{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (4 pkt)\nOblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (4 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nIII. Modelowanie matematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej; teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający\nwykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji\ni wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach\nkombinatorycznych (R10).\nZasady oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie składa się z następujących części.\nPierwsza polega na wyróżnieniu trzech przypadków i dodaniu - w końcowej fazie rozwiązania\n- otrzymanych trzech wyników.\nDruga część polega na zapisaniu liczby rozważanych w każdym przypadku liczb i obliczeniu\nliczby tych liczb.\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1p.\nZdający\npoprawnie wskaże trzy przypadki\nalbo\npominie jeden z przypadków, ale zapisze liczbę liczb rozważanych w jednym\nprzypadku, np.:\n2\n6\n4\n8\n2\n2\n\n⋅\n⋅\n\n\nlub\n2\n6\n3\n8\n3\n1\n\n⋅\n⋅\n\n\nlub\n6\n3\n7\n8\n3\n2\n\n⋅\n⋅\n⋅\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.\nZdający poprawnie wskaże trzy przypadki oraz zapisze liczbę liczb rozważanych w jednym\nprzypadku lub pominie jeden przypadek, zapisze liczbę liczb w dwóch wskazanych przez\nsiebie przypadkach.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3p.\nZdający poprawnie wskaże trzy przypadki i zapisze liczbę liczb rozważanych w dwóch\nprzypadkach.\nRozwiązanie pełne 4p.\nZdający poprawnie wskaże trzy przypadki i poprawnie obliczy liczbę rozważanych liczb:\n12960.\nUwagi\n1.\nRozwiązanie uznajemy za pełne, jeżeli zdający zapisze liczbę rozpatrywanych liczb\nsiedmiocyfrowych bez użycia symbolu Newtona oraz symbolu silni.\n2.\nJeśli zdający w każdym z trzech rozpatrywanych przypadków poprawnie zapisze jedynie\nliczbę sposobów rozmieszczenia:\ncyfry 1 oraz liczbę sposobów rozmieszczenia cyfry 2\nlub\ncyfry 1 oraz liczbę sposobów rozmieszczenia cyfry innej niż 1 i 2\nlub\ncyfry 2 oraz liczbę sposobów rozmieszczenia cyfry innej niż 1 i 2,\nto za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\nZasady oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie składa się z dwóch części.\nPierwsza polega na obliczeniu liczby wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie\ndziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze\nzbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} oraz liczby tych spośród nich, których pierwszą cyfrą jest 0.\nDruga część polega na obliczeniu liczby szukanych liczb.\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1p.\nZdający zapisze, że\nliczbę wszystkich szukanych liczb można obliczyć, odejmując od liczby wszystkich\n„liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy\ncyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} liczbę\ntych spośród nich, których pierwszą cyfrą jest 0 lub z rozwiązania wynika, że zdający\nw ten sposób ustala liczbę szukanych liczb\nalbo\nwszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują\ndokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze zbioru\n{0,3,4,5,6,7,8,9} jest\n2\n7\n4\n8\n3\n2\n\n⋅\n⋅\n\n\nalbo\nwszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, których pierwszą cyfrą jest 0 oraz w których\nzapisie występują dokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie jedna cyfra\nze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} jest 6\n3\n8\n3\n2\n\n⋅\n⋅\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.\nZdający zapisze, że\nliczbę wszystkich szukanych liczb można obliczyć, odejmując od liczby wszystkich\n„liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy\ncyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} liczbę\ntych spośród nich, których pierwszą cyfrą jest 0 lub z rozwiązania wynika, że zdający\nw ten sposób ustala liczbę szukanych liczb\nZasady oceniania rozwiązań zadań\noraz\nwszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują\ndokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze zbioru\n{0,3,4,5,6,7,8,9} jest\n2\n7\n4\n8\n3\n2\n\n⋅\n⋅\n\n\nalbo\nliczbę wszystkich szukanych liczb można obliczyć, odejmując od liczby wszystkich\n„liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy\ncyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} liczbę\ntych spośród nich, których pierwszą cyfrą jest 0 lub z rozwiązania wynika, że zdający\nw ten sposób ustala liczbę szukanych liczb\noraz\nwszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, których pierwszą cyfrą jest 0 oraz w których\nzapisie występują dokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i dokładnie jedna cyfra\nze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} jest 6\n3\n8\n3\n2\n\n⋅\n⋅\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3p.