{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności (\n)\n(\n)\n3 1\n2 3\n1\n12\nx\nx\nx\n>\njest przedział\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje równania i nierówności\nkwadratowe; zapisuje rozwiązanie\nw postaci sumy przedziałów (3.a).\nWersja X\nWersja Y\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(0{,}024\\)\n\n## Sposób 1 - Obliczenie średniej i błędu bezwzględnego\n\n**Krok 1: Obliczamy sumę wszystkich liczb w zestawie.**\n\nW zestawie mamy:\n- liczbę \\(4\\) - występuje \\(128\\) razy,\n- liczbę \\(2\\) - występuje \\(122\\) razy.\n\n\\[S = 4 \\cdot 128 + 2 \\cdot 122 = 512 + 244 = 756\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy średnią arytmetyczną.**\n\nŁączna liczba wyrazów: \\(n = 250\\).\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{S}{n} = \\frac{756}{250} = 3{,}024\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy błąd bezwzględny przybliżenia.**\n\nPrzyjęte przybliżenie: \\(\\tilde{a} = 3\\).\n\nBłąd bezwzględny to różnica między wartością dokładną a przybliżoną:\n\n\\[|\\bar{a} - \\tilde{a}| = |3{,}024 - 3| = \\mathbf{0{,}024}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez odchylenie od wartości środkowej\n\nZamiast liczyć pełną sumę, zauważamy, że obie liczby są symetryczne względem \\(3\\):\n- liczba \\(4 = 3 + 1\\) - „odchylenie\" od \\(3\\) wynosi \\(+1\\),\n- liczba \\(2 = 3 - 1\\) - „odchylenie\" od \\(3\\) wynosi \\(-1\\).\n\n**Gdyby obu liczb było po \\(125\\)**, suma odchyleń byłaby równa zero i średnia wyniosłaby dokładnie \\(3\\).\n\nAle liczb \\(4\\) jest o \\(128 - 125 = 3\\) więcej niż „symetrycznie\", a liczb \\(2\\) o \\(3\\) mniej. Każda „nadmiarowa\" czwórka przesuwa sumę o \\(+1\\) powyżej poziomu \\(3 \\cdot 250 = 750\\).\n\n\\[\\text{Nadwyżka sumy} = 3 \\cdot 1 + (-3) \\cdot (-1) = 3 + 3 = 6\\]\n\nUwaga: dokładniej - mamy \\(3\\) dodatkowe czwórki zamiast trójek, każda wnosi \\(+1\\) do sumy:\n\n\\[\\Delta S = 3 \\cdot (+1) + 3 \\cdot (-1) \\cdot (-1)= \\ldots\\]\n\nProściej: suma = \\(3 \\cdot 250 + 1 \\cdot 128 + (-1) \\cdot 122 = 750 + 128 - 122 = 750 + 6 = 756\\).\n\nStąd:\n\\[\\bar{a} = \\frac{750 + 6}{250} = 3 + \\frac{6}{250} = 3 + 0{,}024\\]\n\nBłąd bezwzględny:\n\\[|\\bar{a} - 3| = \\frac{6}{250} = \\mathbf{0{,}024}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyliśmy go w Kroku 2 do wyznaczenia dokładnej wartości średniej z \\(250\\) liczb.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | \\(0{,}24\\) - pominięto jedno zero; błąd przy dzieleniu \\(6 \\div 250\\): policzono \\(6 \\div 25 = 0{,}24\\) zamiast \\(6 \\div 250\\) |\n| C | \\(0{,}0024\\) - pomylono liczbę wyrazów jako \\(2500\\) zamiast \\(250\\) |\n| D | \\(0{,}00024\\) - jak wyżej, ale z błędem \\(\\times 10\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Błąd bezwzględny to **wartość bezwzględna** różnicy - zawsze jest nieujemny. Nie pytamy, czy wyszło za dużo czy za mało, tylko **o ile** się mylimy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić liczbę wyrazów - w zadaniu jest \\(128 + 122 = 250\\), nie \\(128\\) ani \\(122\\). Zawsze sprawdź, czy suma liczebności zgadza się z podaną liczbą całkowitą (\\(250\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu \\(\\frac{756}{250}\\) uważaj na przecinek - szybki sposób: \\(\\frac{756}{250} = \\frac{756}{250} = \\frac{3024}{1000} = 3{,}024\\). Jedno zero za mało lub za dużo to różne odpowiedzi spośród propozycji!