{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-5)\nW ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym ABCDEFS, którego krawędź podstawy a ma\ndługość 8 (zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem\n°\n= 60\nα\n. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego\nostrosłupa.\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nS\nP\na=8\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nW ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym, którego krawędź podstawy ma długość 8, ściana\nboczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy po kątem\n°\n= 60\nα\n. Oblicz cosinus kąta między\nkrawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.\nZadanie 34. (0-5)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom podstawowy\nRozwiązanie\nWprowadzamy oznaczenia jak na rysunku.\nOdcinek PR jest wysokością trójkąta równobocznego o boku\n8\na =\n, zatem\n2\n3\n8\n2\n3\na\nPR\n3\n4\nZ trójkąta prostokątnego SPR , w którym kąty mają miary\n°\n90 ,\n°\n60 ,\n°\n30 , obliczamy długość\nodcinka SR , np.\n°\n60\ncos\nSR\nPR\n. Zatem\n3\n8\nSR\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta SRB , który jest prostokątny, obliczamy długość\nkrawędzi bocznej.\n2\n2\n2\nRB\nSR\nSB\n(\n)\n2\n2\n2\n4\n3\n8\nSB\n16\n192\n2\nSB\n208\n2 =\nSB\nZatem\n13\n4\n208 =\nSB\nZ trójkąta SPB , który jest prostokątny, otrzymujemy\nSB\nBP\nβ\ncos\n13\n4\n8\n= 13\n13\n2\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• prawidłowo zaznaczy na rysunku kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny\npodstawy\nalbo\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nS\nP\na=8\nR\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom podstawowy\n• obliczy długość odcinka\n2\n3\n8\n2\n3\na\nPR\n3\n4\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• obliczy wysokość ściany bocznej (długość odcinka SR , np.\n°\n60\ncos\nSR\nPR\n):\n3\n8\nSR\nalbo\n• obliczy wysokość ostrosłupa (długość odcinka SP , np.\ntg60\nSP\nRP =\n° ):\n12\nSP\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy długość krawędzi bocznej ostrosłupa\n13\n4\n208 =\nSB\nalbo\n• zapisze, że\n2\n1 cos\ntg\ncos\nβ\nβ\nβ\n, gdzie β jest kątem między krawędzią boczną i\npłaszczyzną podstawy\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający obliczy długość krawędzi bocznej ostrosłupa\n13\n4\n208 =\nSB\nRozwiązanie pełne, ale z usterkami 4 p.\nRozwiązanie pełne 5 p\nZdający\n• zaznaczy kąt między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy i obliczy cosinus tego\nkąta\n13\n13\n2\ncos\nβ\nalbo\n• prawidłowo opisze stosunek odpowiednich boków w trójkącie SPB\n∆\n,\nSB\nBP\nβ\ncos\n13\n4\n8\n= 13\n13\n2\nUwaga\nJeżeli uczeń rozważa graniastosłup lub w ostrosłupie błędnie interpretuje kąty otrzymuje\n0 punktów.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom podstawowy","solution":"$\\dfrac{2\\sqrt{13}}{13}$","image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 34. (0-5)<br>W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym ABCDEFS, którego krawędź podstawy a ma<br>długość 8 (zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem<br>°<br>= 60<br>α<br>. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego<br>ostrosłupa.<br>A<br>B<br>C<br>D<br>E<br>F<br>S<br>P<br>a=8</p>\n<p>MMA_1P<br>Odpowiedź:</p>\n<p>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 34. (0-5)<br>W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym, którego krawędź podstawy ma długość 8, ściana<br>boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy po kątem<br>°<br>= 60<br>α<br>. Oblicz cosinus kąta między<br>krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.<br>Zadanie 34. (0-5)<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>poziom podstawowy<br>Rozwiązanie<br>Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku.<br>Odcinek PR jest wysokością trójkąta równobocznego o boku<br>8<br>a =<br>, zatem<br>2<br>3<br>8<br>2<br>3<br>a<br>PR<br>3<br>4<br>Z trójkąta prostokątnego SPR , w którym kąty mają miary<br>°<br>90 ,<br>°<br>60 ,<br>°<br>30 , obliczamy długość<br>odcinka SR , np.<br>°<br>60<br>cos<br>SR<br>PR<br>. Zatem<br>3<br>8<br>SR<br>Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta SRB , który jest prostokątny, obliczamy długość<br>krawędzi bocznej.<br>2<br>2<br>2<br>RB<br>SR<br>SB<br>(<br>)<br>2<br>2<br>2<br>4<br>3<br>8<br>SB<br>16<br>192<br>2<br>SB<br>208<br>2 =<br>SB<br>Zatem<br>13<br>4<br>208 =<br>SB<br>Z trójkąta SPB , który jest prostokątny, otrzymujemy<br>SB<br>BP<br>β<br>cos<br>13<br>4<br>8<br>= 13<br>13<br>2<br>Schemat oceniania<br>Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego<br>rozwiązania 1 p.<br>Zdający<br>• prawidłowo zaznaczy na rysunku kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny<br>podstawy<br>albo<br>A<br>B<br>C<br>D<br>E<br>F<br>S<br>P<br>a=8<br>R<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>poziom podstawowy<br>• obliczy długość odcinka<br>2<br>3<br>8<br>2<br>3<br>a<br>PR<br>3<br>4<br>Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.<br>Zdający<br>• obliczy wysokość ściany bocznej (długość odcinka SR , np.<br>°<br>60<br>cos<br>SR<br>PR<br>):<br>3<br>8<br>SR<br>albo<br>• obliczy wysokość ostrosłupa (długość odcinka SP , np.<br>tg60<br>SP<br>RP =<br>° ):<br>12<br>SP<br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.<br>Zdający<br>• obliczy długość krawędzi bocznej ostrosłupa<br>13<br>4<br>208 =<br>SB<br>albo<br>• zapisze, że<br>2<br>1 cos<br>tg<br>cos<br>β<br>β<br>β<br>, gdzie β jest kątem między krawędzią boczną i<br>płaszczyzną podstawy<br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Zdający obliczy długość krawędzi bocznej ostrosłupa<br>13<br>4<br>208 =<br>SB<br>Rozwiązanie pełne, ale z usterkami 4 p.<br>Rozwiązanie pełne 5 p<br>Zdający<br>• zaznaczy kąt między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy i obliczy cosinus tego<br>kąta<br>13<br>13<br>2<br>cos<br>β<br>albo<br>• prawidłowo opisze stosunek odpowiednich boków w trójkącie SPB<br>∆<br>,<br>SB<br>BP<br>β<br>cos<br>13<br>4<br>8<br>= 13<br>13<br>2<br>Uwaga<br>Jeżeli uczeń rozważa graniastosłup lub w ostrosłupie błędnie interpretuje kąty otrzymuje<br>0 punktów.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>poziom podstawowy</p>","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$\\dfrac{2\\sqrt{13}}{13}$</p>"}]}