{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"12","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-6)\nPunkt\n(\n)\n2,6\nA = -\njest wierzchołkiem rombu ABCD o polu równym 82,5. Przekątna BD tego\nrombu zawiera się w prostej l o równaniu 2\n5\n0\nx\ny\n. Wyznacz współrzędne pozostałych\nwierzchołków tego rombu.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-6)\nPunkt\n(\n)\n2,6\nA = -\njest wierzchołkiem rombu ABCD o polu 82,5. Przekątna BD zawiera się\nw prostej l o równaniu 2\n5\n0\nx\ny\n. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego\nrombu.\nRozwiązanie (I sposób)\nWyznaczamy równanie prostej k zawierającej przekątną AC rombu (prosta k jest prostopadła\ndo prostej l, punkt A leży na prostej k.\n1\n:\n5\n2\nk y\nx\nZ układu równań\n2\n5\n1\n5\n2\ny\nx\ny\nx\n\n\nwyznaczamy współrzędne punktu\n(\n)\n4,3\nS =\n(środek\nsymetrii rombu). Punkt S jest jednocześnie środkiem przekątnej AC, co pozwala obliczyć\nwspółrzędne wierzchołka\n(\n)\n10,0\nC =\nObliczamy długość przekątnej\n6 5\nAC =\n, a następnie, wykorzystując informację o polu\nrombu, obliczamy długość drugiej przekątnej.\n1\n82,5\n2\n1 6 5\n82,5\n2\n11 5\n2\nAC\nBD\nBD\nBD\n⋅\n⋅\n⋅\nPunkty B oraz D leżą na okręgu o środku\n(\n)\n4,3\nS =\ni promieniu 1\n11 5\n2\n4\nBD =\noraz na\nprostej l. Wyznaczamy ich współrzędne rozwiązując układ równań\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n121\n4\n3\n5\n16\n2\n5\nx\ny\ny\nx\n\n⋅\n\n\n\nOtrzymujemy punkty\n5\n5\n,\n4\n2\n\n\n\n\n\n\nB\noraz\n27 17\n,\n4\n2\n\n\n= \n\n\n\nD\nUwaga\nDługość odcinka AS można obliczyć również jako odległość punktu A od prostej l.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• wyznaczy równanie prostej\n1\n:\n5\n2\nk y\nx\nalbo\n• wyznaczy\n3 5\nAS =\n, jako odległość punktu A od prostej l .\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy\n• wyznaczy równanie prostej\n1\n:\n5\n2\nk y\nx\noraz obliczy współrzędne punktów\n(\n)\n4,3\nS =\noraz\n(\n)\n10,0\nC =\nalbo\n• wyznaczy\n3 5\nAS =\n, jako odległość punktu A od prostej l oraz obliczy długości\nprzekątnych\n6 5\nAC =\noraz\n11\n5\n2\nBD =\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy wyznaczy równanie prostej\n1\n:\n5\n2\nk y\nx\noraz obliczy współrzędne punktów\n(\n)\n4,3\nS =\noraz\n(\n)\n10,0\nC =\ni długość przekątnej\n11\n5\n2\nBD =\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy zapisze układ równań wystarczający do obliczenia współrzędnych punktów 𝐵𝐵 oraz 𝐷𝐷,\nnp. (\n)\n(\n)\n2\n2\n121\n4\n3\n5\n16\n2\n5\nx\ny\ny\nx\n\n⋅\n\n\n\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy rozwiąże zadanie do końca, popełniając błąd rachunkowy.\nZdający otrzymuje 6 p.\ngdy poprawnie rozwiąże układ równań i poda bezbłędnie odpowiedź\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\n5\n5\n,\n4\n2\n\n\n\n\n\n\nB\n,\n(\n)\n10,0\nC =\n,\n27 17\n,\n4\n2\n\n\n= \n\n\n\nD\nRozwiązanie (II sposób)\nWyznaczamy równanie prostej\n1\n:\n5\n2\nk y\nx\noraz obliczamy współrzędne punktu\n(\n)\n10,0\nC =\n(jak w sposobie I). Zauważamy, że pole trójkąta ABC jest połową pola rombu\nABCD i wynosi\n1\n414 . Wyznaczamy pole trójkąta ABC w zależności od współrzędnych punktu\n(\n)\n,\nB\nB\nB\nx\ny\n6\n3\n30\nABC\nB\nB\nP\ny\nx\n∆\nPunkt B leży na prostej l, więc jego współrzędne spełniają równanie tej prostej.\nRozwiązujemy układ równań\n1\n6\n3\n30\n414\n2\n5\nB\nB\nB\nB\ny\nx\ny\nx\n-\n\n\n\nRozwiązaniami układu są dwie pary liczb 5\n5\n,\n4\n2\n\n\n\n\n\n\noraz 27 17\n,\n4\n2\n\n\n\n\n\n\n. Zauważamy, że takie\nsame warunki spełnia punkt D (pole trójkąta ABD jest połową pola rombu oraz punkt D leży\nna prostej l. Wyciągamy wniosek, że otrzymane pary liczb to współrzędne wierzchołków B\noraz D.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy równanie prostej\n1\n:\n5\n2\nk\ny\nx\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy\nwyznaczy równanie prostej\n1\n:\n5\n2\nk y\nx\noraz obliczy współrzędne punktów\n(\n)\n4,3\nS =\ni\n(\n)\n10,0\nC =\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zauważy, że pole trójkąta ABC jest połową pola rombu ABCD i wynosi\n1\n414 i zapisze\nrównanie\n1\n6\n3\n30\n414\nB\nB\ny\nx\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy zapisze układ równań wystarczający do obliczenia współrzędnych punktów B oraz D\n1\n6\n3\n30\n414\n2\n5\nB\nB\nB\nB\ny\nx\ny\nx\n-\n\n\n\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy rozwiąże zadanie do końca, popełniając błąd rachunkowy.\nZdający otrzymuje 6 p.\ngdy poprawnie rozwiąże układ równań i poda bezbłędnie odpowiedź\n1\n1\n1 , 2\n4\n2\nB\n\n\n\n\n\n\n,\n(\n)\n10,0\nC =\n,\n3\n1\n6\n,8\n4\n2\nD\n\n\n= \n\n\n\nRozwiązanie (III sposób)\nPrzyjmijmy oznaczenie współrzędnych punktu\n(\n)\n,\nC\nC\nC\nx\ny\n. Wyznaczamy współrzędne\nwektora\n[\n]\n2,\n6\nC\nc\nAC\nx\ny\n\nWektor AC\n jest prostopadły do prostej 2\n5\n0\nx\ny\nIstnieje zatem p∈, dla którego\n[\n]\n2 ,\nAC\np\np\n\nObliczamy długość wektora AC\njako podwojoną odległość punktu A od prostej l.\n6 5\nAC =\n\nWtedy (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n6 5\np\np\nstąd\n6\np =\nlub\n6\np = -.\nZatem\n[\n] [\n]\n2,\n6\n12, 6\nC\nC\nx\ny\nlub [\n] [\n]\n2,\n6\n12,6\nC\nC\nx\ny\n(\n)\n(\n)\n1\n2\n10,0 ,\n14,12\nC\nC\nOdrzucamy drugie rozwiązanie (np. na podstawie obserwacji, że środek odcinka\n2\nAC nie leży\nna prostej l. Dalej postępujemy, jak w I lub II sposobie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze\n[\n]\n2 ,\nAC\np\np\n\n,\n[\n]\n2,\n6\nC\nc\nAC\nx\ny\n\noraz obliczy\n6 5\nAC =\n\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy rozwiąże równanie (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n6 5\np\np\n, wyznaczy współrzędne punktu\n(\n)\n1\n10,0\nC =\ni uzasadni odrzucenie drugiego rozwiązania.\nDalszą część rozwiązania oceniamy jak w sposobie I lub II.","solution":"$B=\\left(\\dfrac{5}{4}, -\\dfrac{5}{2}\\right)$, $C=(10, 0)$, $D=\\left(\\dfrac{27}{4}, \\dfrac{17}{2}\\right)$","image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-6)
Punkt
(
)
2,6
A = -
jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu równym 82,5. Przekątna BD tego
rombu zawiera się w prostej l o równaniu 2
5
0
x
y
. Wyznacz współrzędne pozostałych
wierzchołków tego rombu.

