{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (5 pkt)\nDany jest kwadrat ABCD o boku długości 2. Na bokach BC i CD tego kwadratu wybrano\n- odpowiednio - punkty P i Q, takie, że długość odcinka PC\nQD\nx\n(zobacz rysunek).\nWyznacz tę wartość x, dla której pole trójkąta APQ osiąga wartość najmniejszą. Oblicz to\nnajmniejsze pole.\nP\nx\nC\nD\nA\nB\nx\nQ\n2 - x\n2\n2\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (5 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n4. Funkcje. Zdający rozwiązuje zadania (również\numieszczone w kontekście praktycznym),\nprowadzące do badania funkcji kwadratowej (4.l)\nZasady oceniania\nRozwiązanie, w którym jest niewielki postęp, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1p.\nZdający zauważy, że pole trójkąta APQ jest różnicą pola kwadratu ABCD i sumy pól trzech\ntrójkątów prostokątnych: ABP, QCP, ADQ\n(\n)\nAPQ\nABCD\nABP\nADQ\nQCP\nP\nP\nP\nP\nP\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.\nZdający zapisze pole trójkąta APQ jako funkcję zmiennej x\n(\n)\n(\n)\n1\n1\n1\n( )\n4\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nf x\nx\nx\nx\nx\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅⋅\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3p.\nZdający zapisze wzór funkcji f w postaci\n2\n1\n( )\n2\n2\nf x\nx\nx\ni wyznaczy dziedzinę funkcji f:\n(\n)\n0, 2 .\nRozwiązanie prawie pełne 4p.\nZdający wyznaczy argument x, dla którego funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą: x = 1\nlub rozwiąże zadanie do końca, ale z błędami rachunkowymi.\nRozwiązanie pełne 5p.\nZdający obliczy pole trójkąta APQ:\n2\n1\n1\n3\n(1)\n1\n1\n2\n1\n2\n2\n2\nf\n⋅\nPrzykładowe rozwiązanie\n2 - x\n2\n2 - x\nPole trójkąta APQ jest różnicą pola kwadratu ABCD i sumy pól trzech trójkątów\nprostokątnych: ABP, QCP, ADQ\n(\n)\nAPQ\nABCD\nABP\nADQ\nQCP\nP\nP\nP\nP\nP\nPole kwadratu ABCD i trójkątów ABP, QCP, ADQ są równe odpowiednio:\n2\n2\n4\nABCD\nP\n,\n(\n)\n1 2\n2\n2\nABP\nP\nx\n⋅⋅\n,\n(\n)\n1\n2\n2\nQCP\nP\nx\nx\n⋅⋅\n,\n1 2\n2\nADQ\nP\nx\n⋅⋅\nStąd wynika, że pole trójkąta APQ, jako funkcja f zmiennej x, jest równe\nP\nx\nC\nD\nA\nB\nx\nQ\n2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(\n)\n(\n)\n1\n1\n1\n( )\n4\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nf x\nx\nx\nx\nx\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅⋅\n, gdzie\n(\n)\n0, 2\nx∈\nPrzekształcając równoważnie wzór funkcji f możemy zapisać w postaci:\n2\n1\n( )\n2\n2\nf x\nx\nx\nNajmniejsza wartość funkcja f przyjmuje dla argumentu\n1\nx = .\nStąd\n2\n1\n1\n3\n(1)\n1\n1\n2\n1\n2\n2\n2\nf\n⋅\nDla\n1\nx = pole trójkąta APQ jest najmniejsze i równe 3\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (5 pkt)
Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 2. Na bokach BC i CD tego kwadratu wybrano

\n\n

QD
x
(zobacz rysunek).
Wyznacz tę wartość x, dla której pole trójkąta APQ osiąga wartość najmniejszą. Oblicz to
najmniejsze pole.
P
x
C
D
A
B
x
Q
2 - x
2
2

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
10.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (5 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
IV. Użycie i tworzenie strategii.

\n
  1. Funkcje. Zdający rozwiązuje zadania (również
\n

umieszczone w kontekście praktycznym),
prowadzące do badania funkcji kwadratowej (4.l)
Zasady oceniania
Rozwiązanie, w którym jest niewielki postęp, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1p.
Zdający zauważy, że pole trójkąta APQ jest różnicą pola kwadratu ABCD i sumy pól trzech
trójkątów prostokątnych: ABP, QCP, ADQ
(
)
APQ
ABCD
ABP
ADQ
QCP
P
P
P
P
P
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.
Zdający zapisze pole trójkąta APQ jako funkcję zmiennej x
(
)
(
)
1
1
1
( )
4
2
2
2
2
2
2
2
f x
x
x
x
x
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3p.
Zdający zapisze wzór funkcji f w postaci
2
1
( )
2
2
f x
x
x
i wyznaczy dziedzinę funkcji f:
(
)
0, 2 .
Rozwiązanie prawie pełne 4p.
Zdający wyznaczy argument x, dla którego funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą: x = 1
lub rozwiąże zadanie do końca, ale z błędami rachunkowymi.
Rozwiązanie pełne 5p.
Zdający obliczy pole trójkąta APQ:
2
1
1
3
(1)
1
1
2
1
2
2
2
f
⋅
Przykładowe rozwiązanie
2 - x
2
2 - x
Pole trójkąta APQ jest różnicą pola kwadratu ABCD i sumy pól trzech trójkątów
prostokątnych: ABP, QCP, ADQ
(
)
APQ
ABCD
ABP
ADQ
QCP
P
P
P
P
P
Pole kwadratu ABCD i trójkątów ABP, QCP, ADQ są równe odpowiednio:
2
2
4
ABCD
P
,
(
)
1 2
2
2
ABP
P
x
⋅⋅
,
(
)
1
2
2
QCP
P
x
x
⋅⋅
,
1 2
2
ADQ
P
x
⋅⋅
Stąd wynika, że pole trójkąta APQ, jako funkcja f zmiennej x, jest równe
P
x
C
D
A
B
x
Q
2
Zasady oceniania rozwiązań zadań
(
)
(
)
1
1
1
( )
4
2
2
2
2
2
2
2
f x
x
x
x
x
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
, gdzie
(
)
0, 2
x∈
Przekształcając równoważnie wzór funkcji f możemy zapisać w postaci:
2
1
( )
2
2
f x
x
x
Najmniejsza wartość funkcja f przyjmuje dla argumentu
1
x = .
Stąd
2
1
1
3
(1)
1
1
2
1
2
2
2
f
⋅
Dla
1
x = pole trójkąta APQ jest najmniejsze i równe 3
2

","solutions":[]}