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie średniej i błędu\nSuma liczb: \\(128\\cdot 4 + 122\\cdot 2 = 512 + 244 = 756\\).\nŚrednia: \\(\\bar{x} = \\dfrac{756}{250} = 3{,}024\\).\nBłąd bezwzględny: \\(|\\bar{x} - 3| = |3{,}024 - 3| = 0{,}024\\).\n\n### Sposób 2 - Przez różnicę liczebności\nGdyby liczby \\(4\\) i \\(2\\) miały **równe** liczebności (po \\(125\\)), średnia wynosiłaby dokładnie \\(3\\). Nadwyżka 4-tek nad 2-tkami: \\(128 - 122 = 6\\). Każda taka \"zamieniona\" liczba przesuwa sumę o \\(4-2 = 2\\). Łącznie odchylenie sumy: \\(6/2\\cdot 2 = 6\\) (bo \\(128 = 125+3\\), \\(122=125-3\\), różnica przekłada się na \\(3\\cdot(4-2)=6\\)). Średnia zwiększa się o \\(\\tfrac{6}{250} = 0{,}024\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(0{,}24\\)** - zapomniano podzielić przez 250 (zła skala).\n- **C. \\(0{,}0024\\), D. \\(0{,}00024\\)** - błędne położenie przecinka.\n\n**Klucz:** błąd bezwzględny = \\(|\\text{wartość dokładna} - \\text{przybliżenie}|\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 5. (1 pkt)<br>Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności (<br>)<br>(<br>)<br>3 1<br>2 3<br>1<br>12<br>x<br>x<br>x</p>\n<blockquote></blockquote>\n<p>jest przedział<br>A.<br>B.<br>C.<br>D.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>I. Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Równania i nierówności. Zdający</li></ol>\n<p>rozwiązuje równania i nierówności<br>kwadratowe; zapisuje rozwiązanie<br>w postaci sumy przedziałów (3.a).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>A<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(0{,}024\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Obliczenie średniej i błędu bezwzględnego</h4>\n<p><strong>Krok 1: Obliczamy sumę wszystkich liczb w zestawie.</strong></p>\n<p>W zestawie mamy:</p>\n<ul><li>liczbę \\(4\\) - występuje \\(128\\) razy,</li><li>liczbę \\(2\\) - występuje \\(122\\) razy.</li></ul>\n<p>\\[S = 4 \\cdot 128 + 2 \\cdot 122 = 512 + 244 = 756\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Obliczamy średnią arytmetyczną.</strong></p>\n<p>Łączna liczba wyrazów: \\(n = 250\\).</p>\n<p>\\[\\bar{a} = \\frac{S}{n} = \\frac{756}{250} = 3{,}024\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Obliczamy błąd bezwzględny przybliżenia.</strong></p>\n<p>Przyjęte przybliżenie: \\(\\tilde{a} = 3\\).</p>\n<p>Błąd bezwzględny to różnica między wartością dokładną a przybliżoną:</p>\n<p>\\[|\\bar{a} - \\tilde{a}| = |3{,}024 - 3| = \\mathbf{0{,}024}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez odchylenie od wartości środkowej</h4>\n<p>Zamiast liczyć pełną sumę, zauważamy, że obie liczby są symetryczne względem \\(3\\):</p>\n<ul><li>liczba \\(4 = 3 + 1\\) - „odchylenie&quot; od \\(3\\) wynosi \\(+1\\),</li><li>liczba \\(2 = 3 - 1\\) - „odchylenie&quot; od \\(3\\) wynosi \\(-1\\).</li></ul>\n<p><strong>Gdyby obu liczb było po \\(125\\)</strong>, suma odchyleń byłaby równa zero i średnia wyniosłaby dokładnie \\(3\\).