\n

MMA_1R
Odpowiedź:

\n

MMA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-6)
Punkt
(
)
2,6
A = -
jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu 82,5. Przekątna BD zawiera się
w prostej l o równaniu 2
5
0
x
y
. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego
rombu.
Rozwiązanie (I sposób)
Wyznaczamy równanie prostej k zawierającej przekątną AC rombu (prosta k jest prostopadła
do prostej l, punkt A leży na prostej k.
1
:
5
2
k y
x
Z układu równań
2
5
1
5
2
y
x
y
x


wyznaczamy współrzędne punktu
(
)
4,3
S =
(środek
symetrii rombu). Punkt S jest jednocześnie środkiem przekątnej AC, co pozwala obliczyć
współrzędne wierzchołka
(
)
10,0
C =
Obliczamy długość przekątnej
6 5
AC =
, a następnie, wykorzystując informację o polu
rombu, obliczamy długość drugiej przekątnej.
1
82,5
2
1 6 5
82,5
2
11 5
2
AC
BD
BD
BD
⋅
⋅
⋅
Punkty B oraz D leżą na okręgu o środku
(
)
4,3
S =
i promieniu 1
11 5
2
4
BD =
oraz na
prostej l. Wyznaczamy ich współrzędne rozwiązując układ równań
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
(
)
(
)
2
2
121
4
3
5
16
2
5
x
y
y
x

