:** \\(|PS|^2 = \\left(4-\\tfrac{8}{5}\\right)^2 + \\left(5-\\tfrac{19}{5}\\right)^2 = \\left(\\tfrac{12}{5}\\right)^2 + \\left(\\tfrac{6}{5}\\right)^2 = \\tfrac{144+36}{25} = \\tfrac{180}{25}\\). Analogicznie \\(|QS|^2\\) daje to samo.\n\n**Odpowiedź:** \\(Q = \\left(-\\dfrac{4}{5}, \\dfrac{13}{5}\\right)\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 34. (5 pkt)<br>Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6<br>(zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod<br>kątem, którego tangens jest równy 7 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.<br>A<br>B<br>C<br>D<br>S<br>6</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>Odpowiedź:<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>34.<br>Maks. liczba pkt<br>5<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 34. (5 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.</p>\n<ol><li>Stereometria. Zdający wskazuje i oblicza kąty</li></ol>\n<p>między ścianami wielościanu, między ścianami<br>i odcinkami oraz między odcinkami takimi jak<br>krawędzie, przekątne, wysokości (9.a).<br>Zdający wyznacza związki miarowe w wielościanach<br>i bryłach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii<br>(9.b).<br>Zasady oceniania<br>Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego<br>rozwiązania 1 p.<br>Zdający<br>zaznaczy na rysunku kąt α nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy<br>albo<br>zapisze równanie wynikające z definicji tangensa kąta α:<br>7<br>1<br>2<br>h<br>a<br>albo<br>zapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOE:<br>2<br>2<br>2<br>2<br>b<br>a<br>h<br>h<br><br><br><br><br><br><br>albo<br>zapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SEC:<br>2<br>2<br>2<br>6<br>2<br>b<br>a<br>h<br><br><br><br><br><br><br>albo<br>zapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOC:<br>2<br>2<br>2<br>2<br>6<br>2<br>a<br>h<br><br><br><br><br><br><br><br><br>albo<br>zapisze równanie wynikające z definicji sinusa kąta α :<br>14<br>4<br>b<br>h<br>h =<br>albo<br>zapisze równanie wynikające z definicji cosinusa kąta α : 2<br>2<br>4<br>b<br>a<br>h =<br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.<br>Zdający zapisze<br>układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, np.:<br>7<br>1<br>2<br>h<br>a<br>i<br>2<br>2<br>2<br>2<br>6<br>2<br>a<br>h<br><br><br><br><br><br><br><br><br>lub<br>układ trzech równań z trzema niewiadomymi, np.:<br>14<br>4<br>b<br>h<br>h =<br>i<br>2<br>2<br>2<br>2<br>b<br>a<br>h<br>h<br><br><br><br><br><br><br>i<br>2<br>2<br>2<br>2<br>6<br>2<br>a<br>h<br><br><br><br><br><br><br><br><br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.<br>Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:<br>2<br>2<br>2<br>7<br>2<br>6<br>2<br>2<br>a<br>a<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>lub<br>2<br>2<br>2<br>2<br>7<br>2<br>6<br>2<br>h<br>h<br><br><br>⋅<br><br><br><br><br><br><br>lub<br>2<br>2<br>2<br>1<br>14<br>6<br>4<br>4<br>b<br>b<br>h<br>h<br><br><br><br><br><br><br><br><br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Rozwiązanie prawie pełne 4 p.