{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nOsią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f jest prosta o równaniu\nA.\n1\nx =\nB.\n2\nx =\nC.\n1\ny =\nD.\n2\ny =\nx\ny\n1\n2\n3\n4\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n0\n-1\n-2\n1\n2\n3\n4\n-3\n-4\nW\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający rozwiązuje\nzadania (również umieszczone w\nkontekście praktycznym), prowadzące\ndo badania funkcji kwadratowej (4.l).\nWersja X\nWersja Y\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(x = -6\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na oś symetrii\n\nFunkcja kwadratowa \\(f(x) = \\frac{1}{3}x^2 + 4x + 7\\) ma postać ogólną \\(ax^2 + bx + c\\), więc odczytujemy współczynniki:\n\\[a = \\frac{1}{3}, \\quad b = 4, \\quad c = 7\\]\n\nOś symetrii paraboli to prosta pionowa \\(x = p\\), gdzie:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[p = -\\frac{4}{2 \\cdot \\frac{1}{3}} = -\\frac{4}{\\frac{2}{3}} = -4 \\cdot \\frac{3}{2} = -6\\]\n\n**Oś symetrii to prosta \\(x = -6\\).**\n\n## Sposób 2 - Uzupełnienie do kwadratu (postać kanoniczna)\n\nSprowadzamy \\(f(x)\\) do postaci kanonicznej \\(a(x - p)^2 + q\\):\n\n\\[f(x) = \\frac{1}{3}x^2 + 4x + 7\\]\n\nWyciągamy \\(\\frac{1}{3}\\) przed nawias z pierwszych dwóch wyrazów:\n\\[f(x) = \\frac{1}{3}\\left(x^2 + 12x\\right) + 7\\]\n\nUzupełniamy do kwadratu - potrzebujemy \\(\\left(\\frac{12}{2}\\right)^2 = 36\\):\n\\[f(x) = \\frac{1}{3}\\left(x^2 + 12x + 36 - 36\\right) + 7\\]\n\n\\[f(x) = \\frac{1}{3}(x + 6)^2 - \\frac{36}{3} + 7\\]\n\n\\[f(x) = \\frac{1}{3}(x + 6)^2 - 12 + 7\\]\n\n\\[f(x) = \\frac{1}{3}(x + 6)^2 - 5\\]\n\nWierzchołek to \\(W = (-6, -5)\\), a **oś symetrii to \\(x = -6\\)**. Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na oś symetrii (współrzędna wierzchołka):\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do bezpośredniego wyznaczenia osi symetrii.\n\nPostać kanoniczna funkcji kwadratowej:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 - z postaci kanonicznej oś symetrii odczytujemy natychmiast jako \\(x = p\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | \\(y = -6\\) to równanie prostej **poziomej**, nie pionowej - oś symetrii paraboli zawsze jest pionowa, czyli \\(x = \\ldots\\) |\n| C | Policzono \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) jako \\(-\\frac{4}{2} = -2\\), zapominając podzielić przez \\(a = \\frac{1}{3}\\) (czyli pomnożyć przez 3) |\n| D | Połączenie obu błędów: zły typ prostej (\\(y\\) zamiast \\(x\\)) i błędna wartość \\(-2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii paraboli to zawsze prosta **pionowa** \\(x = p\\), nigdy pozioma \\(y = p\\). Odpowiedzi z \\(y =\\ldots\\) można od razu wykluczyć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(a \\neq 1\\), dzielenie przez \\(2a\\) łatwo pomylić. Przy \\(a = \\frac{1}{3}\\) mamy \\(2a = \\frac{2}{3}\\), więc \\(-\\frac{b}{2a} = -\\frac{4}{\\frac{2}{3}} = -4 \\cdot \\frac{3}{2} = -6\\). Nie skracaj pochopnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii to \\(x = p\\), a nie wartość \\(q\\) (rzędna wierzchołka). Nawet jeśli policzysz wierzchołek poprawnie, upewnij się, że bierzesz **pierwszą współrzędną** \\(p\\), nie drugą.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na oś symetrii\n\\(x_w = -\\dfrac{b}{2a}\\). Dla \\(a = \\tfrac{1}{3}\\), \\(b = 4\\):\n\\[x_w = -\\dfrac{4}{2\\cdot\\tfrac{1}{3}} = -\\dfrac{4}{\\tfrac{2}{3}} = -4\\cdot\\dfrac{3}{2} = -6.\\]\nOś symetrii: \\(x = -6\\).\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\(f(x) = \\tfrac{1}{3}(x^2 + 12x) + 7 = \\tfrac{1}{3}((x+6)^2 - 36) + 7 = \\tfrac{1}{3}(x+6)^2 - 5\\).\nOś symetrii: \\(x = -6\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, D** - oś symetrii paraboli (o ramionach pionowych) jest **pionowa**: \\(x = \\ldots\\), nie \\(y = \\ldots\\).\n- **C. \\(x = -2\\)** - błąd rachunkowy: ktoś zapomniał o \\(\\tfrac{1}{3}\\) i wziął \\(-\\tfrac{4}{2} = -2\\).\n\n**Klucz:** oś symetrii paraboli jest zawsze **pionowa** (równoległa do osi \\(y\\)).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (1 pkt)<br>Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f jest prosta o równaniu<br>A.<br>1<br>x =<br>B.<br>2<br>x =<br>C.<br>1<br>y =<br>D.