{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nPunkty\n,\n,\ni\nsą wierzchołkami czworokąta ABCD.\nOblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.\n(\n)\n1, 1\nA =\n(\n)\n6,1\nB =\n(\n)\n7,5\nC =\n(\n)\n2,4\nD =\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nPunkty\n,\n,\ni\nsą wierzchołkami czworokąta ABCD.\nOblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.\nRozwiązanie\nNiech M oznacza punkt przecięcia przekątnych czworokąta ABCD.\nWspółczynnik kierunkowy prostej BD jest równy\n4 1\n3\n2\n6\n4\nBD\na\nPunkt D należy do prostej BD o równaniu\n3\n4\ny\nx\nb\nZatem\n3\n4\n2\n4\nb\n⋅+\nCzyli\n11\n2\nb =\nProsta BD ma równanie:\nWspółczynnik kierunkowy prostej AC jest równy\n5 1\n1\n7 1\nAC\na\nPunkt A należy do prostej AC o równaniu y\nx\nb\n(\n)\n1, 1\nA =\n(\n)\n6,1\nB =\n(\n)\n7,5\nC =\n(\n)\n2,4\nD =\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\ny\n0\nx\nA\nC\nM\nB\nD\n3\n11\n4\n2\ny\nx\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom podstawowy\nZatem 1 1 b\nCzyli\n2\nb = -.\nProsta AC ma równanie:\n2\ny\nx\nPunkt M jest punktem przecięcia prostych AC i BD, więc jego współrzędne obliczymy,\nrozwiązując układ równań\ni\nStąd otrzymujemy\n3\n11\n2\n4\n2\nx\nx\n,\n,\nZatem\n, czyli\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej BD:\nalbo\n• obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej AC:\n1\n1\na =\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze równanie prostej BD, np.:\nalbo\n• zapisze równanie prostej AC, np.:\n2\ny\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie prostej BD i równanie prostej AC, np :\ni\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworokąta:\nUwaga\nJeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i popełnia jedynie błędy rachunkowe,\nto może otrzymać 3 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozważanego zagadnienia na\nżadnym etapie rozwiązania.\n2\ny\nx\n3\n11\n4\n2\ny\nx\n7\n15\n4\n2\nx =\n30\n2\n7\n7\n4\nx =\n2\n2\n7\n7\n4\n2\n2\ny =\n(\n)\n2\n2\n7\n7\n4\n,2\nM =\n3\n4\na = -\n3\n11\n4\n2\ny\nx\n2\ny\nx\n3\n11\n4\n2\ny\nx\n(\n)\n2\n2\n7\n7\n4\n,2\nM =\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom podstawowy\nZadanie 32. (0-4)","solution":"$M = \\left(4\\dfrac{2}{7}, 2\\dfrac{2}{7}\\right)$","image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (0-4)
Punkty
,
,
i
są wierzchołkami czworokąta ABCD.
Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.
(
)
1, 1
A =
(
)
6,1
B =
(
)
7,5
C =
(
)
2,4
D =

\n

MMA_1P
Odpowiedź:

\n

MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-4)
Punkty
,
,
i
są wierzchołkami czworokąta ABCD.
Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.
Rozwiązanie
Niech M oznacza punkt przecięcia przekątnych czworokąta ABCD.
Współczynnik kierunkowy prostej BD jest równy
4 1
3
2
6
4
BD
a
Punkt D należy do prostej BD o równaniu
3
4
y
x
b
Zatem
3
4
2
4
b
⋅+
Czyli
11
2
b =
Prosta BD ma równanie:
Współczynnik kierunkowy prostej AC jest równy
5 1
1
7 1
AC
a
Punkt A należy do prostej AC o równaniu y
x
b
(
)
1, 1
A =
(
)
6,1
B =
(
)
7,5
C =
(
)
2,4
D =
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-2
-1
1
2
3
4
5
6
y
0
x
A
C
M
B
D
3
11
4
2
y
x
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom podstawowy
Zatem 1 1 b
Czyli
2
b = -.
Prosta AC ma równanie:
2
y
x
Punkt M jest punktem przecięcia prostych AC i BD, więc jego współrzędne obliczymy,
rozwiązując układ równań
i
Stąd otrzymujemy
3
11
2
4
2
x
x
,
,
Zatem
, czyli
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
• obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej BD:
albo
• obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej AC:
1
1
a =
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• zapisze równanie prostej BD, np.:
albo
• zapisze równanie prostej AC, np.:
2
y
x
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze równanie prostej BD i równanie prostej AC, np :
i
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworokąta:
Uwaga
Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i popełnia jedynie błędy rachunkowe,
to może otrzymać 3 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozważanego zagadnienia na
żadnym etapie rozwiązania.
2
y
x
3
11
4
2
y
x
7
15
4
2
x =
30
2
7
7
4
x =
2
2
7
7
4
2
2
y =
(
)
2
2
7
7
4
,2
M =
3
4
a = -
3
11
4
2
y
x
2
y
x
3
11
4
2
y
x
(
)
2
2
7
7
4
,2
M =
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom podstawowy
Zadanie 32. (0-4)

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$M = \\left(4\\dfrac{2}{7}, 2\\dfrac{2}{7}\\right)$

"}]}