{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nRozwiąż nierówność\n1\n1\n1\n1\nx\n\n\n≤\n\n\n\n\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje proste\nrównania i nierówności wymierne (R3.d).\nZasady oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1p.\nZdający zapisze, że\n0\nx ≠\ni\n1\nx ≠\ni doprowadzi nierówność do postaci\n1\n1\nx\nx ≤\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.\nZdający zapisze nierówność w postaci\n2\n1\n0\n1\nx\nx\n-≤\ni\n1\nx ≠\n, albo\n(\n)\n(\n)\n2\n1\n1\nx x\nx\n≤\ni\n1\nx ≠\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 3p.\nZdający poda pierwiastki\n1\n2\nx =\nlub\n1\nx =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4p.\nZdający zapisze rozwiązanie nierówności z uwzględnieniem założeń\n0\nx ≠\n,\n1\nx ≠\n:\n)\n(\n)\n(\n(\n1\n2\n, 0\n0,\n1,\nx∈-∞\n∪\n∪\n+∞.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZakładamy, że\n0\nx ≠\ni\n1\n0\n≠\nx\n. Stąd\n0\nx ≠\ni\n1\nx ≠\nWykonując równoważne przekształcenia nierówności otrzymujemy:\n1\n1\n1\nx\nx\nx\n\n\n≤\n\n\n\n\n,\n1\n1\n1\nx\nx\n\n\n≤\n\n\n\n\n,\n1\n1\nx\nx ≤\n,\n1\n0\n1\nx\nx -≤\n,\n1\n0\n1\n1\nx\nx\nx\nx\n≤\n-1\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem nierówność\n1\n1\n1\n1\nx\n\n\n≤\n\n\n\n\nmożemy zapisać w następującej postaci 2\n1\n0\n1\nx\nx\n-≤\ndla\n0\nx ≠\ni\n1\nx ≠\nZnak ilorazu 2\n1\n0\n1\nx\nx\n-≤\njest taki sam jak znak iloczynu (\n)(\n)\n2\n1 1\n0\nx\nx\n≤\nPierwiastkami trójmianu (\n)(\n)\n2\n1 1\nx\nx\nsą liczby:\n1\n2\nx =\nlub\n1\nx =\nStąd wynika, że rozwiązaniem nierówności\n1\n1\n1\n1\nx\n\n\n≤\n\n\n\n\n, po uwzględnieniu założeń\n0\nx ≠\ni\n1\nx ≠\n,\njest suma przedziałów:\n)\n(\n)\n(\n(\n1\n2\n, 0\n0,\n1,\n-∞\n∪\n∪\n+∞.","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (4 pkt)
Rozwiąż nierówność
1
1
1
1
x


≤




Odpowiedź:

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (4 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
II. Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje proste
\n

równania i nierówności wymierne (R3.d).
Zasady oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania 1p.
Zdający zapisze, że
0
x ≠
i
1
x ≠
i doprowadzi nierówność do postaci
1
1
x
x ≤
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.
Zdający zapisze nierówność w postaci
2
1
0
1
x
x
-≤
i
1
x ≠
, albo
(
)
(
)
2
1
1
x x
x
≤
i
1
x ≠
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 3p.
Zdający poda pierwiastki
1
2
x =
lub
1
x =
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4p.
Zdający zapisze rozwiązanie nierówności z uwzględnieniem założeń
0
x ≠
,
1
x ≠
:
)
(
)
(
(
1
2
, 0
0,
1,
x∈-∞
∪
∪
+∞.
Przykładowe rozwiązanie
Zakładamy, że
0
x ≠
i
1
0
≠
x
. Stąd
0
x ≠
i
1
x ≠
Wykonując równoważne przekształcenia nierówności otrzymujemy:
1
1
1
x
x
x


≤




,
1
1
1
x
x


≤




,
1
1
x
x ≤
,
1
0
1
x
x -≤
,
1
0
1
1
x
x
x
x
≤
-1
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zatem nierówność
1
1
1
1
x


≤




możemy zapisać w następującej postaci 2
1
0
1
x
x
-≤
dla
0
x ≠
i
1
x ≠
Znak ilorazu 2
1
0
1
x
x
-≤
jest taki sam jak znak iloczynu (
)(
)
2
1 1
0
x
x
≤
Pierwiastkami trójmianu (
)(
)
2
1 1
x
x
są liczby:
1
2
x =
lub
1
x =
Stąd wynika, że rozwiązaniem nierówności
1
1
1
1
x


≤




, po uwzględnieniu założeń
0
x ≠
i
1
x ≠
,
jest suma przedziałów:
)
(
)
(
(
1
2
, 0
0,
1,
-∞
∪
∪
+∞.

","solutions":[]}