</p>\n<p>Ale liczb \\(4\\) jest o \\(128 - 125 = 3\\) więcej niż „symetrycznie&quot;, a liczb \\(2\\) o \\(3\\) mniej. Każda „nadmiarowa&quot; czwórka przesuwa sumę o \\(+1\\) powyżej poziomu \\(3 \\cdot 250 = 750\\).</p>\n<p>\\[\\text{Nadwyżka sumy} = 3 \\cdot 1 + (-3) \\cdot (-1) = 3 + 3 = 6\\]</p>\n<p>Uwaga: dokładniej - mamy \\(3\\) dodatkowe czwórki zamiast trójek, każda wnosi \\(+1\\) do sumy:</p>\n<p>\\[\\Delta S = 3 \\cdot (+1) + 3 \\cdot (-1) \\cdot (-1)= \\ldots\\]</p>\n<p>Prościej: suma = \\(3 \\cdot 250 + 1 \\cdot 128 + (-1) \\cdot 122 = 750 + 128 - 122 = 750 + 6 = 756\\).</p>\n<p>Stąd:<br>\\[\\bar{a} = \\frac{750 + 6}{250} = 3 + \\frac{6}{250} = 3 + 0{,}024\\]</p>\n<p>Błąd bezwzględny:<br>\\[|\\bar{a} - 3| = \\frac{6}{250} = \\mathbf{0{,}024}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)</strong> - wzór na średnią arytmetyczną:<br>\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]<br>Użyliśmy go w Kroku 2 do wyznaczenia dokładnej wartości średniej z \\(250\\) liczb.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B | \\(0{,}24\\) - pominięto jedno zero; błąd przy dzieleniu \\(6 \\div 250\\): policzono \\(6 \\div 25 = 0{,}24\\) zamiast \\(6 \\div 250\\) |<br>| C | \\(0{,}0024\\) - pomylono liczbę wyrazów jako \\(2500\\) zamiast \\(250\\) |<br>| D | \\(0{,}00024\\) - jak wyżej, ale z błędem \\(\\times 10\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Błąd bezwzględny to <strong>wartość bezwzględna</strong> różnicy - zawsze jest nieujemny. Nie pytamy, czy wyszło za dużo czy za mało, tylko <strong>o ile</strong> się mylimy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić liczbę wyrazów - w zadaniu jest \\(128 + 122 = 250\\), nie \\(128\\) ani \\(122\\). Zawsze sprawdź, czy suma liczebności zgadza się z podaną liczbą całkowitą (\\(250\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy dzieleniu \\(\\frac{756}{250}\\) uważaj na przecinek - szybki sposób: \\(\\frac{756}{250} = \\frac{756}{250} = \\frac{3024}{1000} = 3{,}024\\). Jedno zero za mało lub za dużo to różne odpowiedzi spośród propozycji!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Obliczenie średniej i błędu</h5>\n<p>Suma liczb: \\(128\\cdot 4 + 122\\cdot 2 = 512 + 244 = 756\\).<br>Średnia: \\(\\bar{x} = \\dfrac{756}{250} = 3{,}024\\).<br>Błąd bezwzględny: \\(|\\bar{x} - 3| = |3{,}024 - 3| = 0{,}024\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez różnicę liczebności</h5>\n<p>Gdyby liczby \\(4\\) i \\(2\\) miały <strong>równe</strong> liczebności (po \\(125\\)), średnia wynosiłaby dokładnie \\(3\\). Nadwyżka 4-tek nad 2-tkami: \\(128 - 122 = 6\\). Każda taka &quot;zamieniona&quot; liczba przesuwa sumę o \\(4-2 = 2\\). Łącznie odchylenie sumy: \\(6/2\\cdot 2 = 6\\) (bo \\(128 = 125+3\\), \\(122=125-3\\), różnica przekłada się na \\(3\\cdot(4-2)=6\\)). Średnia zwiększa się o \\(\\tfrac{6}{250} = 0{,}024\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(0{,}24\\)</strong> - zapomniano podzielić przez 250 (zła skala).</li><li><strong>C. \\(0{,}0024\\), D. \\(0{,}00024\\)</strong> - błędne położenie przecinka.</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> błąd bezwzględny = \\(|\\text{wartość dokładna} - \\text{przybliżenie}|\\).</p>"}]}