{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nNajwiększa wartość funkcji f w przedziale 1, 4 jest równa\nA.\n3\nB. 0\nC. 1\nD. 2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza\nwartość najmniejszą i wartość\nnajwiększą funkcji kwadratowej\nw przedziale domkniętym (4.k).\nWersja X\nWersja Y\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(m = -5\\)\n\n## Sposób 1 - postać kanoniczna i odczyt wierzchołka\n\nWzór funkcji jest już w **postaci kanonicznej**:\n\\[f(x) = -(x+9)^2 + m = -(x - (-9))^2 + m\\]\n\nOdczytujemy:\n- współczynnik \\(a = -1 < 0\\), więc parabola jest skierowana **ramionami w dół**\n- wierzchołek: \\(W = (-9,\\ m)\\)\n\nDla paraboli skierowanej ramionami w dół **zbiór wartości** to:\n\\[ZW = (-\\infty,\\ m\\rangle\\]\n(funkcja osiąga maksimum równe \\(m\\) w wierzchołku, a potem maleje do \\(-\\infty\\))\n\nZ treści zadania wiemy, że zbiór wartości to \\((-\\infty, -5\\rangle\\), więc porównujemy:\n\\[(-\\infty,\\ m\\rangle = (-\\infty,\\ -5\\rangle\\]\n\nStąd wprost:\n\\[\\boxed{m = -5}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nPodstawiamy \\(m = -5\\) do wzoru:\n\\[f(x) = -(x+9)^2 + (-5) = -(x+9)^2 - 5\\]\n\nSprawdzamy:\n- \\((x+9)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x\\), więc \\(-(x+9)^2 \\leq 0\\)\n- zatem \\(f(x) = -(x+9)^2 - 5 \\leq -5\\)\n\nMaksimum \\(f(x) = -5\\) jest osiągane, gdy \\((x+9)^2 = 0\\), czyli dla \\(x = -9\\):\n\\[f(-9) = -(-9+9)^2 - 5 = 0 - 5 = -5\\]\n\nZbiór wartości to rzeczywiście \\((-\\infty, -5\\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad W = (p,\\ q)\\]\nUżyliśmy tego faktu, że \\(q\\) (wartość \\(y\\) w wierzchołku) jest jednocześnie **maksimum funkcji** (gdy \\(a < 0\\)), a więc prawym końcem przedziału \\((-\\infty, q\\rangle\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd, który do niej prowadzi |\n| A \\((m=5)\\) | Uczeń czyta \\(-5\\) z przedziału i „odwraca znak\" bez powodu - błąd intuicji |\n| C \\((m=-9)\\) | Uczeń myli \\(m\\) ze współrzędną \\(x\\) wierzchołka (\\(-9\\)); bierze nie tę liczbę |\n| D \\((m=9)\\) | Uczeń czyta \\(x\\)-ową współrzędną wierzchołka i zmienia jej znak: \\(-(-9)=9\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci kanonicznej \\(f(x) = -(x+9)^2 + m\\) wierzchołek to \\((-9, m)\\), **nie** \\((9, m)\\)! Znak w nawiasie jest „odwrócony\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości zależy od znaku \\(a\\). Gdy \\(a < 0\\) - parabola „do góry nogami\" - maksimum to \\(q\\) i \\(ZW = (-\\infty, q\\rangle\\). Gdy \\(a > 0\\) - minimum to \\(q\\) i \\(ZW = \\langle q, +\\infty)\\). Nie myl tych dwóch przypadków!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział \\((-\\infty, -5\\rangle\\) jest **domknięty** od prawej (nawias \\(\\rangle\\)), co znaczy, że wartość \\(-5\\) jest osiągana. Odpowiada to temu, że wierzchołek leży na wykresie - funkcja kwadratowa zawsze osiąga swoje ekstremum.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z postaci kanonicznej\nFunkcja \\(f(x) = -(x+9)^2 + m\\) - parabola skierowana **ramionami w dół** (współczynnik przy \\(x^2\\) ujemny). Ma więc **maksimum**, które jest równe wartości wierzchołka: \\(y_w = m\\).\nZbiór wartości: \\((-\\infty, m\\rangle\\).\nPorównanie: \\(m = -5\\).\n\n### Sposób 2 - Wartość maksymalna\nNajwiększa wartość \\(-(x+9)^2\\) to \\(0\\) (dla \\(x = -9\\)). Wtedy \\(f(-9) = 0 + m = m\\). To ma być \\(-5\\), więc \\(m = -5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(m = 5\\)** - pomylono znaki.\n- **C. \\(m = -9\\)** - pomylono współrzędne wierzchołka (\\(x_w = -9\\) zamiast \\(y_w = m\\)).\n- **D. \\(m = 9\\)** - kombinacja obu błędów.\n\n**Klucz:** dla \\(f(x) = -(x-p)^2 + q\\) zbiór wartości = \\((-\\infty, q\\rangle\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (1 pkt)<br>Największa wartość funkcji f w przedziale 1, 4 jest równa<br>A.<br>3<br>B. 0<br>C. 1<br>D. 2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający wyznacza</li></ol>\n<p>wartość najmniejszą i wartość<br>największą funkcji kwadratowej<br>w przedziale domkniętym (4.k).