Zadanie 14. (0-6)
Dany jest romb ABCD. Przez wierzchołki B i D poprowadzono dwie proste równoległe
przecinające boki CD i AB - odpowiednio - w punktach M i N, tak, że podzieliły one ten romb
na trzy figury AND, NBMD, BCM o równych polach. Ponadto wiadomo, że MB
ND
BD
(zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta ostrego tego rombu.
A
B
C
D
M
N
MMA_1R
Odpowiedź:
MMA_1R
","answer_text_html":"Zadanie 14. (0-6)
Dany jest romb ABCD. Przez wierzchołki B i D poprowadzono dwie proste równoległe
przecinające boki CD i AB - odpowiednio - w punktach M i N, tak, że podzieliły one ten romb
na trzy figury AND, NBMD, BCM o równych polach oraz MB
ND
BD
(zobacz rysunek).
Oblicz cosinus kąta ostrego tego rombu.
Przykładowe sposoby rozwiązania zadania
I sposób
Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.
Przekątna BD dzieli romb ABCD na dwa trójkąty o równych polach, a jednocześnie dzieli
równoległobok BMDN na dwa trójkąty o równych polach. Ponieważ pole tego
równoległoboku jest równe polu trójkąta AND, więc pole trójkąta AND jest dwa razy większe
od pola trójkąta BDN. Trójkąty AND i BDN mają tę samą wysokość opuszczoną
z wierzchołka D, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw, czyli
A
B
C
D
M
N
A
B
C
D
M
N
a
m
m
F
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
2
AN
NB
Zatem
3
a
NB =
Trójkąt NBD jest równoramienny, więc spodek F jego wysokości DF jest środkiem podstawy
NB . Stąd wynika, że
6
a
FB =
, więc
5
6
6
a
AF
a
a
Z trójkąta prostokątnego AFD otrzymujemy
5
6
5
cos
6
AF
a
AD
a
α =
Schemat punktowania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Zdający
• zapisze, że stosunek pól trójkątów AND i BDN jest równy stosunkowi długości ich
podstaw zawartych w prostej AB
albo
• zaznaczy wysokość DF trójkąta NBD i zapisze, że odcinki NF i FB są równe
albo
• zapisze układ równań pozwalający wyznaczyć długość odcinka AN (lub NB)
w zależności od długości boku rombu:
2 sin
ABCD
P
a
α
i
1
sin
2
AND
P
ax
α
i
1
3
AND
ABCD
P
P
, gdzie x
AN
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający wyznaczy długość odcinka AN (lub NB) w zależności od długości boku rombu:
2
3
AN
a
(
1
3
NB
a
).
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający wyznaczy długość odcinka FB w zależności od długości boku rombu lub wykorzysta
definicję cosinusa w trójkącie prostokątnym AFD:
1
6
FB
a
lub cos
AF
AD
α =
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt
Zdający wyznaczy długość odcinka FB w zależności od długości boku rombu i wykorzysta
definicję cosinusa w trójkącie prostokątnym AFD:
1
6
FB
a
i cos
AF
AD
α =
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 pkt
Rozwiązanie pełne 6 pkt
Zdający obliczy cosα :
5
cos
6
α =
II sposób
Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.