<br>Zdający:<br>obliczy długość krawędzi podstawy ostrosłupa lub wysokość ostrosłupa:<br>4<br>a =<br>,<br>2 7<br>h =<br>i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy<br>albo<br>obliczy wysokość<br>bh ściany bocznej ostrosłupa oraz wyznaczy objętość ostrosłupa<br>w zależności od tej wysokości:<br>4 2<br>bh =<br>,<br>2<br>1 1<br>14<br>3 2<br>4<br>b<br>b<br>V<br>h<br>h<br>⋅<br>⋅<br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy<br>Rozwiązanie pełne 5 p.<br>Zdający obliczy objętość ostrosłupa:<br>32 7<br>3<br>V =<br>Uwagi</p>\n<ol><li>Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności</li></ol>\n<p>rozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe<br>rozwiązanie co najwyżej 4 punkty.</p>\n<ol><li>Jeżeli jedynym błędem zdającego jest pominięcie współczynnika 1</li></ol>\n<p>3 we wzorze<br>na objętość ostrosłupa, to otrzymuje 4 punkty.</p>\n<ol><li>Jeżeli jedynym błędem jest:</li></ol>\n<p>a) zastosowanie niepoprawnej definicji tangensa (lub niepoprawnej definicji innej<br>funkcji trygonometrycznej wykorzystanej przez zdającego), np. tg<br>bh<br>h<br>α =<br>, tg<br>h<br>a<br>α =<br>b) niepoprawne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,<br>c) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru „<br>a<br>b<br>a<br>b<br>”,<br>to zdający może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie popełnia<br>innych błędów i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający popełnia jeden błąd, opisany w uwadze 3., a ponadto popełnia błędy</li></ol>\n<p>rachunkowe, ale poprawnie realizuje strategię rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej<br>2 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający błędnie interpretuje kąt między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy</li></ol>\n<p>tego ostrosłupa, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie, o ile poprawnie<br>zastosuje twierdzenie Pitagorasa.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przyjmuje, że krawędź podstawy ostrosłupa jest równa 6, to może</li></ol>\n<p>otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie, o ile zapisze poprawny związek<br>między wielkościami h, hb i a lub zaznaczy poprawnie kąt nachylenia ściany bocznej<br>ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.</p>\n<ol><li>Akceptujemy poprawne przybliżenia liczb rzeczywistych.</li></ol>\n<p>Przykładowe rozwiązanie<br>I sposób<br>Zaznaczmy na rysunku kąt α - kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy<br>i wprowadzamy następujące oznaczenia:<br>a - krawędź podstawy ostrosłupa, h - wysokość ostrosłupa.<br>Korzystając z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym SOE otrzymujemy<br>związek<br>7<br>1<br>2<br>h<br>a<br>, czyli<br>7<br>2<br>h<br>a<br>Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOC wynika równanie<br>2<br>2<br>2<br>2<br>6<br>2<br>a<br>h<br><br><br><br><br><br><br><br><br>Wykorzystując wcześniejszą zależność otrzymujemy<br>2<br>2<br>2<br>7<br>2<br>6<br>2<br>2<br>a<br>a<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>2<br>2<br>7<br>2<br>36<br>4<br>4<br>a<br>a<br>2<br>9<br>36<br>4 a =<br>, stąd<br>2<br>16<br>a =<br>, czyli<br>4.