{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nWspółczynnik a we wzorze funkcji f jest równy\nA. 1\nB. 2\nC.\n2\nD.\n1","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór\nfunkcji kwadratowej (4.i).\nWersja X\nWersja Y\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (\\(k = 3\\))\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie miejsca zerowego \\(f\\), podstawienie do \\(g\\)\n\n**Krok 1: Znajdź miejsce zerowe funkcji \\(f\\).**\n\nMiejsce zerowe to \\(x\\), dla którego \\(f(x) = 0\\):\n\\[-4x + 12 = 0\\]\n\\[-4x = -12\\]\n\\[x = 3\\]\n\nZatem obie funkcje muszą mieć miejsce zerowe w punkcie \\(x = 3\\).\n\n**Krok 2: Podstaw \\(x = 3\\) do \\(g(x)\\) i przyrównaj do 0.**\n\n\\[g(3) = 0\\]\n\\[-2 \\cdot 3 + k + 3 = 0\\]\n\\[-6 + k + 3 = 0\\]\n\\[-3 + k = 0\\]\n\\[\\boxed{k = 3}\\]\n\n## Sposób 2 - Przyrównanie miejsc zerowych algebraicznie\n\nMiejsce zerowe \\(f\\): rozwiązanie \\(f(x) = 0\\) to \\(x = 3\\) (jak wyżej).\n\nMiejsce zerowe \\(g\\): rozwiązanie \\(g(x) = 0\\):\n\\[-2x + k + 3 = 0\\]\n\\[x = \\frac{k + 3}{2}\\]\n\n**Warunek wspólnego miejsca zerowego:**\n\\[\\frac{k+3}{2} = 3\\]\n\\[k + 3 = 6\\]\n\\[\\boxed{k = 3}\\]\n\n**Weryfikacja:** Dla \\(k = 3\\): \\(g(x) = -2x + 6\\), zatem \\(g(3) = -6 + 6 = 0\\). Zgadza się.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego funkcji (f(x) = 0) i podstawowe działania algebraiczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(k = -6\\) | Uczeń podstawia \\(x = 3\\) do \\(-2x + k + 3 = 0\\), ale myli znaki: \\(-6 + k + 3 = 0 \\Rightarrow k = 3\\), a potem błędnie przenosi: \\(k = -3\\) lub \\(k = -6\\); albo liczy miejsce zerowe \\(f\\) błędnie jako \\(x = -3\\) i dostaje \\(k = 6 - 3 - 3 = \\) |\n| B. \\(k = -3\\) | Najczęstszy błąd: uczeń poprawnie dochodzi do \\(-3 + k = 0\\), ale zmienia znak i pisze \\(k = -3\\) zamiast \\(k = 3\\) |\n| D. \\(k = 6\\) | Uczeń pominął wyraz \\(+3\\) we wzorze \\(g\\) i rozwiązuje \\(-2 \\cdot 3 + k = 0\\), stąd \\(k = 6\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że miejsce zerowe to \\(f(x) = 0\\), **nie** \\(x = 0\\). Błąd \\(x = 0\\) podstawiony do \\(g\\) daje \\(k + 3 = 0\\), czyli \\(k = -3\\) - odpowiedź B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wyrażeniu \\(g(x) = -2x + k + 3\\) stała to \\(k + 3\\), nie samo \\(k\\). Pominięcie \\(+3\\) to klasyczna pułapka prowadząca prosto do odpowiedzi D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu miejsca zerowego \\(f(x) = 3\\) koniecznie podstaw do \\(g\\) i **przyrównaj do zera** - nie szukasz wartości \\(g(3)\\), tylko warunku, by ta wartość była zerem.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Znalezienie miejsca zerowego \\(f\\)\n\\(f(x) = -4x + 12 = 0 \\Rightarrow x = 3\\).\nFunkcja \\(g\\) musi mieć miejsce zerowe także w \\(x = 3\\):\n\\[g(3) = -2\\cdot 3 + k + 3 = 0\\]\n\\[-6 + k + 3 = 0 \\Rightarrow k = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Z układu równań\nMiejsca zerowe równe: \\(-4x + 12 = 0\\) i \\(-2x + k + 3 = 0\\). Z pierwszego \\(x = 3\\), podstawiamy do drugiego: \\(-6 + k + 3 = 0\\), \\(k = 3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(k = -6\\)** - pomylono znak przy podstawianiu.\n- **B. \\(k = -3\\)** - zapomniano o wyrazie \\(+3\\) w \\(g(x)\\).\n- **D. \\(k = 6\\)** - błąd rachunkowy przy dodawaniu.\n\n**Klucz:** wspólne miejsce zerowe = ten sam \\(x\\) jako pierwiastek obu funkcji.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (1 pkt)<br>Współczynnik a we wzorze funkcji f jest równy<br>A. 1<br>B. 2<br>C.<br>2<br>D.<br>1</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający wyznacza wzór</li></ol>\n<p>funkcji kwadratowej (4.i).