{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nBok AB jest średnicą, a punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Punkt D leży\nna tym okręgu, a odcinek SD zawarty jest w symetralnej boku BC trójkąta (zobacz rysunek).\nWykaż, że odcinek AD jest zawarty w dwusiecznej kąta CAB.\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nBok AB jest średnicą, a punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Punkt D leży\nna tym okręgu, a prosta SD jest symetralną boku BC trójkąta (zobacz rysunek).\nWykaż, że odcinek AD jest zawarty w dwusiecznej kąta CAB.\nZadanie 29. (0-2)\nRozwiązanie (I sposób)\nPunkt D leży na symetralnej odcinka BC, zatem odcinki DC i DB mają równe długości. Stąd\nwynika, że łuki DC i DB mają równe długości. Kąty CAD i BAD są kątami wpisanymi w okrąg,\nopartymi na łukach równej długości. Zatem kąty te mają równe miary, czyli odcinek AD jest\nzawarty w dwusiecznej kąta CAB.\nRozwiązanie (II sposób)\nBok AB trójkąta jest średnicą okręgu, zatem trójkąt ABC jest prostokątny, a kąt BCA jest prosty.\nOznaczmy przez K punkt przecięcia odcinków SD i BC.\nKąt BKS jest prosty, jako kąt wyznaczony przez symetralną odcinka BC. Kąt CBA jest\nwspólnym kątem wewnętrznym trójkątów ABC i SBK. Jako trójkąty prostokątne, mające\nwspólny kąt wewnętrzny, trójkąty ABC i SBK są trójkątami podobnymi.\nZatem kąt BSK ma miarę α. Stąd wynika, że kąt rozwarty ASK ma miarę 180\nα\n°-\nΚąt DAS, jako jeden z dwóch równych kątów w trójkącie równoramiennym ADS, ma miarę\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom podstawowy\n(\n)\n180\n180\n2\n2\nα\nα\n°-\n°-\nZatem kąt DAS stanowi połowę kąta CAB, czyli odcinek AD jest dwusieczną kata CAB.\nRozwiązanie (III sposób)\nNiech\nBAD\nα = \ni\nCAD\nβ = \n. Oznaczmy przez E punkt przecięcia odcinków AD i BC.\nTrójkąt ASD jest równoramienny, więc\nSAD\nSDA\nα\n\n\nBok AB trójkąta ABC jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie, zatem trójkąt ABC jest\nprostokątny, a kąt ACB jest prosty. Wobec tego proste AC i SD są równoległe.Stąd z kolei\nwynika, że kąty naprzemianległe SDA i CAD są równe, czyli α\nβ\n. To kończy dowód,\nSchemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.,\ngdy\n• skorzysta z faktu, że symetralna jest zbiorem punktów równoodległych od końców\nodcinka, którego jest symetralną i zapisze, że łuki BD i CD mają taką samą długość\nalbo\n• uzasadni, że kąty ABC i BSD mają tę samą miarę\nalbo\n• uzasadni, że proste AC i SD są równoległe\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.,\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom podstawowy","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Bok AB jest średnicą, a punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Punkt D leży
na tym okręgu, a odcinek SD zawarty jest w symetralnej boku BC trójkąta (zobacz rysunek).
Wykaż, że odcinek AD jest zawarty w dwusiecznej kąta CAB.

\n

MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Bok AB jest średnicą, a punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Punkt D leży
na tym okręgu, a prosta SD jest symetralną boku BC trójkąta (zobacz rysunek).
Wykaż, że odcinek AD jest zawarty w dwusiecznej kąta CAB.
Zadanie 29. (0-2)
Rozwiązanie (I sposób)
Punkt D leży na symetralnej odcinka BC, zatem odcinki DC i DB mają równe długości. Stąd
wynika, że łuki DC i DB mają równe długości. Kąty CAD i BAD są kątami wpisanymi w okrąg,
opartymi na łukach równej długości. Zatem kąty te mają równe miary, czyli odcinek AD jest
zawarty w dwusiecznej kąta CAB.
Rozwiązanie (II sposób)
Bok AB trójkąta jest średnicą okręgu, zatem trójkąt ABC jest prostokątny, a kąt BCA jest prosty.
Oznaczmy przez K punkt przecięcia odcinków SD i BC.
Kąt BKS jest prosty, jako kąt wyznaczony przez symetralną odcinka BC. Kąt CBA jest
wspólnym kątem wewnętrznym trójkątów ABC i SBK. Jako trójkąty prostokątne, mające
wspólny kąt wewnętrzny, trójkąty ABC i SBK są trójkątami podobnymi.
Zatem kąt BSK ma miarę α. Stąd wynika, że kąt rozwarty ASK ma miarę 180
α
°-
Κąt DAS, jako jeden z dwóch równych kątów w trójkącie równoramiennym ADS, ma miarę
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom podstawowy
(
)
180
180
2
2
α
α
°-
°-
Zatem kąt DAS stanowi połowę kąta CAB, czyli odcinek AD jest dwusieczną kata CAB.
Rozwiązanie (III sposób)
Niech
BAD
α = 
i
CAD
β = 
. Oznaczmy przez E punkt przecięcia odcinków AD i BC.
Trójkąt ASD jest równoramienny, więc
SAD
SDA
α


Bok AB trójkąta ABC jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie, zatem trójkąt ABC jest
prostokątny, a kąt ACB jest prosty. Wobec tego proste AC i SD są równoległe.Stąd z kolei
wynika, że kąty naprzemianległe SDA i CAD są równe, czyli α
β
. To kończy dowód,
Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.,
gdy
• skorzysta z faktu, że symetralna jest zbiorem punktów równoodległych od końców
odcinka, którego jest symetralną i zapisze, że łuki BD i CD mają taką samą długość
albo
• uzasadni, że kąty ABC i BSD mają tę samą miarę
albo
• uzasadni, że proste AC i SD są równoległe
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.,
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom podstawowy

","solutions":[]}