{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nW trójkącie równoramiennym ABC:\n10,\nAC\nBC\na miara kąta ABC jest równa 30° .\nNa boku BC wybrano punkt\n, taki, że\n2\n3\nBP\nPC =\n. Oblicz sinus kąta α (zobacz rysunek).\nP\nA\nB\nC\nP\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe\nw figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia\nsinusów i twierdzenia cosinusów (R7.d).\nZasady oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki,\nale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1p.\nZdający obliczy długości odcinków CP i PB oraz wyznaczy miary kątów BAC i CAB:\n6\nCP =\n,\n4\nPB =\n,\n30\nABC\nBAC\n°\n\n\noraz\n120\nACB =\n°\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.\nZdający obliczy długość odcinka AP:\n14\nAP =\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3p.\nZdający zapisze związek, z którego może obliczyć sinα , np.:\n4\n14\nsin\nsin30\nα =\n°\nRozwiązanie pełne 4p.\nZdający obliczy sinusa kąta α :\n1\nsin\n7\nα =\nZasady oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki,\nale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1p.\nZdający obliczy długości odcinków CP i PB oraz wyznaczy miary kątów BAC i CAB:\n6\nCP =\n,\n4\nPB =\n,\n30\nABC\nBAC\n°\n\n\noraz\n120\nACB =\n°\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.\nZdający obliczy długość odcinka AP:\n14\nAP =\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3p.\nZdający obliczy długości odcinków AP i PR\n14\nAP =\n,\n2\nPR =\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nRozwiązanie pełne 4p.\nZdający obliczy sinusa kąta α :\n1\nsin\n7\nα =\nZasady oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki,\nale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1p.\nZdający obliczy długość odcinka PB\noraz zauważy, że miary kątów ACD i BCD są równe 60°:\n4\nPB =\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.\nZdający obliczy długość odcinka AR:\n8 3\nAR =\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3p.\nZdający obliczy długości odcinków AP i PR\n14\nAP =\n,\n2\nPR =\nRozwiązanie pełne 4p.\nZdający obliczy sinusa kąta α :\n1\nsin\n7\nα =\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nOznaczamy\nPAB\nα\n\n. Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, więc\n30\nABC\nBAC\n°\n\n\noraz\n180\n2 30\n120\nACB =\n°-⋅\n° =\n°\n\nDługości odcinków CP i PB są równe:\n3 10\n6\n5\nCP =\n⋅\noraz\n2 10\n4\n5\nPB =\n⋅\nZ twierdzenia cosinusów w trójkącie APC otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\ncos120\nAP\nAC\nCP\nAC CP\n⋅\n⋅\n°,\n(\n)\n2\n100\n36\n2 10 6 sin\n30\nAP =\n-⋅\n⋅⋅\n° ,\n2\n196\nAP =\n, czyli\n14\nAP =\nZ twierdzenia sinusów w trójkącie ABP otrzymujemy\nA\nB\nC\nP\nsin\nsin30\nPB\nAP\nα =\n°\n,\n1\n2\n4\n14\nsinα =\n,\n1\nsin\n7\na =\nUwaga\nZdający może obliczyć długość boku AB, wykorzystując np. twierdzenie cosinusów w trójkącie\nABC\n2\n2\n2\n2\ncos120\nAB\nAC\nBC\nAC\nBC\n⋅\n⋅\n° ,\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n10\n10\n2 10 10\nAB\n-⋅\n⋅\n⋅-\n,\n2\n300\nAB =\n,\n2\n300\nAB =\n,\n10 3\nAB =\nPonownie z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABP\n2\n2\n2\n2\ncos\nPB\nAP\nAB\nAP\nAB\nα\n⋅\n⋅\n,\n(\n)\n2\n2\n2\n4\n14\n10 3\n2 14 10 3 cosα\n-⋅\n⋅\n⋅\n,\n196\n300 16\n480\n12\ncos\n2 14 10 3\n280 3\n7 3\nα\n⋅\n⋅\nPonieważ α jest kątem ostrym, więc\n2\n2\n12\n144\n3\n1\nsin\n1 cos\n1\n1 147\n147\n7\n7 3\nα\nα\n\n\n\n\n\n\nII sposób\nOznaczamy\nPAB\nα\n\noraz R będzie rzutem prostokątnym punktu P na podstawę AB\ntrójkąta ABC. Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, więc\n30\nABC\nBAC\n°\n\n\noraz\n180\n2 30\n120\nACB =\n°-⋅\n° =\n°\n\nDługości odcinków CP i PB są równe:\nA\nB\nC\nP\nR\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3 10\n6\n5\nCP =\n⋅\noraz\n2 10\n4\n5\nPB =\n⋅\nZ twierdzenia cosinusów w trójkącie APC obliczamy długość odcinka\n:\nAP\n2\n2\n2\n2\ncos120\nAP\nAC\nCP\nAC CP\n⋅\n⋅\n°,\n(\n)\n2\n100\n36\n2 10 6 sin\n30\nAP =\n-⋅\n⋅⋅\n° ,\n2\n196\nAP =\n, czyli\n14\nAP =\nTrójkąt PBR jest połową trójkąta równobocznego, więc\n1\n1 4\n2\n2\n2\nPR\nPB\n⋅\nZatem\n2\n1\nsin\n14\n7\nPR\nAP\nα =\nIII sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nZauważmy, że trójkąt ABC składa się z dwóch „połówek” trójkątów równobocznych o boku\ndługości 10, więc\n3\n10 3\n5 3\n2\n2\nAC\nAD =\nDługości odcinków CP i PB są równe:\n3 10\n6\n5\nCP =\n⋅\noraz\n2 10\n4\n5\nPB =\n⋅\nTrójkąt BPR także jest połową trójkąta równobocznego, więc\n4\n2\n2\n2\nBP\nPR =\noraz\n3\n2 3\nBP\nPR\nZatem\n10 3\n2 3\n8 3\nAR\nAB\nBR\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie APR otrzymujemy\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n8 3\n2\n196\n14\nAP\nAR\nPR\nZatem\n2\n1\nsin\n14\n7\nPR\nAP\nα =\nUwaga\nA\nB\nC\nP\nR\nD\nPo obliczeniu długości odcinków PR i AR, możemy obliczyć tangens kąta α\n2\n1\ntg\n8 3\n4 3\nPR\nAR\nα =\n,\na następnie, wykorzystując związki między funkcjami trygonometrycznymi, możemy obliczyć\nsinus tego kąta.","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (4 pkt)
W trójkącie równoramiennym ABC:
10,
AC
BC
a miara kąta ABC jest równa 30° .
Na boku BC wybrano punkt
, taki, że
2
3
BP
PC =
. Oblicz sinus kąta α (zobacz rysunek).
P
A
B
C
P