<br>2<br>y =<br>x<br>y<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>-1<br>-2<br>-3<br>-4<br>0<br>-1<br>-2<br>1<br>2<br>3<br>4<br>-3<br>-4<br>W</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający rozwiązuje</li></ol>\n<p>zadania (również umieszczone w<br>kontekście praktycznym), prowadzące<br>do badania funkcji kwadratowej (4.l).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(x = -6\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na oś symetrii</h4>\n<p>Funkcja kwadratowa \\(f(x) = \\frac{1}{3}x^2 + 4x + 7\\) ma postać ogólną \\(ax^2 + bx + c\\), więc odczytujemy współczynniki:<br>\\[a = \\frac{1}{3}, \\quad b = 4, \\quad c = 7\\]</p>\n<p>Oś symetrii paraboli to prosta pionowa \\(x = p\\), gdzie:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[p = -\\frac{4}{2 \\cdot \\frac{1}{3}} = -\\frac{4}{\\frac{2}{3}} = -4 \\cdot \\frac{3}{2} = -6\\]</p>\n<p><strong>Oś symetrii to prosta \\(x = -6\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Uzupełnienie do kwadratu (postać kanoniczna)</h4>\n<p>Sprowadzamy \\(f(x)\\) do postaci kanonicznej \\(a(x - p)^2 + q\\):</p>\n<p>\\[f(x) = \\frac{1}{3}x^2 + 4x + 7\\]</p>\n<p>Wyciągamy \\(\\frac{1}{3}\\) przed nawias z pierwszych dwóch wyrazów:<br>\\[f(x) = \\frac{1}{3}\\left(x^2 + 12x\\right) + 7\\]</p>\n<p>Uzupełniamy do kwadratu - potrzebujemy \\(\\left(\\frac{12}{2}\\right)^2 = 36\\):<br>\\[f(x) = \\frac{1}{3}\\left(x^2 + 12x + 36 - 36\\right) + 7\\]</p>\n<p>\\[f(x) = \\frac{1}{3}(x + 6)^2 - \\frac{36}{3} + 7\\]</p>\n<p>\\[f(x) = \\frac{1}{3}(x + 6)^2 - 12 + 7\\]</p>\n<p>\\[f(x) = \\frac{1}{3}(x + 6)^2 - 5\\]</p>\n<p>Wierzchołek to \\(W = (-6, -5)\\), a <strong>oś symetrii to \\(x = -6\\)</strong>. Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - wzór na oś symetrii (współrzędna wierzchołka):<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 1 do bezpośredniego wyznaczenia osi symetrii.</p>\n<p>Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:<br>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 2 - z postaci kanonicznej oś symetrii odczytujemy natychmiast jako \\(x = p\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B | \\(y = -6\\) to równanie prostej <strong>poziomej</strong>, nie pionowej - oś symetrii paraboli zawsze jest pionowa, czyli \\(x = \\ldots\\) |<br>| C | Policzono \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) jako \\(-\\frac{4}{2} = -2\\), zapominając podzielić przez \\(a = \\frac{1}{3}\\) (czyli pomnożyć przez 3) |<br>| D | Połączenie obu błędów: zły typ prostej (\\(y\\) zamiast \\(x\\)) i błędna wartość \\(-2\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Oś symetrii paraboli to zawsze prosta <strong>pionowa</strong> \\(x = p\\), nigdy pozioma \\(y = p\\). Odpowiedzi z \\(y =\\ldots\\) można od razu wykluczyć.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy \\(a \\neq 1\\), dzielenie przez \\(2a\\) łatwo pomylić. Przy \\(a = \\frac{1}{3}\\) mamy \\(2a = \\frac{2}{3}\\), więc \\(-\\frac{b}{2a} = -\\frac{4}{\\frac{2}{3}} = -4 \\cdot \\frac{3}{2} = -6\\). Nie skracaj pochopnie!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Oś symetrii to \\(x = p\\), a nie wartość \\(q\\) (rzędna wierzchołka). Nawet jeśli policzysz wierzchołek poprawnie, upewnij się, że bierzesz <strong>pierwszą współrzędną</strong> \\(p\\), nie drugą.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na oś symetrii</h5>\n<p>\\(x_w = -\\dfrac{b}{2a}\\). Dla \\(a = \\tfrac{1}{3}\\), \\(b = 4\\):<br>\\[x_w = -\\dfrac{4}{2\\cdot\\tfrac{1}{3}} = -\\dfrac{4}{\\tfrac{2}{3}} = -4\\cdot\\dfrac{3}{2} = -6.\\]<br>Oś symetrii: \\(x = -6\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Postać kanoniczna</h5>\n<p>\\(f(x) = \\tfrac{1}{3}(x^2 + 12x) + 7 = \\tfrac{1}{3}((x+6)^2 - 36) + 7 = \\tfrac{1}{3}(x+6)^2 - 5\\).<br>Oś symetrii: \\(x = -6\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B, D</strong> - oś symetrii paraboli (o ramionach pionowych) jest <strong>pionowa</strong>: \\(x = \\ldots\\), nie \\(y = \\ldots\\).</li><li><strong>C. \\(x = -2\\)</strong> - błąd rachunkowy: ktoś zapomniał o \\(\\tfrac{1}{3}\\) i wziął \\(-\\tfrac{4}{2} = -2\\).</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> oś symetrii paraboli jest zawsze <strong>pionowa</strong> (równoległa do osi \\(y\\)).</p>"}]}