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>D<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C (\\(k = 3\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie miejsca zerowego \\(f\\), podstawienie do \\(g\\)</h4>\n<p><strong>Krok 1: Znajdź miejsce zerowe funkcji \\(f\\).</strong></p>\n<p>Miejsce zerowe to \\(x\\), dla którego \\(f(x) = 0\\):<br>\\[-4x + 12 = 0\\]<br>\\[-4x = -12\\]<br>\\[x = 3\\]</p>\n<p>Zatem obie funkcje muszą mieć miejsce zerowe w punkcie \\(x = 3\\).</p>\n<p><strong>Krok 2: Podstaw \\(x = 3\\) do \\(g(x)\\) i przyrównaj do 0.</strong></p>\n<p>\\[g(3) = 0\\]<br>\\[-2 \\cdot 3 + k + 3 = 0\\]<br>\\[-6 + k + 3 = 0\\]<br>\\[-3 + k = 0\\]<br>\\[\\boxed{k = 3}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przyrównanie miejsc zerowych algebraicznie</h4>\n<p>Miejsce zerowe \\(f\\): rozwiązanie \\(f(x) = 0\\) to \\(x = 3\\) (jak wyżej).</p>\n<p>Miejsce zerowe \\(g\\): rozwiązanie \\(g(x) = 0\\):<br>\\[-2x + k + 3 = 0\\]<br>\\[x = \\frac{k + 3}{2}\\]</p>\n<p><strong>Warunek wspólnego miejsca zerowego:</strong><br>\\[\\frac{k+3}{2} = 3\\]<br>\\[k + 3 = 6\\]<br>\\[\\boxed{k = 3}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> Dla \\(k = 3\\): \\(g(x) = -2x + 6\\), zatem \\(g(3) = -6 + 6 = 0\\). Zgadza się.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego funkcji (f(x) = 0) i podstawowe działania algebraiczne.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A. \\(k = -6\\) | Uczeń podstawia \\(x = 3\\) do \\(-2x + k + 3 = 0\\), ale myli znaki: \\(-6 + k + 3 = 0 \\Rightarrow k = 3\\), a potem błędnie przenosi: \\(k = -3\\) lub \\(k = -6\\); albo liczy miejsce zerowe \\(f\\) błędnie jako \\(x = -3\\) i dostaje \\(k = 6 - 3 - 3 = \\) |<br>| B. \\(k = -3\\) | Najczęstszy błąd: uczeń poprawnie dochodzi do \\(-3 + k = 0\\), ale zmienia znak i pisze \\(k = -3\\) zamiast \\(k = 3\\) |<br>| D. \\(k = 6\\) | Uczeń pominął wyraz \\(+3\\) we wzorze \\(g\\) i rozwiązuje \\(-2 \\cdot 3 + k = 0\\), stąd \\(k = 6\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że miejsce zerowe to \\(f(x) = 0\\), <strong>nie</strong> \\(x = 0\\). Błąd \\(x = 0\\) podstawiony do \\(g\\) daje \\(k + 3 = 0\\), czyli \\(k = -3\\) - odpowiedź B.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W wyrażeniu \\(g(x) = -2x + k + 3\\) stała to \\(k + 3\\), nie samo \\(k\\). Pominięcie \\(+3\\) to klasyczna pułapka prowadząca prosto do odpowiedzi D.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po wyznaczeniu miejsca zerowego \\(f(x) = 3\\) koniecznie podstaw do \\(g\\) i <strong>przyrównaj do zera</strong> - nie szukasz wartości \\(g(3)\\), tylko warunku, by ta wartość była zerem.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Znalezienie miejsca zerowego \\(f\\)</h5>\n<p>\\(f(x) = -4x + 12 = 0 \\Rightarrow x = 3\\).<br>Funkcja \\(g\\) musi mieć miejsce zerowe także w \\(x = 3\\):<br>\\[g(3) = -2\\cdot 3 + k + 3 = 0\\]<br>\\[-6 + k + 3 = 0 \\Rightarrow k = 3.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Z układu równań</h5>\n<p>Miejsca zerowe równe: \\(-4x + 12 = 0\\) i \\(-2x + k + 3 = 0\\). Z pierwszego \\(x = 3\\), podstawiamy do drugiego: \\(-6 + k + 3 = 0\\), \\(k = 3\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(k = -6\\)</strong> - pomylono znak przy podstawianiu.</li><li><strong>B. \\(k = -3\\)</strong> - zapomniano o wyrazie \\(+3\\) w \\(g(x)\\).</li><li><strong>D. \\(k = 6\\)</strong> - błąd rachunkowy przy dodawaniu.</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> wspólne miejsce zerowe = ten sam \\(x\\) jako pierwiastek obu funkcji.</p>"}]}