{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których nierówność\n(\n)\n2\n2\n4\n5\n2\n2\n2\nm\nm\nx\nx\nmx\n⋅\n>\njest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x .\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których nierówność\n(\n)\n2\n2\n4\n5\n2\n2\n2\nm\nm\nx\nx\nmx\n⋅\n>\njest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x.\nRozwiązanie\nZapiszemy nierówność w następującej postaci\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n5\n2\n1\n2\n0\nm\nm\nx\nx\nm\n⋅\n>\nZauważamy, że\n(\n)(\n)\n2\n4\n5\n1\n5\nm\nm\nm\nm\n. Wynika stąd, że należy rozważyć dwie\nsytuacje:\nnierówność liniowa\n1) Jeśli\n1\nm = , to otrzymujemy nierówność 2\n0\n>\n, która jest prawdziwa dla każdej liczby\nrzeczywistej x.\n2) Jeśli\n5\nm = -, to otrzymujemy nierówność 12\n2\n0\nx +\n>\n, która jest prawdziwa dla\nkażdej liczby rzeczywistej\n1\n6\nx > -\nnierówność kwadratowa\n3)\nJeśli\n1\nm ≠ i\n5\nm ≠-, to należy sprawdzić, kiedy zachodzą jednocześnie dwie\nnierówności:\n0\na >\ni\n0\n∆<\n,\ngdzie\n(\n)(\n)\n1\n5\na\nm\nm\njest współczynnikiem trójmianu\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n5\n2\n1\n2\nm\nm\nx\nx\nm\n⋅\nprzy najwyższej potędze zmiennej x, zaś\n2\n4\nb\nac\n∆=\njest wyróżnikiem tego trójmianu. Zapisujemy kolejno:\n(\n)(\n)\n1\n5\n0\n5 lub\n1\nm\nm\nm\nm\n>\n⇔\n< -\n> .\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)\n2\n2\n4 1\n4\n1\n5\n2\n4\n1\n8\n1\n5\n4\n1\n11\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\n∆=\n⋅\n(\n)(\n)\n4\n1\n11\n0\n11 lub\n1\nm\nm\nm\nm\n<\n⇔\n< -\n> .\nZatem nierówności\n0\na >\ni\n0\n∆<\nzachodzą jednocześnie dla\n11 lub\n1\nm\nm\n< -\n> .\nŁącząc wyniki z punktów 1) i 3), otrzymujemy odpowiedź ostateczną:\n11 lub\n1\nm\nm\n< -\n≥.\nSchemat punktowania\nSkłada się on z dwóch części.\nPierwsza, to rozpatrzenie przypadku nierówności liniowej. Zdający może za tę część\notrzymać maksymalnie 2 punkty.\nDruga, to rozpatrzenie przypadku nierówności kwadratowej. Zdający może za tę część\notrzymać maksymalnie 3 punkty.\nSchemat punktowania części pierwszej\n1 punkt przyznajemy zdającemu, który zauważy i zapisze, że dla\n1\nm = albo dla\n5\nm = -\npodana nierówność jest liniowa i poprawnie zbada jeden z tych przypadków.\n2 punkty przyznajemy zdającemu, który poprawnie określi, że dla\n1\nm = nierówność jest\nprawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x, zaś dla\n5\nm = - tak nie jest.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nSchemat punktowania części drugiej\n1 punkt przyznajemy zdającemu, który zapisze, że nierówność kwadratowa jest prawdziwa\ndla każdej liczby rzeczywistej x wtedy, gdy parametr m spełnia układ nierówności\n2\n4\n5\n0\nm\nm\n>\ni\n0\n∆<\nalbo\n2\n4\n5\n0\nm\nm\n>\ni\n0\nW\ny\n>\n, gdzie\n4\nW\ny\na\n∆\n2 punkty przyznajemy zdającemu, który poprawnie rozwiąże jedną z dwóch nierówności\n2\n4\n5\n0\nm\nm\n>\n, czyli (\n)(\n)\n1\n5\n0\n5 lub\n1\nm\nm\nm\nm\n>\n⇔\n< -\n>\nlub\n(\n)(\n)\n4\n1\n11\n0\nm\nm\n∆= -\n<\n(\n)(\n)\n4\n1\n11\n0\n11 lub\n1\nm\nm\nm\nm\n<\n⇔\n< -\n>\n3 punkty przyznajemy zdającemu, który poprawnie rozwiąże obie nierówności\n0\na >\ni\n0\n∆<\noraz\nzapisze końcową odpowiedź do zadania: Dla\n11 lub\n1\nm\nm\n< -\n≥ podana\nnierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x.\nUwagi:\n1. Jeśli zdający w części drugiej rozwiązania zapisze jedynie nierówność\n0\n∆<\ni nawet\nbezbłędnie tę nierówność rozwiąże, to za tę część otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeśli zdający zapisze w drugiej części rozwiązania układ nierówności\n2\n4\n5\n0\nm\nm\n≠\ni\n0\n∆<\n,\na następnie konsekwentnie rozwiąże ten układ do końca, to za drugą część rozwiązania\nmoże otrzymać maksymalnie 1 punkt.\n3. Jeśli zdający w części drugiej rozwiązania zapisze układ nierówności\n2\n4\n5\n0\nm\nm\n>\ni\n0\n∆>\n,\na następnie nawet bezbłędnie ten układ rozwiąże, to za tę część otrzymuje 0 punktów.\nJeśli zdający zapisze w części drugiej rozwiązania układ nierówności\n2\n4\n5\n0\nm\nm\n>\ni\n0\n∆≤\n,\ni konsekwentnie rozwiąże tę część do końca, to za tę część może otrzymać\nmaksymalnie\n2 punkty.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony","solution":"$m \\in (-\\infty, -11) \\cup [1, +\\infty)$","image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-5)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których nierówność
(
)
2
2
4
5
2
2
2
m
m
x
x
mx
⋅

\n
\n

jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x .

