{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nSuma wszystkich rozwiązań równania (\n)(\n)\n3\n2\n0\nx x\nx\njest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 3\n5 ,\n3\n\n\n+ ∞\n\n\n\n\n5\n, 3\n\n\n-∞\n\n\n\n\n5 ,\n3\n\n\n+ ∞\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n∞\n3\n5\n,\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nInformacja do zadań 7.-9.\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem\n( )\n(\n)(\n)\n1\n3\nf x\na x\nx\n. Na rysunku\nprzedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest\npunkt\n(2,1)\nW =","answer":"B","answer_text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje równania wielomianowe\nmetodą rozkładu na czynniki (3.d).\nWersja X\nWersja Y\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(2\\,677{,}50\\) zł\n\n## Sposób 1 - Kolejne obniżki (krok po kroku)\n\n**Krok 1.** Cena wyjściowa:\n\\[c_0 = 3\\,500 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 2.** Obniżka o \\(10\\%\\) - zostaje \\(90\\%\\) ceny:\n\\[c_1 = 3\\,500 \\cdot 0{,}9 = 3\\,150 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 3.** Obniżka o \\(15\\%\\) - zostaje \\(85\\%\\) nowej ceny:\n\\[c_2 = 3\\,150 \\cdot 0{,}85 = 2\\,677{,}50 \\text{ zł}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(2\\,677{,}50\\) zł → C**\n\n## Sposób 2 - Jeden mnożnik łączny\n\nZamiast liczyć kolejno, możemy połączyć obie obniżki w jeden ułamek.\n\nPo obniżce o \\(10\\%\\) zostaje \\(90\\% = 0{,}9\\) ceny.\nPo obniżce o \\(15\\%\\) zostaje \\(85\\% = 0{,}85\\) tej ceny.\n\nŁączny współczynnik:\n\\[0{,}9 \\cdot 0{,}85 = 0{,}765\\]\n\nZatem:\n\\[c_2 = 3\\,500 \\cdot 0{,}765 = 2\\,677{,}50 \\text{ zł}\\]\n\nTen sam wynik. To potwierdza, że **łączna obniżka wynosi \\(23{,}5\\%\\)** (nie \\(25\\%\\)!), bo:\n\\[1 - 0{,}765 = 0{,}235 = 23{,}5\\%\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie pojęcia procentu i podstawowe działania arytmetyczne (mnożenie przez współczynnik procentowy).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Obniżono \\(3\\,500\\) o \\(10\\%\\), a potem obniżono **oryginalną cenę** \\(3\\,500\\) o \\(15\\%\\): \\(3\\,500 - 350 - 525 = 2\\,625\\) ale ta operacja daje B, nie A. **A** powstaje np. z pomylenia \\(15\\%\\) z \\(6{,}5\\%\\) - błąd w rachunku |\n| B | Obie obniżki liczone od **pierwotnej ceny** \\(3\\,500\\): \\(3\\,500 - 10\\% \\cdot 3\\,500 - 15\\% \\cdot 3\\,500 = 3\\,500 - 350 - 525 = 2\\,625\\) - błąd polega na tym, że druga obniżka powinna być liczona od **już obniżonej** ceny |\n| D | Zsumowanie obniżek: \\(10\\% + 15\\% = 25\\%\\), a potem \\(3\\,500 \\cdot 0{,}75 = 2\\,625\\) lub inna wariacja - w każdym przypadku błędne dodawanie procent zamiast składania |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dwóch obniżek procentowych **nie wolno dodawać**! \\(10\\% + 15\\% \\neq 25\\%\\). Łączna obniżka wynosi \\(23{,}5\\%\\), bo druga obniżka działa na **już niższą cenę**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Każda kolejna obniżka jest liczona od **aktualnej ceny**, nie od ceny wyjściowej. To klasyczny błąd prowadzący do odpowiedzi B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Obniżono o \\(10\\%\\)\" oznacza, że zostaje \\(90\\%\\) - mnożysz przez \\(0{,}9\\), **nie odejmujesz** \\(0{,}1\\) od samego współczynnika.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Kolejne obniżki (mnożenie współczynników)\nPo pierwszej obniżce o \\(10\\%\\): cena \\(= 3500\\cdot 0{,}9 = 3150\\) zł.\nPo drugiej obniżce o \\(15\\%\\): cena \\(= 3150\\cdot 0{,}85 = 2677{,}50\\) zł.\n\n### Sposób 2 - Jednym krokiem\n\\[3500\\cdot 0{,}9\\cdot 0{,}85 = 3500\\cdot 0{,}765 = 2677{,}50\\text{ zł}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\,272{,}50\\) zł** - błąd: obniżka o \\(10\\% + 15\\% - \\ldots\\) nie działa sumowaniem procentów.\n- **B. \\(2\\,625\\) zł** - suma procentów \\(25\\%\\): \\(3500\\cdot 0{,}75 = 2625\\) (**błąd** - kolejne obniżki nie są addytywne).\n- **D. \\(2\\,800\\) zł** - tylko obniżka \\(20\\%\\).\n\n**Klucz:** kolejne obniżki **mnożą się**, nie dodają: \\(0{,}9\\cdot 0{,}85 = 0{,}765 \\ne 0{,}75\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6. (1 pkt)<br>Suma wszystkich rozwiązań równania (<br>)(<br>)<br>3<br>2<br>0<br>x x<br>x<br>jest równa<br>A. 0<br>B. 1<br>C. 2<br>D. 3<br>5 ,<br>3<br><br></p>\n<ul><li>∞</li></ul>\n<p><br><br><br><br>5<br>, 3<br><br><br>-∞<br><br><br><br><br>5 ,<br>3<br><br></p>\n<ul><li>∞</li></ul>\n<p><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>∞<br>3<br>5<br>,</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>Informacja do zadań 7.