<br>a =<br>Stąd<br>7<br>4<br>2 7<br>2<br>h =<br>⋅<br>. Obliczamy objętość ostrosłupa:<br>2<br>1<br>32 7<br>4<br>2 7<br>3<br>3<br>V =<br>⋅<br>⋅<br>II sposób<br>6<br>a<br>h<br>α<br>B<br>A<br>C<br>D<br>E<br>O<br>S<br>Zaznaczmy na rysunku kąt α - kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy<br>i wprowadzamy następujące oznaczenia:<br>a - krawędź podstawy ostrosłupa, h - wysokość ostrosłupa, hb - wysokość ściany bocznej<br>ostrosłupa<br>Korzystając z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym SOE otrzymujemy:<br>7<br>1<br>2<br>h<br>a<br>, czyli<br>7<br>2<br>h<br>a<br>Z twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SEC otrzymujemy<br>2<br>2<br>2<br>6<br>2<br>b<br>a<br>h<br><br><br>-<br><br><br><br>2<br>2<br>144<br>4<br>b<br>a<br>h<br>Z twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SOE otrzymujemy:<br>2<br>2<br>2<br>2<br>b<br>a<br>h<br>h<br><br><br><br><br><br><br>Zatem<br>2<br>2<br>2<br>144<br>4<br>4<br>a<br>a<br>h<br>,<br>2<br>2<br>2<br>7<br>144<br>4<br>4<br>4<br>a<br>a<br>a<br>2<br>16<br>a =<br>Stąd<br>4<br>a =<br>, więc<br>2 7<br>h =<br>Objętość ostrosłupa jest równa:<br>2<br>1<br>32<br>4<br>2 7<br>7<br>3<br>3<br>V =<br>⋅<br>⋅<br>Uwaga<br>Zależności między wielkościami h, a i<br>bh możemy też otrzymać, wykorzystując definicje<br>funkcji sinus lub cosinus kąta α. Jeżeli tg<br>7<br>α =<br>, to<br>14<br>4<br>sin α =<br>i<br>2<br>4<br>cosα =<br>Stąd<br>14<br>4<br>b<br>h<br>h =<br>oraz<br>1<br>2<br>2<br>4<br>b<br>a<br>h<br>C<br>D<br>B<br>A<br>E<br>O<br>S<br>6<br>a<br>h<br>α<br>hb<br>O<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej<br>dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:<br>I.<br>ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią (punkty 1.-12.);<br>II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy<br>osób ze stwierdzoną dyskalkulią - matura z matematyki, poziom podstawowy, termin<br>główny 2020.<br>I.<br>Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze<br>stwierdzoną dyskalkulią</p>\n<ol><li>Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:</li></ol>\n<p>błędnego przepisania,<br>przestawienia cyfr,<br>zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie,<br>przestawienia położenia przecinka.</p>\n<ol><li>W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu</li></ol>\n<p>oddzielnie przeanalizować czy zdający opanował inne umiejętności, poza<br>umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania<br>badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.</p>\n<ol><li>We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę</li></ol>\n<p>rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej<br>1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub</li></ol>\n<p>zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne<br>rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt<br>za rozwiązanie zadania.</p>\n<ol><li>W</li></ol>\n<p>przypadku<br>zadania<br>wymagającego<br>wyznaczenia<br>pierwiastków<br>trójmianu<br>kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę<br>wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania<br>wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności<br>kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej</li></ol>\n<p>zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji<br>kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych</li></ol>\n<p>lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie<br>takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na</li></ol>\n<p>płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu<br>rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur<br>geