{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (3 pkt)\nLiczby dodatnie a i b spełniają równość\n2\n2\n2\n4\n4\na\na\nb\nb\n. Wykaż, że\n2\na\nb\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nA\nB\nC\nM\nD","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (3 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nV. Rozumowanie i argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje się\nwzorami skróconego mnożenia: (\n)\n±\n2\na\nb\n, (\n)\n±\n3\na\nb\n,\n2\n2\na\nb ,\n±\n3\n3\na\nb (2.a).\nZasady oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1p.\nZdający zapisze równanie\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.\nZdający zapisze wniosek\n(bez uzasadnienia lub z niepełnym uzasadnieniem)\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3p.\nZdający zapisze pełne uzasadnienie.\nZasady oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1p.\nZdający zapisze równanie\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.\nZdający zapisze wniosek\n(bez uzasadnienia lub z niepełnym uzasadnieniem)\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3p.\nZdający zapisze pełne uzasadnienie.\n2\n2\n)1\n2\n(\n)1\n(\nb\na\nb\na\n2\n)\n2\n(\n2\n)\n2\n)(\n2\n(\nb\na\nb\na\nb\na\nb\na\n2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1p.\nZdający obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego\n2\n2\n2\n4\n4\na\na\nb\nb\nnp. zmiennej a, obliczy\njego wyróżnik\n(\n)\n2\n4\n2\nb\nΔ =\ni zapisze, że jest on nieujemny dla każdej wartości b albo, że\njest on dodatni dla każdej wartości\n0\nb >\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.\nZdający obliczy pierwiastki trójmianu\n2\n2\n2\n4\n4\na\na\nb\nb\n:\n2\n2\na\nb\nlub\n2\na\nb\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3p.\nZdający zapisze pełne uzasadnienie.\nUwaga\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość równania jedynie dla wybranych wartości a i b,\nto otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nI sposób\nZapisujemy równanie równoważne równaniu z założenia:\nKorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i zapisujemy to równanie w postaci\n. Oba wyrażenia w nawiasach są dodatnie, zatem równość kwadratów jest\nrównoważna równości tych wyrażeń, stąd\ni dalej,\nTo kończy dowód.\nII sposób\nPrzekształcamy założenie równoważnie:\nLiczby a i b są dodatnie, zatem\n. Stąd\n, czyli\nTo kończy dowód.\n1\n4\n4\n1\n2\n2\n2\nb\nb\na\na\n2\n2\n)1\n2\n(\n)1\n(\nb\na\n1\n2\n1\nb\na\nb\na\n2\na\nb\nb\na\n2\n4\n4\n2\n2\n)\n2\n(\n2\n)\n2\n)(\n2\n(\nb\na\nb\na\nb\na\n0\n)\n2\n2\n)(\n2\n(\nb\na\nb\na\n0\n2\n2\n≠\n+ b\na\n0\n2 =\n-b\na\nb\na\n2\nIII sposób\nWyrażenie\n2\n2\n2\n4\n4\na\na\nb\nb\ntraktujemy jako trójmian kwadratowy jednej zmiennej np. a.\nWyróżnik trójmianu kwadratowego\n2\n2\n2\n4\n4\na\na\nb\nb\njest równy:\n(\n)\n2\n4\n2\nb\nΔ =\nTen wyróżnik jest nieujemny dla każdej rzeczywistej wartości b.\nObliczamy pierwiastki tego trójmianu\n2\n2\na\nb\nlub\n2\na\nb\nPonieważ\n0\nb >\n, więc liczba 2\n2\n0\nb\n<\n, co jest sprzeczne z założeniem, że\n0\na >\nZatem\n2\na\nb\nTo kończy dowód.","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (3 pkt)
Liczby dodatnie a i b spełniają równość
2
2
2
4
4
a
a
b
b
. Wykaż, że
2
a
b

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R
A
B
C
M
D

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (3 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
V. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje się
\n

wzorami skróconego mnożenia: (
)
±
2
a
b
, (
)
±
3
a
b
,
2
2
a
b ,
±
3
3
a
b (2.a).
Zasady oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania 1p.
Zdający zapisze równanie
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.
Zdający zapisze wniosek
(bez uzasadnienia lub z niepełnym uzasadnieniem)
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 3p.
Zdający zapisze pełne uzasadnienie.
Zasady oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania 1p.
Zdający zapisze równanie
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.
Zdający zapisze wniosek
(bez uzasadnienia lub z niepełnym uzasadnieniem)
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 3p.
Zdający zapisze pełne uzasadnienie.
2
2
)1
2
(
)1
(
b
a
b
a
2
)
2
(
2
)
2
)(
2
(
b
a
b
a
b
a
b
a
2
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zasady oceniania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania 1p.
Zdający obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego
2
2
2
4
4
a
a
b
b
np. zmiennej a, obliczy
jego wyróżnik
(
)
2
4
2
b
Δ =
i zapisze, że jest on nieujemny dla każdej wartości b albo, że
jest on dodatni dla każdej wartości
0
b >
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.
Zdający obliczy pierwiastki trójmianu
2
2
2
4
4
a
a
b
b
:
2
2
a
b
lub
2
a
b
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 3p.
Zdający zapisze pełne uzasadnienie.
Uwaga
Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość równania jedynie dla wybranych wartości a i b,
to otrzymuje 0 punktów.
Przykładowe rozwiązanie
I sposób
Zapisujemy równanie równoważne równaniu z założenia:
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i zapisujemy to równanie w postaci
. Oba wyrażenia w nawiasach są dodatnie, zatem równość kwadratów jest
równoważna równości tych wyrażeń, stąd
i dalej,
To kończy dowód.
II sposób
Przekształcamy założenie równoważnie:
Liczby a i b są dodatnie, zatem
. Stąd
, czyli
To kończy dowód.
1
4
4
1
2
2
2
b
b
a
a
2
2
)1
2
(
)1
(
b
a
1
2
1
b
a
b
a
2
a
b
b
a
2
4
4
2
2
)
2
(
2
)
2
)(
2
(
b
a
b
a
b
a
0
)
2
2
)(
2
(
b
a
b
a
0
2
2
≠

\n\n

a
0
2 =
-b
a
b
a
2
III sposób
Wyrażenie
2
2
2
4
4
a
a
b
b
traktujemy jako trójmian kwadratowy jednej zmiennej np. a.
Wyróżnik trójmianu kwadratowego
2
2
2
4
4
a
a
b
b
jest równy:
(
)
2
4
2
b
Δ =
Ten wyróżnik jest nieujemny dla każdej rzeczywistej wartości b.
Obliczamy pierwiastki tego trójmianu
2
2
a
b
lub
2
a
b
Ponieważ
0
b >
, więc liczba 2
2
0
b
<
, co jest sprzeczne z założeniem, że
0
a >
Zatem
2
a
b
To kończy dowód.

","solutions":[]}