⋅



Otrzymujemy punkty
5
5
,
4
2






B
oraz
27 17
,
4
2


= 



D
Uwaga
Długość odcinka AS można obliczyć również jako odległość punktu A od prostej l.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• wyznaczy równanie prostej
1
:
5
2
k y
x
albo
• wyznaczy
3 5
AS =
, jako odległość punktu A od prostej l .
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy
• wyznaczy równanie prostej
1
:
5
2
k y
x
oraz obliczy współrzędne punktów
(
)
4,3
S =
oraz
(
)
10,0
C =
albo
• wyznaczy
3 5
AS =
, jako odległość punktu A od prostej l oraz obliczy długości
przekątnych
6 5
AC =
oraz
11
5
2
BD =
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy wyznaczy równanie prostej
1
:
5
2
k y
x
oraz obliczy współrzędne punktów
(
)
4,3
S =
oraz
(
)
10,0
C =
i długość przekątnej
11
5
2
BD =
Zdający otrzymuje 4 p.
gdy zapisze układ równań wystarczający do obliczenia współrzędnych punktów 𝐵𝐵 oraz 𝐷𝐷,
np. (
)
(
)
2
2
121
4
3
5
16
2
5
x
y
y
x

⋅



Zdający otrzymuje 5 p.
gdy rozwiąże zadanie do końca, popełniając błąd rachunkowy.
Zdający otrzymuje 6 p.
gdy poprawnie rozwiąże układ równań i poda bezbłędnie odpowiedź
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
5
5
,
4
2






B
,
(
)
10,0
C =
,
27 17
,
4
2


= 



D
Rozwiązanie (II sposób)
Wyznaczamy równanie prostej
1
:
5
2
k y
x
oraz obliczamy współrzędne punktu
(
)
10,0
C =
(jak w sposobie I). Zauważamy, że pole trójkąta ABC jest połową pola rombu
ABCD i wynosi
1
414 . Wyznaczamy pole trójkąta ABC w zależności od współrzędnych punktu
(
)
,
B
B
B
x
y
6
3
30
ABC
B
B
P
y
x
∆
Punkt B leży na prostej l, więc jego współrzędne spełniają równanie tej prostej.
Rozwiązujemy układ równań
1
6
3
30
414
2
5
B
B
B
B
y
x
y
x
-



Rozwiązaniami układu są dwie pary liczb 5
5
,
4
2






oraz 27 17
,
4
2






. Zauważamy, że takie
same warunki spełnia punkt D (pole trójkąta ABD jest połową pola rombu oraz punkt D leży
na prostej l. Wyciągamy wniosek, że otrzymane pary liczb to współrzędne wierzchołków B
oraz D.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy wyznaczy równanie prostej
1
:
5
2
k
y
x
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy
wyznaczy równanie prostej
1
:
5
2
k y
x
oraz obliczy współrzędne punktów
(
)
4,3
S =
i
(
)
10,0
C =
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy zauważy, że pole trójkąta ABC jest połową pola rombu ABCD i wynosi
1
414 i zapisze
równanie
1
6
3
30
414
B
B
y
x
Zdający otrzymuje 4 p.
gdy zapisze układ równań wystarczający do obliczenia współrzędnych punktów B oraz D
1
6
3
30
414
2
5
B
B
B
B
y
x
y
x
-



Zdający otrzymuje 5 p.
gdy rozwiąże zadanie do końca, popełniając błąd rachunkowy.
Zdający otrzymuje 6 p.
gdy poprawnie rozwiąże układ równań i poda bezbłędnie odpowiedź
1
1
1 , 2
4
2
B






,
(
)
10,0
C =
,
3
1
6
,8
4
2
D


= 



Rozwiązanie (III sposób)
Przyjmijmy oznaczenie współrzędnych punktu
(
)
,
C
C
C
x
y
. Wyznaczamy współrzędne
wektora
[
]
2,
6
C
c
AC
x
y

Wektor AC
 jest prostopadły do prostej 2
5
0
x
y
Istnieje zatem p∈, dla którego
[
]
2 ,
AC
p
p

Obliczamy długość wektora AC
jako podwojoną odległość punktu A od prostej l.
6 5
AC =

Wtedy (
)
(
)
2
2
2
6 5
p
p
stąd
6
p =
lub
6
p = -.
Zatem
[
] [
]
2,
6
12, 6
C
C
x
y
lub [
] [
]
2,
6
12,6
C
C
x
y
(
)
(
)
1
2
10,0 ,
14,12
C
C
Odrzucamy drugie rozwiązanie (np. na podstawie obserwacji, że środek odcinka
2
AC nie leży
na prostej l. Dalej postępujemy, jak w I lub II sposobie.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze
[
]
2 ,
AC
p
p

,
[
]
2,
6
C
c
AC
x
y

oraz obliczy
6 5
AC =

Zdający otrzymuje 2 p.
gdy rozwiąże równanie (
)
(
)
2
2
2
6 5
p
p
, wyznaczy współrzędne punktu
(
)
1
10,0
C =
i uzasadni odrzucenie drugiego rozwiązania.
Dalszą część rozwiązania oceniamy jak w sposobie I lub II.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$B=\\left(\\dfrac{5}{4}, -\\dfrac{5}{2}\\right)$, $C=(10, 0)$, $D=\\left(\\dfrac{27}{4}, \\dfrac{17}{2}\\right)$

"}]}