-9.<br>Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem<br>( )<br>(<br>)(<br>)<br>1<br>3<br>f x<br>a x<br>x<br>. Na rysunku<br>przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest<br>punkt<br>(2,1)<br>W =</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>I. Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Równania i nierówności. Zdający</li></ol>\n<p>rozwiązuje równania wielomianowe<br>metodą rozkładu na czynniki (3.d).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(2\\,677{,}50\\) zł</h4>\n<h4>Sposób 1 - Kolejne obniżki (krok po kroku)</h4>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Cena wyjściowa:<br>\\[c_0 = 3\\,500 \\text{ zł}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Obniżka o \\(10\\%\\) - zostaje \\(90\\%\\) ceny:<br>\\[c_1 = 3\\,500 \\cdot 0{,}9 = 3\\,150 \\text{ zł}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Obniżka o \\(15\\%\\) - zostaje \\(85\\%\\) nowej ceny:<br>\\[c_2 = 3\\,150 \\cdot 0{,}85 = 2\\,677{,}50 \\text{ zł}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(2\\,677{,}50\\) zł → C</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Jeden mnożnik łączny</h4>\n<p>Zamiast liczyć kolejno, możemy połączyć obie obniżki w jeden ułamek.</p>\n<p>Po obniżce o \\(10\\%\\) zostaje \\(90\\% = 0{,}9\\) ceny.<br>Po obniżce o \\(15\\%\\) zostaje \\(85\\% = 0{,}85\\) tej ceny.</p>\n<p>Łączny współczynnik:<br>\\[0{,}9 \\cdot 0{,}85 = 0{,}765\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[c_2 = 3\\,500 \\cdot 0{,}765 = 2\\,677{,}50 \\text{ zł}\\]</p>\n<p>Ten sam wynik. To potwierdza, że <strong>łączna obniżka wynosi \\(23{,}5\\%\\)</strong> (nie \\(25\\%\\)!), bo:<br>\\[1 - 0{,}765 = 0{,}235 = 23{,}5\\%\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie pojęcia procentu i podstawowe działania arytmetyczne (mnożenie przez współczynnik procentowy).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | Obniżono \\(3\\,500\\) o \\(10\\%\\), a potem obniżono <strong>oryginalną cenę</strong> \\(3\\,500\\) o \\(15\\%\\): \\(3\\,500 - 350 - 525 = 2\\,625\\) ale ta operacja daje B, nie A. <strong>A</strong> powstaje np. z pomylenia \\(15\\%\\) z \\(6{,}5\\%\\) - błąd w rachunku |<br>| B | Obie obniżki liczone od <strong>pierwotnej ceny</strong> \\(3\\,500\\): \\(3\\,500 - 10\\% \\cdot 3\\,500 - 15\\% \\cdot 3\\,500 = 3\\,500 - 350 - 525 = 2\\,625\\) - błąd polega na tym, że druga obniżka powinna być liczona od <strong>już obniżonej</strong> ceny |<br>| D | Zsumowanie obniżek: \\(10\\% + 15\\% = 25\\%\\), a potem \\(3\\,500 \\cdot 0{,}75 = 2\\,625\\) lub inna wariacja - w każdym przypadku błędne dodawanie procent zamiast składania |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dwóch obniżek procentowych <strong>nie wolno dodawać</strong>! \\(10\\% + 15\\% \\neq 25\\%\\). Łączna obniżka wynosi \\(23{,}5\\%\\), bo druga obniżka działa na <strong>już niższą cenę</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Każda kolejna obniżka jest liczona od <strong>aktualnej ceny</strong>, nie od ceny wyjściowej. To klasyczny błąd prowadzący do odpowiedzi B.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> &quot;Obniżono o \\(10\\%\\)&quot; oznacza, że zostaje \\(90\\%\\) - mnożysz przez \\(0{,}9\\), <strong>nie odejmujesz</strong> \\(0{,}1\\) od samego współczynnika.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Kolejne obniżki (mnożenie współczynników)</h5>\n<p>Po pierwszej obniżce o \\(10\\%\\): cena \\(= 3500\\cdot 0{,}9 = 3150\\) zł.<br>Po drugiej obniżce o \\(15\\%\\): cena \\(= 3150\\cdot 0{,}85 = 2677{,}50\\) zł.</p>\n<h5>Sposób 2 - Jednym krokiem</h5>\n<p>\\[3500\\cdot 0{,}9\\cdot 0{,}85 = 3500\\cdot 0{,}765 = 2677{,}50\\text{ zł}.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(3\\,272{,}50\\) zł</strong> - błąd: obniżka o \\(10\\% + 15\\% - \\ldots\\) nie działa sumowaniem procentów.</li><li><strong>B. \\(2\\,625\\) zł</strong> - suma procentów \\(25\\%\\): \\(3500\\cdot 0{,}75 = 2625\\) (<strong>błąd</strong> - kolejne obniżki nie są addytywne).</li><li><strong>D. \\(2\\,800\\) zł</strong> - tylko obniżka \\(20\\%\\).</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> kolejne obniżki <strong>mnożą się</strong>, nie dodają: \\(0{,}9\\cdot 0{,}85 = 0{,}765 \\ne 0{,}75\\).</p>"}]}