{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"12","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (6 pkt)\nPodstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD (\n)\nAB\nCD\n\n. Ramiona tego\ntrapezu mają długości\n10\nAD =\ni\n16\nBC =\n, a miara kąta ABC jest równa 30° . Każda ściana\nboczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α , taki, że\n9\ntg\n2\nα =\n. Oblicz objętość\ntego ostrosłupa.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (6 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki miarowe\nw wielościanach i bryłach obrotowych\nz zastosowaniem trygonometrii (9.b).\n7. Planimetria. Zdający stosuje twierdzenia\ncharakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg\ni czworokąty opisane na okręgu (R9.a).\nZasady oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1p.\nZdający:\nzapisze, że spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w trapez\nABCD lub z rozwiązania wynika, że zdający tę własność stosuje, np.: zapisze\n10 16\nAB\nCD\nalbo\nobliczy wysokość trapezu ABCD :\n8\nh\nCE\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.\nZdający:\nzapisze, że spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w trapez\nABCD lub z rozwiązania wynika, że zdający tę własność stosuje, np.: zapisze\n10 16\nAB\nCD\ni obliczy wysokość trapezu ABCD :\n8\nh\nCE\nalbo\nobliczy wysokość trapezu ABCD :\n8\nh\nCE\ni wysokość tego ostrosłupa\n18\nH =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym dokonano istotnego postępu, ale nie zostały pokonane\nzasadnicze trudności zadania 3p.\nZdający:\nzapisze, że spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w trapez\nABCD lub z rozwiązania wynika, że zdający tę własność stosuje, np.: zapisze\n10 16\nAB\nCD\noraz obliczy wysokość tego ostrosłupa\n18\nH =\nalbo\nobliczy pole podstawy tego ostrosłupa:\n104\nABCD\nP\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4p.\nZdający obliczy wysokość ostrosłupa\n18\nH =\ni pole jego podstawy:\n104\nABCD\nP\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie zadania do końca z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności\nrozumowania (np. błędy rachunkowe, błędy w przepisaniu, itp.) 5p.\nRozwiązanie pełne 6p.\nZdający obliczy objętość ostrosłupa:\n624\nV =\nUwaga.\n1. Jeżeli zdający we wzorze na objętość ostrosłupa pominie czynnik 1\n3\n, to za całe\nrozwiązanie może otrzymać co najwyżej 5 punktów.\n2. Jeżeli zdający popełni błąd polegający na niepoprawnym zastosowaniu definicji funkcji\ntangens, np.: przyjmie, ze jest to stosunek długości przyprostokątnej lezącej przy kącie\ndo przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta, to za całe rozwiązanie może\notrzymać co najwyżej 4 punkty.\n3. Jeżeli zdający popełni błąd polegający na tym, że niepoprawnie ustali związki między\ndługościami boków trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30° i 60° , np. przyjmie,\nże wysokość trapezu to 8 3 , to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej\n4 punkty.\n4. Jeżeli zdający błędnie przyjmuje, że trapez ABCD jest równoramienny lub przyjmie, że\npodstawy tego trapezu mają długości 16 i 10, to za całe rozwiązanie może trzymać co\nnajwyżej 1 punkt.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPonieważ w tym ostrosłupie wszystkie ściany boczne nachylone są do podstawy pod tym\nsamym kątem, więc spodek O wysokości H ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego\nw wielokąt będący podstawą ostrosłupa. Niech r oznacza promień okręgu wpisanego\nw podstawę, h - wysokość trapezu ABCD , H natomiast niech oznacza wysokość\nostrosłupa.\nA\nB\nO\nH\nr\nr\nC\nD\nS\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ w trapez można wpisać okrąg, więc spełniony jest warunek:\n26\nAB\nCD\nKorzystając z własności trójkąta prostokątnego EBC o kątach30° , 60°, 90° , otrzymujemy:\n8\nh\nCE\n, a stąd wynika, że\n4\nr =\nPonieważ\n9\ntg\n2\nα =\n, więc 9\n2\nH\nr\ni stąd obliczamy\n18\nH =\nObjętość tego ostrosłupa jest zatem równa\n1\n1\n1 26 8 18\n624\n3\n3\n2\n3\n2\nABCD\nAB\nCD\nV\nP\nH\nh H\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅⋅\n⋅\n⋅⋅\nA\nB\nE\nC\nD\nh","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (6 pkt)
Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD (
)
AB
CD

. Ramiona tego
trapezu mają długości
10
AD =
i
16
BC =
, a miara kąta ABC jest równa 30° . Każda ściana
boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α , taki, że
9
tg
2
α =
. Oblicz objętość
tego ostrosłupa.

