{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nDla pewnych liczb rzeczywistych\n1\na >\n,\n1\nb> i\n1\n>\nN\njest spełniona równość\n(\n)\n2\n3\nlog\nlog\nlog\n20\n⋅\na\nb\na b N\nN\nN .\nWyznacz wszystkie wartości wyrażenia log a b .\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nDla pewnych liczb rzeczywistych\n1\na > ,\n1\nb > i\n1\n>\nN\njest spełniona równość\n(\n)\n2\n3\nlog\nlog\nlog\n20\n⋅\na\nb\na b N\nN\nN .\nWyznacz wszystkie wartości wyrażenia loga b .\nRozwiązanie\nWprowadzamy jednakową podstawę a dla logarytmów i otrzymujemy:\n(\n)\n2\n20log\nlog\n3 log\nlog\nlog\n\n\n\n\n\n\na\na\na\na\na\nN\nN\nN\nb\na b\nPonieważ log\n0\n≠\na N\n, więc powyższa równość jest równoważna równości\n20\n3\n3\n2\nlog\nlog\na\na\nb\nb\nZapisujemy zatem kolejno:\n(\n)\n(\n)\n20log\n3log\n2\nlog\n3 2\nlog\na\na\na\na\nb\nb\nb\nb\n(\n)\n2\n3 log\n11log\n6\n0\na\na\nb\nb\nTo równanie ma dwa rozwiązania log\n3\na b\nlub\n2\nlog\n3\na b =\n, będące poszukiwanymi\nwartościami wyrażenia loga b.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania\n1p.\nZdający zapisze podaną równość w postaci\n(\n)\n2\n20log\nlog\n3 log\nlog\nlog\n\n\n\n\n\n\na\na\na\na\na\nN\nN\nN\nb\na b\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2p.\nZdający zapisze równanie wymierne z niewiadomą loga b.\n20\n3\n3\n2\nlog\nlog\na\na\nb\nb\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności\nzadania 3p.\nZdający przekształci powyższe równanie do postaci równania kwadratowego, np.\n(\n)\n(\n)\n20log\n3log\n2\nlog\n3 2\nlog\na\na\na\na\nb\nb\nb\nb\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie\npełne 4p.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nZdający rozwiąże powyższe równanie i zapisze, że szukane wyrażenie przyjmuje dwie\nwartości:\nlog\n3\na b\nlub\n2\nlog\n3\na b =\nUwagi:\n1. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:\n3\n2\nlogb a =\nlub\n1\n3\nlogb a =\n2. Jeśli zdający pominie kwadrat w wyrażeniu\n2\nloga b N i rozwiąże zadanie\nkonsekwentnie do końca, otrzymując odpowiedź:\n19\n3\nloga b =\n, to otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeśli zdający korzysta w rozwiązaniu z fałszywych równości, np.\n2\n1\n2\nlog\nlog\nab\na b N\nN ,\nto otrzymuje 0 punktów, chyba że wcześniej nabył praw do 1 punktu.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony","solution":"$\\log_a b=3$ lub $\\log_a b=\\dfrac{2}{3}$","image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Dla pewnych liczb rzeczywistych
1
a >
,
1
b> i
1

\n
\n

N
jest spełniona równość
(
)
2
3
log
log
log
20
⋅
a
b
a b N
N
N .
Wyznacz wszystkie wartości wyrażenia log a b .

\n

MMA_1R
Odpowiedź:

\n

MMA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Dla pewnych liczb rzeczywistych
1
a > ,
1
b > i
1

\n
\n

N
jest spełniona równość
(
)
2
3
log
log
log
20
⋅
a
b
a b N
N
N .
Wyznacz wszystkie wartości wyrażenia loga b .
Rozwiązanie
Wprowadzamy jednakową podstawę a dla logarytmów i otrzymujemy:
(
)
2
20log
log
3 log
log
log






a
a
a
a
a
N
N
N
b
a b
Ponieważ log
0
≠
a N
, więc powyższa równość jest równoważna równości
20
3
3
2
log
log
a
a
b
b
Zapisujemy zatem kolejno:
(
)
(
)
20log
3log
2
log
3 2
log
a
a
a
a
b
b
b
b
(
)
2
3 log
11log
6
0
a
a
b
b
To równanie ma dwa rozwiązania log
3
a b
lub
2
log
3
a b =
, będące poszukiwanymi
wartościami wyrażenia loga b.
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania
1p.
Zdający zapisze podaną równość w postaci
(
)
2
20log
log
3 log
log
log






a
a
a
a
a
N
N
N
b
a b
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
2p.
Zdający zapisze równanie wymierne z niewiadomą loga b.
20
3
3
2
log
log
a
a
b
b
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności
zadania 3p.
Zdający przekształci powyższe równanie do postaci równania kwadratowego, np.
(
)
(
)
20log
3log
2
log
3 2
log
a
a
a
a
b
b
b
b
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie
pełne 4p.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
Zdający rozwiąże powyższe równanie i zapisze, że szukane wyrażenie przyjmuje dwie
wartości:
log
3
a b
lub
2
log
3
a b =
Uwagi:

\n
  1. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:
\n

3
2
logb a =
lub
1
3
logb a =

\n
  1. Jeśli zdający pominie kwadrat w wyrażeniu
\n

2
loga b N i rozwiąże zadanie
konsekwentnie do końca, otrzymując odpowiedź:
19
3
loga b =
, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający korzysta w rozwiązaniu z fałszywych równości, np.
\n

2
1
2
log
log
ab
a b N
N ,
to otrzymuje 0 punktów, chyba że wcześniej nabył praw do 1 punktu.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\log_a b=3$ lub $\\log_a b=\\dfrac{2}{3}$

"}]}