\n

MMA_1R
Odpowiedź:

\n

MMA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-5)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których nierówność
(
)
2
2
4
5
2
2
2
m
m
x
x
mx
⋅

\n
\n

jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x.
Rozwiązanie
Zapiszemy nierówność w następującej postaci
(
)
(
)
2
2
4
5
2
1
2
0
m
m
x
x
m
⋅

\n
\n

Zauważamy, że
(
)(
)
2
4
5
1
5
m
m
m
m
. Wynika stąd, że należy rozważyć dwie
sytuacje:
nierówność liniowa

\n
  1. Jeśli
\n

1
m = , to otrzymujemy nierówność 2
0

\n
\n

, która jest prawdziwa dla każdej liczby
rzeczywistej x.

\n
  1. Jeśli
\n

5
m = -, to otrzymujemy nierówność 12
2
0
x +

\n
\n

, która jest prawdziwa dla
każdej liczby rzeczywistej
1
6
x > -
nierówność kwadratowa
3)
Jeśli
1
m ≠ i
5
m ≠-, to należy sprawdzić, kiedy zachodzą jednocześnie dwie
nierówności:
0
a >
i
0
∆<
,
gdzie
(
)(
)
1
5
a
m
m
jest współczynnikiem trójmianu
(
)
(
)
2
2
4
5
2
1
2
m
m
x
x
m
⋅
przy najwyższej potędze zmiennej x, zaś
2
4
b
ac
∆=
jest wyróżnikiem tego trójmianu. Zapisujemy kolejno:
(
)(
)
1
5
0
5 lub
1
m
m
m
m

\n
\n

⇔
< -

\n
.
\n

(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)(
)
2
2
4 1
4
1
5
2
4
1
8
1
5
4
1
11
m
m
m
m
m
m
m
m
∆=
⋅
(
)(
)
4
1
11
0
11 lub
1
m
m
m
m
<
⇔
< -

\n
.
\n

Zatem nierówności
0
a >
i
0
∆<
zachodzą jednocześnie dla
11 lub
1
m
m
< -

\n
.
\n

Łącząc wyniki z punktów 1) i 3), otrzymujemy odpowiedź ostateczną:
11 lub
1
m
m
< -
≥.
Schemat punktowania
Składa się on z dwóch części.
Pierwsza, to rozpatrzenie przypadku nierówności liniowej. Zdający może za tę część
otrzymać maksymalnie 2 punkty.
Druga, to rozpatrzenie przypadku nierówności kwadratowej. Zdający może za tę część
otrzymać maksymalnie 3 punkty.
Schemat punktowania części pierwszej
1 punkt przyznajemy zdającemu, który zauważy i zapisze, że dla
1
m = albo dla
5
m = -
podana nierówność jest liniowa i poprawnie zbada jeden z tych przypadków.
2 punkty przyznajemy zdającemu, który poprawnie określi, że dla
1
m = nierówność jest
prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x, zaś dla
5
m = - tak nie jest.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
Schemat punktowania części drugiej
1 punkt przyznajemy zdającemu, który zapisze, że nierówność kwadratowa jest prawdziwa
dla każdej liczby rzeczywistej x wtedy, gdy parametr m spełnia układ nierówności
2
4
5
0
m
m

\n
\n

i
0
∆<
albo
2
4
5
0
m
m

\n
\n

i
0
W
y

\n
\n

, gdzie
4
W
y
a
∆
2 punkty przyznajemy zdającemu, który poprawnie rozwiąże jedną z dwóch nierówności
2
4
5
0
m
m

\n
\n

, czyli (
)(
)
1
5
0
5 lub
1
m
m
m
m

\n
\n

⇔
< -

\n
\n

lub
(
)(
)
4
1
11
0
m
m
∆= -
<
(
)(
)
4
1
11
0
11 lub
1
m
m
m
m
<
⇔
< -

\n
\n

3 punkty przyznajemy zdającemu, który poprawnie rozwiąże obie nierówności
0
a >
i
0
∆<
oraz
zapisze końcową odpowiedź do zadania: Dla
11 lub
1
m
m
< -
≥ podana
nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x.
Uwagi:

\n
  1. Jeśli zdający w części drugiej rozwiązania zapisze jedynie nierówność
\n

0
∆<
i nawet
bezbłędnie tę nierówność rozwiąże, to za tę część otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeśli zdający zapisze w drugiej części rozwiązania układ nierówności
\n

2
4
5
0
m
m
≠
i
0
∆<
,
a następnie konsekwentnie rozwiąże ten układ do końca, to za drugą część rozwiązania
może otrzymać maksymalnie 1 punkt.

\n
  1. Jeśli zdający w części drugiej rozwiązania zapisze układ nierówności
\n

2
4
5
0
m
m

\n
\n

i
0
∆>
,
a następnie nawet bezbłędnie ten układ rozwiąże, to za tę część otrzymuje 0 punktów.
Jeśli zdający zapisze w części drugiej rozwiązania układ nierówności
2
4
5
0
m
m

\n
\n

i
0
∆≤
,
i konsekwentnie rozwiąże tę część do końca, to za tę część może otrzymać
maksymalnie
2 punkty.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$m \\in (-\\infty, -11) \\cup [1, +\\infty)$

"}]}