{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (4 pkt)\nRozwiąż równanie\n2\n3cos2\n10cos\n24sin\n3\nx\nx\nx\n- dla\n0, 2π\nx∈\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (4 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n6. Trygonometria. Zdający rozwiązuje równania\ni nierówności trygonometryczne (R6.e).\nZasady oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1p.\nZdający doprowadzi równanie do postaci równoważnej, w której występuje tylko jedna funkcja\ntrygonometryczna tego samego kąta, np.:\n2\n2\n3 6sin\n10 10sin\n24sin\n3\nx\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.\nZdający rozwiąże równanie kwadratowe\n2\n2\n3\n2\n0\nt\nt\n:\n2\nt\noraz\n1\n2\nt\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3p.\nZdający\nzapisze, że równanie sin\n2\nx = - nie ma rozwiązań i poda co najmniej jedną serię\nrozwiązań równania\n1\nsin\n2\nx =\nw zbiorze liczb rzeczywistych:\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n5\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\n, gdzie k jest liczbą całkowitą\nalbo\nzapisze, że równanie sin\n2\nx = - nie ma rozwiązań i poda jedno rozwiązanie równania\n1\nsin\n2\nx =\nw przedziale 0, 2π\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy\nRozwiązanie pełne 4p.\nZdający wyznaczy oba rozwiązania równania:\n1\nπ\n6\nx\noraz\n2\n5π\n6\nx\nUwagi\n1.\nAkceptujemy przybliżone rozwiązania elementarnych równań trygonometrycznych.\n2.\nJeżeli zdający wyznaczy poprawnie obydwa rozwiązania równania\n1\nsin\n2\nx =\nnależące\ndo przedziału (\n)\n0, 2π i nie zapisze komentarza dotyczącego równania sin\n2\nx = -,\nto otrzymuje 4 punkty.\n3.\nJeżeli zdający przed uzyskaniem równań elementarnych popełni błędy rachunkowe\ni otrzyma równania elementarne, z których co najmniej jedno ma dwie serie rozwiązań\nw zbiorze liczb rzeczywistych, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n4.\nJeżeli zdający przed uzyskaniem elementarnych równań trygonometrycznych popełni\nbłąd polegający na niepoprawnym zastosowaniu wzoru na cosinus kąta podwojonego\nlub błąd polegający na podstawieniu w miejsce sin x wyrażenia\n2\n1 cos x\n, ale\notrzyma co najmniej jedno równanie typu sin x\na\n, gdzie\n(\n)\n(\n)\n1,0\n0,1\na∈-\n∪\n,\ni konsekwentnie to równanie rozwiąże, to za całe rozwiązanie może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty. Jeżeli jednak zdający otrzyma co najmniej jedno równanie typu\nsin x\na\n, gdzie\n{\n}\n1, 0, 1\na∈-\n, i to równanie konsekwentnie rozwiąże, to za całe\nrozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\n5.\nJeżeli\nzdający\nzapisze\nrównanie\n2\n2\nsin\ncos\n3\nx\nx\n,\nrównoważne\nrównaniu\n2\n3cos2\n10cos\n24sin\n3\nx\nx\nx\n-, a następnie rozwiąże równanie\n4\n2\n4 cos\ncos\n1\n0\n9\nx\nx\n,\notrzymując 4 rozwiązania tego równania należące do przedziału 0,2π\n:\n6\nx\nπ\n,\n5\n6\nx\nπ\n,\n7\n6\nx\nπ\n,\n11\n6\nx\nπ\ni nie odrzuci „obcych” rozwiązań:\n7\n6\nx\nπ\n,\n11\n6\nx\nπ\n, to za\ncałe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzekształcamy dane równanie w sposób równoważny:\n2\n3cos2\n10cos\n24sin\n3\nx\nx\nx\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3 1 2sin\n10 1 sin\n24sin\n3\nx\nx\nx\n,\n2\n2\n3 6sin\n10 10sin\n24sin\n3\nx\nx\nx\n-,\n2\n16 16sin\n24sin\nx\nx ,\n2\n16sin\n24sin\n16\n0\nx\nx\n2\n2sin\n3sin\n2\n0\nx\nx\nNiech\nsin\nt\nx\n. Rozwiązujemy równanie kwadratowe:\n2\n2\n3\n2\n0\nt\nt\n,\n23\n4 2 2\n9 16\n25\nΔ =\n+ ⋅⋅= +\n,\n5\nΔ =\n,\n1\n3 5\n8\n2\n4\n4\nt\n,\n2\n3\n5\n2\n1\n4\n4\n2\nt\nRównaniesin\n2\nx = -jest sprzeczne, a równanie\n1\nsin\n2\nx =\nma w przedziale 0, 2π dwa\nrozwiązania:\n1\nπ\n6\nx\noraz\n2\n5π\n6\nx","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (4 pkt)
Rozwiąż równanie
2
3cos2
10cos
24sin
3
x
x
x

\n\n

0, 2π
x∈

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
6.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (4 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
IV. Użycie i tworzenie strategii.