\nZdający zapisze, że\nwszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry 1,\ndokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} jest\n2\n7\n4\n8\n3\n2\n\n⋅\n⋅\n\n\noraz\nwszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, których pierwszą cyfrą jest 0 oraz w których zapisie\nwystępują dokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i dokładnie jedna cyfra ze zbioru\n{0,3,4,5,6,7,8,9} jest 6\n3\n8\n3\n2\n\n⋅\n⋅\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4p.\nZdający poprawnie obliczy liczbę rozważanych liczb: 12960.\nUwagi\n1. Rozwiązanie uznajemy za pełne, jeżeli zdający zapisze liczbę rozpatrywanych liczb\nsiedmiocyfrowych bez użycia symbolu Newtona oraz symbolu silni.\n2. Jeśli zdający, obliczając liczbę wszystkich szukanych liczb metodą opisaną w II\nsposobie rozwiązania, poprawnie zapisze jedynie liczbę sposobów rozmieszczenia\nw całej I części rozwiązania:\ncyfry 1 oraz liczbę sposobów rozmieszczenia cyfry 2\nlub\ncyfry 1 oraz liczbę sposobów rozmieszczenia cyfry innej niż 1 i 2\nlub\ncyfry 2 oraz liczbę sposobów rozmieszczenia cyfry innej niż 1 i 2,\nto za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nRozważamy trzy przypadki.\nI. Pierwszą cyfrą rozpatrywanej liczby jest 1. Wtedy na następnych sześciu miejscach\nznajdują się dokładnie dwie cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i dokładnie dwie cyfry\nze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}. Takich liczb istnieje\n2\n6\n4\n8\n15 6 64\n5760\n2\n2\n\n⋅\n⋅\n⋅⋅\n\n\nII. Pierwszą cyfrą rozpatrywanej jest 2. Wtedy na następnych sześciu miejscach\nznajdują się dokładnie trzy cyfry 1, dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie dwie cyfry ze\nzbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}. Takich liczb istnieje\n2\n6\n3\n8\n20 3 64\n3840\n3\n1\n\n⋅\n⋅\n⋅⋅\n\n\nIII. Pierwsza cyfra rozpatrywanej liczby jest różna od 1 i od 2. Pierwsza cyfra jest też\nróżna od 0. Zatem na pierwszym miejscu stoi jedna z siedmiu cyfr ze zbioru\n{3,4,5,6,7,8,9}. Wtedy na następnych sześciu miejscach znajdują się dokładnie trzy\ncyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i dokładnie jedna cyfra ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}. Takich\nliczb istnieje\n6\n3\n7\n8\n7 20 3 8\n3360\n3\n2\n\n⋅\n⋅\n⋅= ⋅\n⋅⋅=\n\n\nŁącznie istnieje zatem5760+3840+3360=12960 rozważanych liczb.\nIstnieje 12960 siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują\ndokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.\nII sposób\nZliczamy wszystkie „liczby” siedmiocyfrowe, w których zapisie dziesiętnym występują\ndokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}.\nWtedy na siedmiu miejscach znajdują się dokładnie trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2\ni dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}.\nTakich „liczb” jest\n2\n7\n4\n8\n35 6 64\n13440\n3\n2\n\n⋅\n⋅\n⋅⋅\n\n\nNastępnie zliczamy wszystkie „liczby” siedmiocyfrowe, których pierwszą cyfrą jest 0 oraz\nw których zapisie występują dokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i dokładnie jedna\ncyfra ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}.\nTakich „liczb” jest\n6\n3\n8\n20 3 8\n480\n3\n2\n\n⋅\n⋅=\n⋅⋅=\n\n\nJest zatem 13440\n480\n12960\nrozważanych liczb.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11. (4 pkt)<br>Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym<br>występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.</p>\n<p>Poziom rozszerzony<br>MMA_1R<br>Odpowiedź:<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>11.<br>Maks. liczba pkt<br>4<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom rozszerzony<br>MMA_1R</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11. (4 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>III. Modelowanie matematyczne.