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
12.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (6 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
IV. Użycie i tworzenie strategii.

\n
  1. Stereometria. Zdający wyznacza związki miarowe
\n

w wielościanach i bryłach obrotowych
z zastosowaniem trygonometrii (9.b).

\n
  1. Planimetria. Zdający stosuje twierdzenia
\n

charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg
i czworokąty opisane na okręgu (R9.a).
Zasady oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania 1p.
Zdający:
zapisze, że spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w trapez
ABCD lub z rozwiązania wynika, że zdający tę własność stosuje, np.: zapisze
10 16
AB
CD
albo
obliczy wysokość trapezu ABCD :
8
h
CE
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.
Zdający:
zapisze, że spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w trapez
ABCD lub z rozwiązania wynika, że zdający tę własność stosuje, np.: zapisze
10 16
AB
CD
i obliczy wysokość trapezu ABCD :
8
h
CE
albo
obliczy wysokość trapezu ABCD :
8
h
CE
i wysokość tego ostrosłupa
18
H =
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym dokonano istotnego postępu, ale nie zostały pokonane
zasadnicze trudności zadania 3p.
Zdający:
zapisze, że spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w trapez
ABCD lub z rozwiązania wynika, że zdający tę własność stosuje, np.: zapisze
10 16
AB
CD
oraz obliczy wysokość tego ostrosłupa
18
H =
albo
obliczy pole podstawy tego ostrosłupa:
104
ABCD
P
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4p.
Zdający obliczy wysokość ostrosłupa
18
H =
i pole jego podstawy:
104
ABCD
P
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie zadania do końca z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności
rozumowania (np. błędy rachunkowe, błędy w przepisaniu, itp.) 5p.
Rozwiązanie pełne 6p.
Zdający obliczy objętość ostrosłupa:
624
V =
Uwaga.

\n
  1. Jeżeli zdający we wzorze na objętość ostrosłupa pominie czynnik 1
\n

3
, to za całe
rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 5 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd polegający na niepoprawnym zastosowaniu definicji funkcji
\n

tangens, np.: przyjmie, ze jest to stosunek długości przyprostokątnej lezącej przy kącie
do przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta, to za całe rozwiązanie może
otrzymać co najwyżej 4 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd polegający na tym, że niepoprawnie ustali związki między
\n

długościami boków trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30° i 60° , np. przyjmie,
że wysokość trapezu to 8 3 , to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej
4 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie przyjmuje, że trapez ABCD jest równoramienny lub przyjmie, że
\n

podstawy tego trapezu mają długości 16 i 10, to za całe rozwiązanie może trzymać co
najwyżej 1 punkt.
Przykładowe rozwiązanie
Ponieważ w tym ostrosłupie wszystkie ściany boczne nachylone są do podstawy pod tym
samym kątem, więc spodek O wysokości H ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego
w wielokąt będący podstawą ostrosłupa. Niech r oznacza promień okręgu wpisanego
w podstawę, h - wysokość trapezu ABCD , H natomiast niech oznacza wysokość
ostrosłupa.
A
B
O
H
r
r
C
D
S
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, więc spełniony jest warunek:
26
AB
CD
Korzystając z własności trójkąta prostokątnego EBC o kątach30° , 60°, 90° , otrzymujemy:
8
h
CE
, a stąd wynika, że
4
r =
Ponieważ
9
tg
2
α =
, więc 9
2
H
r
i stąd obliczamy
18
H =
Objętość tego ostrosłupa jest zatem równa
1
1
1 26 8 18
624
3
3
2
3
2
ABCD
AB
CD
V
P
H
h H
⋅
⋅
⋅
⋅⋅
⋅
⋅⋅
A
B
E
C
D
h

","solutions":[]}