\n
  1. Trygonometria. Zdający rozwiązuje równania
\n

i nierówności trygonometryczne (R6.e).
Zasady oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1p.
Zdający doprowadzi równanie do postaci równoważnej, w której występuje tylko jedna funkcja
trygonometryczna tego samego kąta, np.:
2
2
3 6sin
10 10sin
24sin
3
x
x
x
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.
Zdający rozwiąże równanie kwadratowe
2
2
3
2
0
t
t
:
2
t
oraz
1
2
t
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3p.
Zdający
zapisze, że równanie sin
2
x = - nie ma rozwiązań i poda co najmniej jedną serię
rozwiązań równania
1
sin
2
x =
w zbiorze liczb rzeczywistych:
2
6
x
k
π
π
lub
5
2
6
x
k
π
π
, gdzie k jest liczbą całkowitą
albo
zapisze, że równanie sin
2
x = - nie ma rozwiązań i poda jedno rozwiązanie równania
1
sin
2
x =
w przedziale 0, 2π
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy
Rozwiązanie pełne 4p.
Zdający wyznaczy oba rozwiązania równania:
1
π
6
x
oraz
2
5π
6
x
Uwagi
1.
Akceptujemy przybliżone rozwiązania elementarnych równań trygonometrycznych.
2.
Jeżeli zdający wyznaczy poprawnie obydwa rozwiązania równania
1
sin
2
x =
należące
do przedziału (
)
0, 2π i nie zapisze komentarza dotyczącego równania sin
2
x = -,
to otrzymuje 4 punkty.
3.
Jeżeli zdający przed uzyskaniem równań elementarnych popełni błędy rachunkowe
i otrzyma równania elementarne, z których co najmniej jedno ma dwie serie rozwiązań
w zbiorze liczb rzeczywistych, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
4.
Jeżeli zdający przed uzyskaniem elementarnych równań trygonometrycznych popełni
błąd polegający na niepoprawnym zastosowaniu wzoru na cosinus kąta podwojonego
lub błąd polegający na podstawieniu w miejsce sin x wyrażenia
2
1 cos x
, ale
otrzyma co najmniej jedno równanie typu sin x
a
, gdzie
(
)
(
)
1,0
0,1
a∈-
∪
,
i konsekwentnie to równanie rozwiąże, to za całe rozwiązanie może otrzymać co
najwyżej 2 punkty. Jeżeli jednak zdający otrzyma co najmniej jedno równanie typu
sin x
a
, gdzie
{
}
1, 0, 1
a∈-
, i to równanie konsekwentnie rozwiąże, to za całe
rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt.
5.
Jeżeli
zdający
zapisze
równanie
2
2
sin
cos
3
x
x
,
równoważne
równaniu
2
3cos2
10cos
24sin
3
x
x
x
-, a następnie rozwiąże równanie
4
2
4 cos
cos
1
0
9
x
x
,
otrzymując 4 rozwiązania tego równania należące do przedziału 0,2π
:
6
x
π
,
5
6
x
π
,
7
6
x
π
,
11
6
x
π
i nie odrzuci „obcych” rozwiązań:
7
6
x
π
,
11
6
x
π
, to za
całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe rozwiązanie
Przekształcamy dane równanie w sposób równoważny:
2
3cos2
10cos
24sin
3
x
x
x
,
(
)
(
)
2
2
3 1 2sin
10 1 sin
24sin
3
x
x
x
,
2
2
3 6sin
10 10sin
24sin
3
x
x
x
-,
2
16 16sin
24sin
x
x ,
2
16sin
24sin
16
0
x
x
2
2sin
3sin
2
0
x
x
Niech
sin
t
x
. Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
2
2
3
2
0
t
t
,
23
4 2 2
9 16
25
Δ =

\n\n

,
5
Δ =
,
1
3 5
8
2
4
4
t
,
2
3
5
2
1
4
4
2
t
Równaniesin
2
x = -jest sprzeczne, a równanie
1
sin
2
x =
ma w przedziale 0, 2π dwa
rozwiązania:
1
π
6
x
oraz
2
5π
6
x

","solutions":[]}