</p>\n<ol><li>Elementy statystyki opisowej; teoria</li></ol>\n<p>prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający<br>wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji<br>i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach<br>kombinatorycznych (R10).<br>Zasady oceniania I sposobu rozwiązania<br>Rozwiązanie składa się z następujących części.<br>Pierwsza polega na wyróżnieniu trzech przypadków i dodaniu - w końcowej fazie rozwiązania</p>\n<ul><li>otrzymanych trzech wyników.</li></ul>\n<p>Druga część polega na zapisaniu liczby rozważanych w każdym przypadku liczb i obliczeniu<br>liczby tych liczb.<br>Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego<br>rozwiązania 1p.<br>Zdający<br>poprawnie wskaże trzy przypadki<br>albo<br>pominie jeden z przypadków, ale zapisze liczbę liczb rozważanych w jednym<br>przypadku, np.:<br>2<br>6<br>4<br>8<br>2<br>2<br><br>⋅<br>⋅<br><br><br>lub<br>2<br>6<br>3<br>8<br>3<br>1<br><br>⋅<br>⋅<br><br><br>lub<br>6<br>3<br>7<br>8<br>3<br>2<br><br>⋅<br>⋅<br>⋅<br><br><br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.<br>Zdający poprawnie wskaże trzy przypadki oraz zapisze liczbę liczb rozważanych w jednym<br>przypadku lub pominie jeden przypadek, zapisze liczbę liczb w dwóch wskazanych przez<br>siebie przypadkach.<br>Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3p.<br>Zdający poprawnie wskaże trzy przypadki i zapisze liczbę liczb rozważanych w dwóch<br>przypadkach.<br>Rozwiązanie pełne 4p.<br>Zdający poprawnie wskaże trzy przypadki i poprawnie obliczy liczbę rozważanych liczb:<br>12960.<br>Uwagi<br>1.<br>Rozwiązanie uznajemy za pełne, jeżeli zdający zapisze liczbę rozpatrywanych liczb<br>siedmiocyfrowych bez użycia symbolu Newtona oraz symbolu silni.<br>2.<br>Jeśli zdający w każdym z trzech rozpatrywanych przypadków poprawnie zapisze jedynie<br>liczbę sposobów rozmieszczenia:<br>cyfry 1 oraz liczbę sposobów rozmieszczenia cyfry 2<br>lub<br>cyfry 1 oraz liczbę sposobów rozmieszczenia cyfry innej niż 1 i 2<br>lub<br>cyfry 2 oraz liczbę sposobów rozmieszczenia cyfry innej niż 1 i 2,<br>to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty.<br>Zasady oceniania II sposobu rozwiązania<br>Rozwiązanie składa się z dwóch części.<br>Pierwsza polega na obliczeniu liczby wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie<br>dziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze<br>zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} oraz liczby tych spośród nich, których pierwszą cyfrą jest 0.<br>Druga część polega na obliczeniu liczby szukanych liczb.<br>Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego<br>rozwiązania 1p.<br>Zdający zapisze, że<br>liczbę wszystkich szukanych liczb można obliczyć, odejmując od liczby wszystkich<br>„liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy<br>cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} liczbę<br>tych spośród nich, których pierwszą cyfrą jest 0 lub z rozwiązania wynika, że zdający<br>w ten sposób ustala liczbę szukanych liczb<br>albo<br>wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują<br>dokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze zbioru<br>{0,3,4,5,6,7,8,9} jest<br>2<br>7<br>4<br>8<br>3<br>2<br><br>⋅<br>⋅<br><br><br>albo<br>wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, których pierwszą cyfrą jest 0 oraz w których<br>zapisie występują dokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie jedna cyfra<br>ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} jest 6<br>3<br>8<br>3<br>2<br><br>⋅<br>⋅<br><br><br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.<br>Zdający zapisze, że<br>liczbę wszystkich szukanych liczb można obliczyć, odejmując od liczby wszystkich<br>„liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy<br>cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} liczbę<br>tych spośród nich, których pierwszą cyfrą jest 0 lub z rozwiązania wynika, że zdający<br>w ten sposób ustala liczbę szukanych liczb<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>oraz<br>wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują<br>dokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze zbioru<br>{0,3,4,5,6,7,8,9} jest<br>2<br>7<br>4<br>8<br>3<br>2<br><br>⋅<br>⋅<br><br><br>albo<br>liczbę wszystkich szukanych liczb można obliczyć, odejmując od liczby wszystkich<br>„liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy<br>cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} liczbę<br>tych spośród nich, których pierwszą cyfrą jest 0 lub z rozwiązania wynika, że zdający<br>w ten sposób ustala liczbę szukanych liczb<br>oraz<br>wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, których pierwszą cyfrą jest 0 oraz w których<br>zapisie występują dokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i dokładnie jedna cyfra<br>ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} jest 6<br>3<br>8<br>3<br>2<br><br>⋅<br>⋅<br><br><br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3p.