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać</li></ol>\n<p>przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych<br>sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje<br>prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli</li></ol>\n<p>podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia<br>rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub</li></ol>\n<p>geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która<br>wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać<br>1 punkt.<br>II.<br>Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku<br>arkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Zadanie 26. (0-2)<br>Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:<br>w<br>wyniku<br>przekształceń<br>algebraicznych<br>doprowadza<br>nierówność<br>do<br>postaci<br>2<br>0</p>\n<blockquote></blockquote>\n<p>ax<br>bx<br>c<br>, gdzie ∆ &gt; 0 (wystarczy, że z rozwiązania zdającego wynika, że traktuje<br>otrzymaną nierówność jak nierówność kwadratową) oraz stosuje wzory na pierwiastki<br>trójmianu kwadratowego i oblicza te pierwiastki.<br>lub<br>rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, z których jednym będzie (<br>)<br>1<br>x<br>lub<br>poprawnie rozwiąże nierówność (<br>)(<br>)<br>2<br>1<br>3<br>0</p>\n<blockquote></blockquote>\n<p>x<br>x<br>Zdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:<br>Pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci:<br>(<br>)<br>5<br>,1<br>,<br>2<br><br><br>-∞<br>∪-</p>\n<ul><li>∞</li></ul>\n<p><br><br><br><br>,<br>(<br>)<br>5<br>,<br>1,<br>2<br><br><br>+∞-<br>∪<br>-∞<br><br><br><br><br>Uwaga!<br>Jeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci sumy przedziałów domkniętych,<br>to może otrzymać co najwyżej 1 pkt.<br>Zadanie 27. (0-2)<br>Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:<br>poda co najmniej dwa poprawne rozwiązania równania.<br>Zdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:<br>przyrówna każdy z czynników do zera, wyznaczy 4 pierwiastki, z których dwa będą<br>prawidłowe (obliczone z jednego czynnika), a w obliczeniu pozostałych pierwiastków będą<br>występowały błędy opisane w pkt 1. i 2. dodatkowych zasad<br>lub<br>przyrówna każdy z czynników do zera i wyznaczy pierwiastki równania:<br>1,<br>0,<br>2<br>x<br>x<br>x<br>(z pominięciem<br>1<br>x<br>).<br>Zadanie 28. (0-2)<br>Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:<br>obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego<br>2<br>2<br>2<br>2<br>a<br>ab<br>b w zależności od zmiennej 𝑎 lub 𝑏<br>Zdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:<br>zapisze nierówność w postaci równoważnej (<br>)<br>2<br>2<br>0</p>\n<blockquote></blockquote>\n<p>a<br>b<br>b<br>oraz stwierdzi (lub zaznaczy),<br>że każdy ze składników lewej strony nierówności jest dodatni.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zadanie 29. (0-2)<br>Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:<br>zapisze poprawną proporcję między długościami boków trójkątów 𝐶𝐵𝐷 i 𝐶𝐸𝐹, wynikającą<br>z ich podobieństwa np.:<br>CF<br>CD<br>CE<br>CB<br>lub<br>ustali związki miarowe między długościami boków w jednym z trójkątów prostokątnych<br>𝐶𝐵𝐷 lub 𝐶𝐸𝐹.