{"id":"matematyka-2020-egzamin-osmoklasisty/zad/16","paper_id":"matematyka-2020-egzamin-osmoklasisty","number":"16","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2020,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 16. (0-2)\nW trójkącie o kątach wewnętrznych α, β, γ miara kąta α jest równa różnicy miar dwóch\npozostałych kątów. Uzasadnij, że ten trójkąt jest prostokątny.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"1. Zaczynamy od przypomnienia, że w każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych wynosi $180°$. Zapisujemy to równanie:\n$$\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°$$\n\n2. Z treści zadania wiemy, że miara kąta $\\alpha$ jest równa różnicy miar dwóch pozostałych kątów. Zapisujemy tę zależność:\n$$\\alpha = \\beta - \\gamma$$\n\n3. Podstawiamy wyrażenie dla $\\alpha$ do równania z sumą kątów:\n$$\\beta - \\gamma + \\beta + \\gamma = 180°$$\n\n4. Uprościmy to równanie. Po dodaniu podobnych wyrazów otrzymujemy:\n$$2\\beta = 180°$$\n\n5. Dzielimy obie strony równania przez 2, aby rozwiązać je dla $\\beta$:\n$$\\beta = \\frac{180°}{2}$$\n\n6. Obliczamy:\n$$\\beta = 90°$$\n\n7. Wiemy już, że kąt $\\beta$ ma miarę $90°$. Jest to więc kąt prosty. W związku z tym stwierdzamy, że trójkąt, w którym kąt prosty wynosi $\\beta$, jest trójkątem prostokątnym.\n\n**Odpowiedź:** Trójkąt jest prostokątny ponieważ kąt $\\beta$ ma miarę $90°$.","image":"img/matematyka-2020-egzamin-osmoklasisty/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2020","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"<p>Zadanie 16. (0-2)<br>W trójkącie o kątach wewnętrznych α, β, γ miara kąta α jest równa różnicy miar dwóch<br>pozostałych kątów. Uzasadnij, że ten trójkąt jest prostokątny.</p>","solutions":[{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od przypomnienia, że w każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych wynosi $180°$. Zapisujemy to równanie:</li></ol>\n<p>$$\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°$$</p>\n<ol><li>Z treści zadania wiemy, że miara kąta $\\alpha$ jest równa różnicy miar dwóch pozostałych kątów. Zapisujemy tę zależność:</li></ol>\n<p>$$\\alpha = \\beta - \\gamma$$</p>\n<ol><li>Podstawiamy wyrażenie dla $\\alpha$ do równania z sumą kątów:</li></ol>\n<p>$$\\beta - \\gamma + \\beta + \\gamma = 180°$$</p>\n<ol><li>Uprościmy to równanie. Po dodaniu podobnych wyrazów otrzymujemy:</li></ol>\n<p>$$2\\beta = 180°$$</p>\n<ol><li>Dzielimy obie strony równania przez 2, aby rozwiązać je dla $\\beta$:</li></ol>\n<p>$$\\beta = \\frac{180°}{2}$$</p>\n<ol><li>Obliczamy:</li></ol>\n<p>$$\\beta = 90°$$</p>\n<ol><li>Wiemy już, że kąt $\\beta$ ma miarę $90°$. Jest to więc kąt prosty. W związku z tym stwierdzamy, że trójkąt, w którym kąt prosty wynosi $\\beta$, jest trójkątem prostokątnym.</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> Trójkąt jest prostokątny ponieważ kąt $\\beta$ ma miarę $90°$.</p>"}]}