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>C<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(m = -5\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - postać kanoniczna i odczyt wierzchołka</h4>\n<p>Wzór funkcji jest już w <strong>postaci kanonicznej</strong>:<br>\\[f(x) = -(x+9)^2 + m = -(x - (-9))^2 + m\\]</p>\n<p>Odczytujemy:</p>\n<ul><li>współczynnik \\(a = -1 &lt; 0\\), więc parabola jest skierowana <strong>ramionami w dół</strong></li><li>wierzchołek: \\(W = (-9,\\ m)\\)</li></ul>\n<p>Dla paraboli skierowanej ramionami w dół <strong>zbiór wartości</strong> to:<br>\\[ZW = (-\\infty,\\ m\\rangle\\]<br>(funkcja osiąga maksimum równe \\(m\\) w wierzchołku, a potem maleje do \\(-\\infty\\))</p>\n<p>Z treści zadania wiemy, że zbiór wartości to \\((-\\infty, -5\\rangle\\), więc porównujemy:<br>\\[(-\\infty,\\ m\\rangle = (-\\infty,\\ -5\\rangle\\]</p>\n<p>Stąd wprost:<br>\\[\\boxed{m = -5}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Podstawiamy \\(m = -5\\) do wzoru:<br>\\[f(x) = -(x+9)^2 + (-5) = -(x+9)^2 - 5\\]</p>\n<p>Sprawdzamy:</p>\n<ul><li>\\((x+9)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x\\), więc \\(-(x+9)^2 \\leq 0\\)</li><li>zatem \\(f(x) = -(x+9)^2 - 5 \\leq -5\\)</li></ul>\n<p>Maksimum \\(f(x) = -5\\) jest osiągane, gdy \\((x+9)^2 = 0\\), czyli dla \\(x = -9\\):<br>\\[f(-9) = -(-9+9)^2 - 5 = 0 - 5 = -5\\]</p>\n<p>Zbiór wartości to rzeczywiście \\((-\\infty, -5\\rangle\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:<br>\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad W = (p,\\ q)\\]<br>Użyliśmy tego faktu, że \\(q\\) (wartość \\(y\\) w wierzchołku) jest jednocześnie <strong>maksimum funkcji</strong> (gdy \\(a &lt; 0\\)), a więc prawym końcem przedziału \\((-\\infty, q\\rangle\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd, który do niej prowadzi |<br>| A \\((m=5)\\) | Uczeń czyta \\(-5\\) z przedziału i „odwraca znak&quot; bez powodu - błąd intuicji |<br>| C \\((m=-9)\\) | Uczeń myli \\(m\\) ze współrzędną \\(x\\) wierzchołka (\\(-9\\)); bierze nie tę liczbę |<br>| D \\((m=9)\\) | Uczeń czyta \\(x\\)-ową współrzędną wierzchołka i zmienia jej znak: \\(-(-9)=9\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W postaci kanonicznej \\(f(x) = -(x+9)^2 + m\\) wierzchołek to \\((-9, m)\\), <strong>nie</strong> \\((9, m)\\)! Znak w nawiasie jest „odwrócony&quot;.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zbiór wartości zależy od znaku \\(a\\). Gdy \\(a &lt; 0\\) - parabola „do góry nogami&quot; - maksimum to \\(q\\) i \\(ZW = (-\\infty, q\\rangle\\). Gdy \\(a &gt; 0\\) - minimum to \\(q\\) i \\(ZW = \\langle q, +\\infty)\\). Nie myl tych dwóch przypadków!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przedział \\((-\\infty, -5\\rangle\\) jest <strong>domknięty</strong> od prawej (nawias \\(\\rangle\\)), co znaczy, że wartość \\(-5\\) jest osiągana. Odpowiada to temu, że wierzchołek leży na wykresie - funkcja kwadratowa zawsze osiąga swoje ekstremum.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt z postaci kanonicznej</h5>\n<p>Funkcja \\(f(x) = -(x+9)^2 + m\\) - parabola skierowana <strong>ramionami w dół</strong> (współczynnik przy \\(x^2\\) ujemny). Ma więc <strong>maksimum</strong>, które jest równe wartości wierzchołka: \\(y_w = m\\).<br>Zbiór wartości: \\((-\\infty, m\\rangle\\).<br>Porównanie: \\(m = -5\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wartość maksymalna</h5>\n<p>Największa wartość \\(-(x+9)^2\\) to \\(0\\) (dla \\(x = -9\\)). Wtedy \\(f(-9) = 0 + m = m\\). To ma być \\(-5\\), więc \\(m = -5\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(m = 5\\)</strong> - pomylono znaki.</li><li><strong>C. \\(m = -9\\)</strong> - pomylono współrzędne wierzchołka (\\(x_w = -9\\) zamiast \\(y_w = m\\)).</li><li><strong>D. \\(m = 9\\)</strong> - kombinacja obu błędów.</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> dla \\(f(x) = -(x-p)^2 + q\\) zbiór wartości = \\((-\\infty, q\\rangle\\).</p>"}]}