<br>Zadanie 30. (0-2)<br>Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:<br>zapisze jedynie liczbę 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń<br>elementarnych)<br>lub<br>zapisze liczbę 11, a z zapisów wynika, że interpretuje tę liczbę jako liczbę zdarzeń<br>elementarnych sprzyjających zdarzeniu A (np. zilustruje to wypisaniem kilku zdarzeń<br>elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, ale nie zapisze zdarzeń elementarnych, które<br>nie sprzyjają zdarzeniu A).<br>Zdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:<br>poprawnie wypisze (lub zaznaczy) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu<br>A, popełni błąd w ich zliczeniu i konsekwentnie zapisze wynik<br>36<br>x , gdzie x jest liczbą<br>zliczonych zdarzeń elementarnych sprzyjających A.<br>Uwaga!<br>W ocenie rozwiązania zadania 30. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się następującej<br>uwagi z zasad oceniania arkuszy standardowych:<br>Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma 𝑃(𝐴) &gt; 1 lub 𝑃(𝐴) &lt; 0, to otrzymuje za<br>całe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu w działaniach na<br>ułamkach.<br>Zadanie 31. (0-2)<br>Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:<br>doprowadzi równanie<br>2sin<br>3cos<br>4<br>cos<br>α +<br>α =<br>α<br>do postaci<br>sin<br>cos<br>α =<br>α<br>a<br>b<br>, popełniając<br>ewentualnie błędy opisane w pkt 1. i 2. dodatkowych zasad oceniania<br>lub<br>poprawnie zastosuje definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie<br>prostokątnym i poprawnie zapisze równanie 2sin<br>3cos<br>4<br>cos<br>α +<br>α =<br>α<br>w postaci, w której<br>występują jedynie długości boków trójkąta prostokątnego.<br>Zdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:<br>doprowadzi do równania: 2tg<br>1<br>α = .<br>Zadanie 32. (0-4)<br>Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:<br>poprawnie wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej AC:<br>3<br>4<br>lub<br>poprawnie zastosuje wzór na odległość punktu A od prostej BD.<br>Zdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:<br>zdający wyznaczy poprawne równanie prostej AC, zapisuje układ równań, pozwalający<br>obliczyć współrzędne punktu O i rozwiązuje ten układ równań<br>lub<br>zdający obliczy odległość punktu A od prostej BD i stosuje poprawną metodę obliczenia<br>pola kwadratu, z wykorzystaniem obliczonej odległości.<br>Zadanie 33. (0-4)<br>Stosują się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 34. (0-5)<br>Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:<br>zastosuje poprawnie twierdzenie Pitagorasa dla jednego z trójkątów: SOE lub SEC lub<br>SOC<br>lub<br>zastosuje poprawnie definicję funkcji tangens w trójkącie SOE dla kąta 𝛼:<br>tg<br>OS<br>OE<br>α =</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(Q = \\left(-\\frac{4}{5},\\ \\frac{13}{5}\\right)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Przecięcie prostej PQ z symetralną</h4>\n<p><strong>Co wiemy o symetralnej odcinka?</strong></p>\n<p>Symetralna odcinka \\(PQ\\) to prosta, która:</p>\n<ol><li><strong>Przechodzi przez środek</strong> odcinka \\(PQ\\),</li><li><strong>Jest prostopadła</strong> do odcinka \\(PQ\\).</li></ol>\n<p>Użyjemy obu tych własności.</p>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz nachylenie prostej PQ.