{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (3 pkt)\nDany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym\n6\nAC\nBC\n, a punkt D jest środkiem\npodstawy AB. Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M. Punkt K leży na boku\nAC, punkt L leży na boku BC, odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz\n2\nKC\nLC\n(zobacz rysunek).\nWykaż, że\n4\n5\nAM\nMC =\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n3.\n4.\nMaks. liczba pkt\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\nK\nL\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (3 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nV. Rozumowanie i argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający wykorzystuje własności figur\npodobnych w zadaniach, w tym umieszczonych w\nkontekście praktycznym (7.b).\nZasady oceniania I i II sposobu\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania\n1p.\nZdający:\nskorzysta z podobieństwa trójkątów i zapisze, np.:\n3\nAD\nKP\nlub zapisze\nCP\nx\ni\n2\nDP\nx\nalbo\nskorzysta z twierdzenia o odcinkach stycznych i zapisze, np.: KM\nKP\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.\nZdający:\nskorzysta z podobieństwa trójkątów CPK i CMD i zapisze poprawne równanie\npozwalające obliczyć długość odcinka PK:\n2\n2\n3\nPK\nx\nx\nalbo\nskorzysta z podobieństwa trójkątów ADM i ACD oraz zapisze poprawne równanie\nz jedną niewiadomą, np. 4\n3\n3\n6\nt\nt\nt\n, gdzie t\nKM\nKP\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3p.\nZdający rozwiąże powyższe równanie i uzasadni, że\n:\n4 : 5\nAM\nMC =\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nA\nB\nC\nM\nD\nPrzykładowe rozwiązanie\nI sposób\nNajpierw uzupełnimy rysunek.\nZ twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wnosimy, że odcinek KL jest równoległy\ndo odcinka AB .\nOznaczmy środek odcinka KL przez P i niech CP\nx\nTrójkąty CKP i CAD są podobne (cecha KKK) w skali 1:3. Wtedy\n2\nPD\nx\ni\n2\nMD\nx\nTrójkąty CPK i CMD są podobne (cecha KKK). Stąd PK\nMD\nCK\nCD\n, czyli\n2\n2\n3\nPK\nx\nx\nStąd\n4\n3\nPK =\n, więc\n8\n3\nAM =\noraz\n8\n10\n3\n3\n6\nMC =\nZatem\n8\n3\n10\n3\n4\n5\nAM\nMC =\nTo kończy dowód.\nII sposób\nNajpierw uzupełnimy rysunek.\nZ twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wnosimy, że odcinek KL jest równoległy\ndo odcinka AB .\nNiech punkt P będzie środkiem odcinka KL.\nZauważamy, że KM\nKP\n,z twierdzenia o równości odcinków stycznych, łączących punkt\nleżący poza okręgiem z punktami styczności.\nA\nB\nC\nM\nD\nK\nL\nP\nK\nL\nP\nx\nNiech KM\nKP\nt\n= . Wtedy\n3\nAD\nt\ni\n4\nAM\nt\n-. Trójkąt ADM jest podobny do trójkąta\nACD , na mocy cechy (kąt, kąt, kąt); są to trójkąty prostokątne, a kąt MAD jest wspólny dla\nobu trójkątów.\nMożemy zatem zapisać równość:\nAM\nAD\nAD\nAC\n, czyli 4\n3\n3\n6\nt\nt\nt\n, skąd otrzymujemy równanie\n2\n9\n6\n24\n0\nt\nt\nRównanie to ma dwa rozwiązania:\n2\nt = -,\n4\n3\nt =\n. Odrzucamy ujemne rozwiązanie tego\nrównania.\nZatem\n4\n3\nt =\n. Ostatecznie\n4\n8\n4\n4\n3\n3\n4\n10\n5\n2\n3\n3\nAM\nMC\nTo kończy dowód.","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (3 pkt)
Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym
6
AC
BC
, a punkt D jest środkiem
podstawy AB. Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M. Punkt K leży na boku
AC, punkt L leży na boku BC, odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz
2
KC
LC
(zobacz rysunek).
Wykaż, że
4
5
AM
MC =
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
3.
4.
Maks. liczba pkt
3
3
Uzyskana liczba pkt
K
L

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (3 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
V. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Planimetria. Zdający wykorzystuje własności figur
\n

podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych w
kontekście praktycznym (7.b).
Zasady oceniania I i II sposobu
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania
1p.
Zdający:
skorzysta z podobieństwa trójkątów i zapisze, np.:
3
AD
KP
lub zapisze
CP
x
i
2
DP
x
albo
skorzysta z twierdzenia o odcinkach stycznych i zapisze, np.: KM
KP
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.
Zdający:
skorzysta z podobieństwa trójkątów CPK i CMD i zapisze poprawne równanie
pozwalające obliczyć długość odcinka PK:
2
2
3
PK
x
x
albo
skorzysta z podobieństwa trójkątów ADM i ACD oraz zapisze poprawne równanie
z jedną niewiadomą, np. 4
3
3
6
t
t
t
, gdzie t
KM
KP
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 3p.
Zdający rozwiąże powyższe równanie i uzasadni, że
:
4 : 5
AM
MC =
Zasady oceniania rozwiązań zadań
A
B
C
M
D
Przykładowe rozwiązanie
I sposób
Najpierw uzupełnimy rysunek.
Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wnosimy, że odcinek KL jest równoległy
do odcinka AB .
Oznaczmy środek odcinka KL przez P i niech CP
x
Trójkąty CKP i CAD są podobne (cecha KKK) w skali 1:3. Wtedy
2
PD
x
i
2
MD
x
Trójkąty CPK i CMD są podobne (cecha KKK). Stąd PK
MD
CK
CD
, czyli
2
2
3
PK
x
x
Stąd
4
3
PK =
, więc
8
3
AM =
oraz
8
10
3
3
6
MC =
Zatem
8
3
10
3
4
5
AM
MC =
To kończy dowód.
II sposób
Najpierw uzupełnimy rysunek.
Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wnosimy, że odcinek KL jest równoległy
do odcinka AB .
Niech punkt P będzie środkiem odcinka KL.
Zauważamy, że KM
KP
,z twierdzenia o równości odcinków stycznych, łączących punkt
leżący poza okręgiem z punktami styczności.
A
B
C
M
D
K
L
P
K
L
P
x
Niech KM
KP
t
= . Wtedy
3
AD
t
i
4
AM
t
-. Trójkąt ADM jest podobny do trójkąta
ACD , na mocy cechy (kąt, kąt, kąt); są to trójkąty prostokątne, a kąt MAD jest wspólny dla
obu trójkątów.
Możemy zatem zapisać równość:
AM
AD
AD
AC
, czyli 4
3
3
6
t
t
t
, skąd otrzymujemy równanie
2
9
6
24
0
t
t
Równanie to ma dwa rozwiązania:
2
t = -,
4
3
t =
. Odrzucamy ujemne rozwiązanie tego
równania.
Zatem
4
3
t =
. Ostatecznie
4
8
4
4
3
3
4
10
5
2
3
3
AM
MC
To kończy dowód.

","solutions":[]}