{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nDany jest trzywyrazowy ciąg (\n)\n2, 4\n2,\n11\nx\nx\nx\n. Oblicz te wszystkie wartości x, dla których\nten ciąg jest geometryczny.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nDany jest trzywyrazowy ciąg (\n)\n2,4\n2,\n11\nx\nx\nx\n. Oblicz te wszystkie wartości x, dla których\nciąg ten jest geometryczny.\nZadanie 30. (0-2)\nRozwiązanie (I sposób)\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie\n(\n)\n(\n)(\n)\n2\n4\n2\n2\n11\nx\nx\nx\n,\n2\n2\n16\n16\n4\n13\n22\nx\nx\nx\nx\n,\n2\n15\n3\n18\n0\nx\nx\n,\n2\n5\n6\n0\nx\nx\n,\n(\n)(\n)\n1 5\n6\n0\nx\nx\n,\n1\nx\nlub\n6\n5\nx = -\nDla\n1\nx\notrzymujemy ciąg (\n)\n3,6,12 geometryczny o ilorazie 2, zaś dla\n6\n5\nx = -\notrzymujemy ciąg (\n)\n49\n4\n14\n5\n5\n5\n,\n,\ngeometryczny o ilorazie\n7\n2\nOdp. Dla\n1\nx\noraz dla\n6\n5\nx = -\notrzymujemy ciąg geometryczny.\nRozwiązanie (II sposób)\nNiech q oznacza iloraz ciągu geometrycznego. Wtedy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu\ngeometrycznego otrzymujemy układ równań\n(\n)\n4\n2\n2\nx\nx\nq\ni\n(\n)\n2\n11\n2\nx\nx\nq\nZauważmy, że dla\n2\nx = - otrzymujemy ciąg (\n)\n0, 6,9\n, który nie jest geometryczny. Zatem\n2\nx ≠-. Wtedy mamy\n4\n2\n2\nx\nq\nx\ni\n(\n) (\n)\n2\n4\n2\n2\n11\n2\nx\nx\nx\nx\n⋅\nStąd\n2\n(4\n2)\n2\n11\nx\nx\nx\n,\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\n2\n11\n4\n2\nx\nx\nx\n,\n2\n2\n16\n16\n4\n13\n22\nx\nx\nx\nx\n,\n2\n15\n3\n18\n0\nx\nx\n,\n2\n5\n6\n0\nx\nx\n,\n(\n)(\n)\n1 5\n6\n0\nx\nx\n,\n1\nx\nlub\n6\n5\nx = -\nDla\n1\nx\notrzymujemy ciąg (\n)\n3,6,12 geometryczny o ilorazie 2, zaś dla\n6\n5\nx = -\notrzymujemy ciąg (\n)\n49\n4\n14\n5\n5\n5\n,\n,\ngeometryczny o ilorazie\n7\n2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom podstawowy\nOdp. Dla\n1\nx\noraz dla\n6\n5\nx = -\notrzymujemy ciąg geometryczny.\nSchemat oceniania rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze\nrównanie z niewiadomą x wynikające z własności ciągu geometrycznego, np.:\n(\n)\n(\n)(\n)\n2\n4\n2\n2\n11\nx\nx\nx\nalbo\n• układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, z których jedną z niewiadomych jest\nx, np.:\n(\n)\n4\n2\n2\nx\nx\nq\ni\n(\n)\n2\n11\n2\nx\nx\nq\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy wszystkie wartości x:\n1\nx\n,\n6\n5\nx = -\nUwagi\n1. Jeżeli zdający odgadnie jedną z szukanych wartości\n1\nx\ni zapisze dla tej wartości ciąg\ngeometryczny (\n)\n3, 6,12 , to otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeśli zdający zapisze warunek w postaci ilorazowej, ale nie zapisze warunków\n2\nx ≠-,\n1\n2\nx ≠-\ni rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"$x=1$ lub $x=-\\dfrac{6}{5}$","image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Dany jest trzywyrazowy ciąg (
)
2, 4
2,
11
x
x
x
. Oblicz te wszystkie wartości x, dla których
ten ciąg jest geometryczny.
Odpowiedź:

\n

MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Dany jest trzywyrazowy ciąg (
)
2,4
2,
11
x
x
x
. Oblicz te wszystkie wartości x, dla których
ciąg ten jest geometryczny.
Zadanie 30. (0-2)
Rozwiązanie (I sposób)
Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie
(
)
(
)(
)
2
4
2
2
11
x
x
x
,
2
2
16
16
4
13
22
x
x
x
x
,
2
15
3
18
0
x
x
,
2
5
6
0
x
x
,
(
)(
)
1 5
6
0
x
x
,
1
x
lub
6
5
x = -
Dla
1
x
otrzymujemy ciąg (
)
3,6,12 geometryczny o ilorazie 2, zaś dla
6
5
x = -
otrzymujemy ciąg (
)
49
4
14
5
5
5
,
,
geometryczny o ilorazie
7
2
Odp. Dla
1
x
oraz dla
6
5
x = -
otrzymujemy ciąg geometryczny.
Rozwiązanie (II sposób)
Niech q oznacza iloraz ciągu geometrycznego. Wtedy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu
geometrycznego otrzymujemy układ równań
(
)
4
2
2
x
x
q
i
(
)
2
11
2
x
x
q
Zauważmy, że dla
2
x = - otrzymujemy ciąg (
)
0, 6,9
, który nie jest geometryczny. Zatem
2
x ≠-. Wtedy mamy
4
2
2
x
q
x
i
(
) (
)
2
4
2
2
11
2
x
x
x
x
⋅
Stąd
2
(4
2)
2
11
x
x
x
,
(
)(
)
(
)
2
2
11
4
2
x
x
x
,
2
2
16
16
4
13
22
x
x
x
x
,
2
15
3
18
0
x
x
,
2
5
6
0
x
x
,
(
)(
)
1 5
6
0
x
x
,
1
x
lub
6
5
x = -
Dla
1
x
otrzymujemy ciąg (
)
3,6,12 geometryczny o ilorazie 2, zaś dla
6
5
x = -
otrzymujemy ciąg (
)
49
4
14
5
5
5
,
,
geometryczny o ilorazie
7
2
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom podstawowy
Odp. Dla
1
x
oraz dla
6
5
x = -
otrzymujemy ciąg geometryczny.
Schemat oceniania rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze
równanie z niewiadomą x wynikające z własności ciągu geometrycznego, np.:
(
)
(
)(
)
2
4
2
2
11
x
x
x
albo
• układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, z których jedną z niewiadomych jest
x, np.:
(
)
4
2
2
x
x
q
i
(
)
2
11
2
x
x
q
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy wszystkie wartości x:
1
x
,
6
5
x = -
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający odgadnie jedną z szukanych wartości
\n

1
x
i zapisze dla tej wartości ciąg
geometryczny (
)
3, 6,12 , to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeśli zdający zapisze warunek w postaci ilorazowej, ale nie zapisze warunków
\n

2
x ≠-,
1
2
x ≠-
i rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x=1$ lub $x=-\\dfrac{6}{5}$

"}]}