</strong></p>\n<p>Symetralna ma nachylenie \\(a_s = -2\\). Ponieważ \\(PQ \\perp\\) symetralna:</p>\n<p>\\[a_{PQ} \\cdot a_s = -1\\]</p>\n<p>\\[a_{PQ} \\cdot (-2) = -1 \\implies a_{PQ} = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Napisz równanie prostej PQ.</strong></p>\n<p>Prosta przez \\(P = (4, 5)\\) z nachyleniem \\(\\frac{1}{2}\\):</p>\n<p>\\[y - 5 = \\frac{1}{2}(x - 4)\\]</p>\n<p>\\[y = \\frac{1}{2}x - 2 + 5\\]</p>\n<p>\\[y = \\frac{1}{2}x + 3\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Znajdź środek \\(M\\) odcinka \\(PQ\\).</strong></p>\n<p>Środek leży jednocześnie na symetralnej i na prostej \\(PQ\\). Przyrównujemy:</p>\n<p>\\[\\frac{1}{2}x + 3 = -2x + 7\\]</p>\n<p>\\[\\frac{1}{2}x + 2x = 4\\]</p>\n<p>\\[\\frac{5}{2}x = 4 \\implies x = \\frac{8}{5}\\]</p>\n<p>\\[y = -2 \\cdot \\frac{8}{5} + 7 = -\\frac{16}{5} + \\frac{35}{5} = \\frac{19}{5}\\]</p>\n<p><strong>Środek:</strong> \\(M = \\left(\\dfrac{8}{5},\\ \\dfrac{19}{5}\\right)\\)</p>\n<p><strong>Krok 4: Wyznacz \\(Q\\) ze wzoru na środek odcinka.</strong></p>\n<p>Skoro \\(M\\) jest środkiem \\(PQ\\):</p>\n<p>\\[\\frac{x_P + x_Q}{2} = \\frac{8}{5} \\implies \\frac{4 + x_Q}{2} = \\frac{8}{5} \\implies 4 + x_Q = \\frac{16}{5} \\implies x_Q = \\frac{16}{5} - \\frac{20}{5} = -\\frac{4}{5}\\]</p>\n<p>\\[\\frac{y_P + y_Q}{2} = \\frac{19}{5} \\implies \\frac{5 + y_Q}{2} = \\frac{19}{5} \\implies 5 + y_Q = \\frac{38}{5} \\implies y_Q = \\frac{38}{5} - \\frac{25}{5} = \\frac{13}{5}\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{Q = \\left(-\\frac{4}{5},\\ \\frac{13}{5}\\right)}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie trzech warunków)</h4>\n<p>Sprawdzamy, że wyznaczony \\(Q = \\left(-\\frac{4}{5},\\ \\frac{13}{5}\\right)\\) spełnia wszystkie warunki symetralnej.</p>\n<p><strong>Warunek 1:</strong> Środek \\(M\\) leży na prostej \\(y = -2x + 7\\)?</p>\n<p>\\[M = \\left(\\frac{4 + \\left(-\\frac{4}{5}\\right)}{2},\\ \\frac{5 + \\frac{13}{5}}{2}\\right) = \\left(\\frac{\\frac{16}{5}}{2},\\ \\frac{\\frac{38}{5}}{2}\\right) = \\left(\\frac{8}{5},\\ \\frac{19}{5}\\right)\\]</p>\n<p>Sprawdzamy: \\(-2 \\cdot \\frac{8}{5} + 7 = -\\frac{16}{5} + \\frac{35}{5} = \\frac{19}{5}\\) ✓</p>\n<p><strong>Warunek 2:</strong> \\(PQ \\perp\\) symetralna?</p>\n<p>\\[a_{PQ} = \\frac{\\frac{13}{5} - 5}{-\\frac{4}{5} - 4} = \\frac{-\\frac{12}{5}}{-\\frac{24}{5}} = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>\\[a_{PQ} \\cdot a_s = \\frac{1}{2} \\cdot (-2) = -1\\] ✓</p>\n<p><strong>Warunek 3:</strong> \\(|PM| = |QM|\\) (M jest rzeczywiście środkiem)?</p>\n<p>\\[|PM| = \\sqrt{\\left(4 - \\frac{8}{5}\\right)^2 + \\left(5 - \\frac{19}{5}\\right)^2} = \\sqrt{\\left(\\frac{12}{5}\\right)^2 + \\left(\\frac{6}{5}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{144+36}{25}} = \\frac{\\sqrt{180}}{5} = \\frac{6\\sqrt{5}}{5}\\]</p>\n<p>\\[|QM| = \\sqrt{\\left(-\\frac{4}{5} - \\frac{8}{5}\\right)^2 + \\left(\\frac{13}{5} - \\frac{19}{5}\\right)^2} = \\sqrt{\\left(-\\frac{12}{5}\\right)^2 + \\left(-\\frac{6}{5}\\right)^2} = \\frac{6\\sqrt{5}}{5}\\] ✓</p>\n<p>Wszystkie warunki spełnione - wynik poprawny.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong></p>\n<p>Środek odcinka:<br>\\[x_M = \\frac{x_P + x_Q}{2}, \\quad y_M = \\frac{y_P + y_Q}{2}\\]<br>Użyliśmy w Kroku 4 do wyznaczenia \\(x_Q\\) i \\(y_Q\\) z poznanego środka.