<br>Zdający zapisze, że<br>wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry 1,<br>dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} jest<br>2<br>7<br>4<br>8<br>3<br>2<br><br>⋅<br>⋅<br><br><br>oraz<br>wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, których pierwszą cyfrą jest 0 oraz w których zapisie<br>występują dokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i dokładnie jedna cyfra ze zbioru<br>{0,3,4,5,6,7,8,9} jest 6<br>3<br>8<br>3<br>2<br><br>⋅<br>⋅<br><br><br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Rozwiązanie pełne 4p.<br>Zdający poprawnie obliczy liczbę rozważanych liczb: 12960.<br>Uwagi</p>\n<ol><li>Rozwiązanie uznajemy za pełne, jeżeli zdający zapisze liczbę rozpatrywanych liczb</li></ol>\n<p>siedmiocyfrowych bez użycia symbolu Newtona oraz symbolu silni.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający, obliczając liczbę wszystkich szukanych liczb metodą opisaną w II</li></ol>\n<p>sposobie rozwiązania, poprawnie zapisze jedynie liczbę sposobów rozmieszczenia<br>w całej I części rozwiązania:<br>cyfry 1 oraz liczbę sposobów rozmieszczenia cyfry 2<br>lub<br>cyfry 1 oraz liczbę sposobów rozmieszczenia cyfry innej niż 1 i 2<br>lub<br>cyfry 2 oraz liczbę sposobów rozmieszczenia cyfry innej niż 1 i 2,<br>to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty.<br>Przykładowe rozwiązania<br>I sposób<br>Rozważamy trzy przypadki.<br>I. Pierwszą cyfrą rozpatrywanej liczby jest 1. Wtedy na następnych sześciu miejscach<br>znajdują się dokładnie dwie cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i dokładnie dwie cyfry<br>ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}. Takich liczb istnieje<br>2<br>6<br>4<br>8<br>15 6 64<br>5760<br>2<br>2<br><br>⋅<br>⋅<br>⋅⋅<br><br><br>II. Pierwszą cyfrą rozpatrywanej jest 2. Wtedy na następnych sześciu miejscach<br>znajdują się dokładnie trzy cyfry 1, dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie dwie cyfry ze<br>zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}. Takich liczb istnieje<br>2<br>6<br>3<br>8<br>20 3 64<br>3840<br>3<br>1<br><br>⋅<br>⋅<br>⋅⋅<br><br><br>III. Pierwsza cyfra rozpatrywanej liczby jest różna od 1 i od 2. Pierwsza cyfra jest też<br>różna od 0. Zatem na pierwszym miejscu stoi jedna z siedmiu cyfr ze zbioru<br>{3,4,5,6,7,8,9}. Wtedy na następnych sześciu miejscach znajdują się dokładnie trzy<br>cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i dokładnie jedna cyfra ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}. Takich<br>liczb istnieje<br>6<br>3<br>7<br>8<br>7 20 3 8<br>3360<br>3<br>2<br><br>⋅<br>⋅<br>⋅= ⋅<br>⋅⋅=<br><br><br>Łącznie istnieje zatem5760+3840+3360=12960 rozważanych liczb.<br>Istnieje 12960 siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują<br>dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.<br>II sposób<br>Zliczamy wszystkie „liczby” siedmiocyfrowe, w których zapisie dziesiętnym występują<br>dokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}.<br>Wtedy na siedmiu miejscach znajdują się dokładnie trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2<br>i dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}.<br>Takich „liczb” jest<br>2<br>7<br>4<br>8<br>35 6 64<br>13440<br>3<br>2<br><br>⋅<br>⋅<br>⋅⋅<br><br><br>Następnie zliczamy wszystkie „liczby” siedmiocyfrowe, których pierwszą cyfrą jest 0 oraz<br>w których zapisie występują dokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i dokładnie jedna<br>cyfra ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}.<br>Takich „liczb” jest<br>6<br>3<br>8<br>20 3 8<br>480<br>3<br>2<br><br>⋅<br>⋅=<br>⋅⋅=<br><br><br>Jest zatem 13440<br>480<br>12960<br>rozważanych liczb.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}