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
8.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (4 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
IV. Użycie i tworzenie strategii.

\n
  1. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe
\n

w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia
sinusów i twierdzenia cosinusów (R7.d).
Zasady oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki,
ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1p.
Zdający obliczy długości odcinków CP i PB oraz wyznaczy miary kątów BAC i CAB:
6
CP =
,
4
PB =
,
30
ABC
BAC
°


oraz
120
ACB =
°

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.
Zdający obliczy długość odcinka AP:
14
AP =
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3p.
Zdający zapisze związek, z którego może obliczyć sinα , np.:
4
14
sin
sin30
α =
°
Rozwiązanie pełne 4p.
Zdający obliczy sinusa kąta α :
1
sin
7
α =
Zasady oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki,
ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1p.
Zdający obliczy długości odcinków CP i PB oraz wyznaczy miary kątów BAC i CAB:
6
CP =
,
4
PB =
,
30
ABC
BAC
°


oraz
120
ACB =
°

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.
Zdający obliczy długość odcinka AP:
14
AP =
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3p.
Zdający obliczy długości odcinków AP i PR
14
AP =
,
2
PR =
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Rozwiązanie pełne 4p.
Zdający obliczy sinusa kąta α :
1
sin
7
α =
Zasady oceniania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki,
ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1p.
Zdający obliczy długość odcinka PB
oraz zauważy, że miary kątów ACD i BCD są równe 60°:
4
PB =
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.
Zdający obliczy długość odcinka AR:
8 3
AR =
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3p.
Zdający obliczy długości odcinków AP i PR
14
AP =
,
2
PR =
Rozwiązanie pełne 4p.
Zdający obliczy sinusa kąta α :
1
sin
7
α =
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Oznaczamy
PAB
α

. Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, więc
30
ABC
BAC
°


oraz
180
2 30
120
ACB =
°-⋅
° =
°

Długości odcinków CP i PB są równe:
3 10
6
5
CP =
⋅
oraz
2 10
4
5
PB =
⋅
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie APC otrzymujemy
2
2
2
2
cos120
AP
AC
CP
AC CP
⋅
⋅
°,
(
)
2
100
36
2 10 6 sin
30
AP =
-⋅
⋅⋅
° ,
2
196
AP =
, czyli
14
AP =
Z twierdzenia sinusów w trójkącie ABP otrzymujemy
A
B
C
P
sin
sin30
PB
AP
α =
°
,
1
2
4
14
sinα =
,
1
sin
7
a =
Uwaga
Zdający może obliczyć długość boku AB, wykorzystując np. twierdzenie cosinusów w trójkącie
ABC
2
2
2
2
cos120
AB
AC
BC
AC
BC
⋅
⋅
° ,
(
)
2
2
2
1
2
10
10
2 10 10
AB
-⋅
⋅
⋅-
,
2
300
AB =
,
2
300
AB =
,
10 3
AB =
Ponownie z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABP
2
2
2
2
cos
PB
AP
AB
AP
AB
α
⋅
⋅
,
(
)
2
2
2
4
14
10 3
2 14 10 3 cosα
-⋅
⋅
⋅
,
196
300 16
480
12
cos
2 14 10 3
280 3
7 3
α
⋅
⋅
Ponieważ α jest kątem ostrym, więc
2
2
12
144
3
1
sin
1 cos
1
1 147
147
7
7 3
α
α






II sposób
Oznaczamy
PAB
α

oraz R będzie rzutem prostokątnym punktu P na podstawę AB
trójkąta ABC. Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, więc
30
ABC
BAC
°


oraz
180
2 30
120
ACB =
°-⋅
° =
°

Długości odcinków CP i PB są równe:
A
B
C
P
R
Zasady oceniania rozwiązań zadań
3 10
6
5
CP =
⋅
oraz
2 10
4
5
PB =
⋅
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie APC obliczamy długość odcinka
:
AP
2
2
2
2
cos120
AP
AC
CP
AC CP
⋅
⋅
°,
(
)
2
100
36
2 10 6 sin
30
AP =
-⋅
⋅⋅
° ,
2
196
AP =
, czyli
14
AP =
Trójkąt PBR jest połową trójkąta równobocznego, więc
1
1 4
2
2
2
PR
PB
⋅
Zatem
2
1
sin
14
7
PR
AP
α =
III sposób
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Zauważmy, że trójkąt ABC składa się z dwóch „połówek” trójkątów równobocznych o boku
długości 10, więc
3
10 3
5 3
2
2
AC
AD =
Długości odcinków CP i PB są równe:
3 10
6
5
CP =
⋅
oraz
2 10
4
5
PB =
⋅
Trójkąt BPR także jest połową trójkąta równobocznego, więc
4
2
2
2
BP
PR =
oraz
3
2 3
BP
PR
Zatem
10 3
2 3
8 3
AR
AB
BR
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie APR otrzymujemy
(
)
2
2
2
2
8 3
2
196
14
AP
AR
PR
Zatem
2
1
sin
14
7
PR
AP
α =
Uwaga
A
B
C
P
R
D
Po obliczeniu długości odcinków PR i AR, możemy obliczyć tangens kąta α
2
1
tg
8 3
4 3
PR
AR
α =
,
a następnie, wykorzystując związki między funkcjami trygonometrycznymi, możemy obliczyć
sinus tego kąta.

","solutions":[]}