</p>\n<p>Proste prostopadłe:<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]<br>Użyliśmy w Kroku 1 do wyznaczenia nachylenia \\(PQ\\) z nachylenia symetralnej.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Symetralna to NIE jest po prostu prostopadła do \\(PQ\\) - musi też przechodzić przez środek. Niektórzy uczniowie od razu szukają symetrycznej względem prostej, pomijając etap wyznaczenia środka.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić kierunek: skoro symetralna ma nachylenie \\(-2\\), to \\(PQ\\) ma nachylenie \\(\\frac{1}{2}\\) (odwrotność ze zmianą znaku), nie \\(2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy wzorze na środek odcinka musisz pamiętać, że znasz \\(P\\) i \\(M\\), a szukasz \\(Q\\) - uważaj na kolejność: \\(M = \\frac{P+Q}{2}\\), stąd \\(Q = 2M - P\\). To daje szybszy rachunek:<br>\\[x_Q = 2 \\cdot \\frac{8}{5} - 4 = \\frac{16}{5} - \\frac{20}{5} = -\\frac{4}{5}\\]</blockquote>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(Q = \\left(-\\dfrac{4}{5}, \\dfrac{13}{5}\\right)\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Przez prostą \\(PQ\\) prostopadłą do symetralnej</h5>\n<p><strong>Krok 1 - równanie prostej \\(PQ\\).</strong><br>Symetralna ma współczynnik \\(-2\\), więc prosta \\(PQ\\) (prostopadła) ma współczynnik \\(\\tfrac{1}{2}\\). Przechodzi przez \\(P = (4,5)\\):<br>\\[y = \\tfrac{1}{2}x + b \\Rightarrow 5 = 2 + b \\Rightarrow b = 3.\\]<br>Prosta \\(PQ\\): \\(y = \\tfrac{1}{2}x + 3\\).</p>\n<p><strong>Krok 2 - punkt \\(S\\) = przecięcie \\(PQ\\) z symetralną.</strong><br>\\[\\tfrac{1}{2}x + 3 = -2x + 7\\]<br>\\[\\tfrac{1}{2}x + 2x = 4 \\Rightarrow \\tfrac{5}{2}x = 4 \\Rightarrow x = \\tfrac{8}{5}.\\]<br>\\(y = -2\\cdot\\tfrac{8}{5} + 7 = -\\tfrac{16}{5} + \\tfrac{35}{5} = \\tfrac{19}{5}\\).<br>Zatem \\(S = \\left(\\tfrac{8}{5}, \\tfrac{19}{5}\\right)\\).</p>\n<p><strong>Krok 3 - \\(S\\) jest środkiem odcinka \\(PQ\\).</strong><br>\\(\\dfrac{4 + x_Q}{2} = \\tfrac{8}{5} \\Rightarrow x_Q = \\tfrac{16}{5} - 4 = -\\tfrac{4}{5}\\).<br>\\(\\dfrac{5 + y_Q}{2} = \\tfrac{19}{5} \\Rightarrow y_Q = \\tfrac{38}{5} - 5 = \\tfrac{13}{5}\\).</p>\n<p>\\[Q = \\left(-\\dfrac{4}{5}, \\dfrac{13}{5}\\right).\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Symetria osiowa</h5>\n<p>Punkt \\(Q\\) jest symetryczny do \\(P\\) względem prostej \\(y = -2x + 7\\). Wykorzystujemy wzór na rzut punktu na prostą i odbicie symetryczne. Dla prostej \\(ax + by + c = 0\\), gdzie \\(2x + y - 7 = 0\\) (z \\(y = -2x+7\\)):<br>\\[Q = P - 2\\cdot\\dfrac{aP_x + bP_y + c}{a^2+b^2}(a,b).\\]<br>Podstawiamy: \\(2\\cdot 4 + 1\\cdot 5 - 7 = 6\\), \\(a^2+b^2 = 5\\):<br>\\[Q = (4, 5) - 2\\cdot\\dfrac{6}{5}(2, 1) = (4, 5) - \\left(\\tfrac{24}{5}, \\tfrac{12}{5}\\right) = \\left(\\tfrac{20-24}{5}, \\tfrac{25-12}{5}\\right) = \\left(-\\tfrac{4}{5}, \\tfrac{13}{5}\\right).\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie odległości:</strong> \\(|PS|^2 = \\left(4-\\tfrac{8}{5}\\right)^2 + \\left(5-\\tfrac{19}{5}\\right)^2 = \\left(\\tfrac{12}{5}\\right)^2 + \\left(\\tfrac{6}{5}\\right)^2 = \\tfrac{144+36}{25} = \\tfrac{180}{25}\\). Analogicznie \\(|QS|^2\\) daje to samo.</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> \\(Q = \\left(-\\dfrac{4}{5}, \\dfrac{13}{5}\\right)\\).</p>"}]}