Przekątna BD dzieli romb ABCD na dwa trójkąty o równych polach, a jednocześnie dzieli
równoległobok BMDN na dwa trójkąty o równych polach. Ponieważ pole tego
równoległoboku jest równe polu trójkąta AND, więc pole trójkąta AND jest dwa razy większe
od pola trójkąta BDN. Trójkąty AND i BDN mają tę samą wysokość opuszczoną
z wierzchołka D, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw, czyli
2
AN
NB
Zatem
2
3
AN
a
Z twierdzenia cosinusów dla trójkątów ABD i AND otrzymujemy
2
2
2
2
cos
BD
AB
AD
AB
AD
α
⋅
oraz
2
2
2
2
cos
ND
AN
AD
AN
AD
α
⋅
,
czyli
2
2
2
2
cos
m
a
a
a a
α
⋅
oraz
2
2
2
2
2
2
cos
3
3
m
a
a
a a
α
-⋅
⋅
,
(
)
2
2 2
2cos
m
a
α
oraz
2
2 13
4 cos
9
3
m
a
α
Stąd
(
)
2
2 13
4
2
2cos
cos
9
3
a
a
α
α
,
13
4
2
2cos
cos
9
3
α
α
,
2
5
cos
3
9
α =
,
5
cos
6
α =
A
B
C
D
M
N
a
m
m
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
Uwaga
Obliczenie, jaką częścią boku rombu jest odcinek AN, możemy też wykonać, korzystając ze
wzoru na pole trójkąta
1
sin
2
P
ab
γ
. Niech AN
x
. Wtedy pole rombu ABCD jest równe
2 sin
ABCD
P
a
α
,
a pole trójkąta AND jest równe
1
sin
2
AND
P
ax
α
Pole trójkąta AND to jedna trzecia pola rombu, więc
2
1
1
sin
sin
2
3
ax
a
α
α
Stąd
2
3
x
a
Schemat punktowania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Zdający
• zapisze, że stosunek pól trójkątów AND i BDN jest równy stosunkowi długości ich
podstaw zawartych w prostej AB
albo
• zapisze dwa równania wynikające z twierdzenia cosinusów dla trójkątów ABD
i AND:
2
2
2
2
cos
m
a
a
a a
α
⋅
,
2
2
2
2
cos
m
x
a
x a
α
⋅⋅
, gdzie x
AN
albo
• zapisze układ równań pozwalający wyznaczyć długość odcinka AN w zależności od
długości boku rombu:
2 sin
ABCD
P
a
α
i
1
sin
2
AND
P
ax
α
i
1
3
AND
ABCD
P
P
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający wyznaczy długość odcinka AN (lub NB) w zależności od długości boku rombu:
2
3
AN
a
(
1
3
NB
a
).
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający zapisze jedno z równań, które pozwala obliczyć cosinus kąta ostrego rombu:
(
)
2
2 2
2cos
m
a
α
lub
2
2 13
4 cos
9
3
m
a
α
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt
Zdający zapisze układ równań, pozwalający obliczyć cosinus kąta ostrego rombu:
(
)
2
2 2
2cos
m
a
α
oraz
2
2 13
4 cos
9
3
m
a
α
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 pkt
Rozwiązanie pełne 6 pkt
Zdający obliczy cosα :
5
cos
6
α =
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
III sposób
Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.
Przekątna BD dzieli równoległobok BMDN na dwa trójkąty o równych polach. Ponieważ pole
tego równoległoboku to jedna trzecia pola rombu, więc pole trójkąta NBD jest szóstą częścią
pola rombu. Trójkąt NBD jest równoramienny, więc jego wysokość DF dzieli go na dwa
trójkąty przystające. Zatem pole trójkąta FBD jest dwunastą częścią pola rombu.
Przekątne rombu dzielą go na cztery trójkąty przystające, więc pole trójkąta SBA jest czwartą
częścią pola rombu.
Zauważmy teraz, że trójkąty FBD i SBA są podobne, gdyż oba są prostokątne i mają wspólny
kąt ostry przy wierzchołku B. Skala s tego podobieństwa jest równa
DB
m
s
AB
a
Kwadrat skali tego podobieństwa jest równy stosunkowi pól tych trójkątów, czyli
1
2
12
1
4
1
3
ABCD
FBD
SBA
ABCD
P
P
s
P
P
Zatem
2
1
3
m
a
=
,
2
2
1
3
m
a
Stąd
3
a
m =
Z trójkąta SBA otrzymujemy
1
1
2
3
2
1
sin 2
2 3
a
m
a
a
α
⋅
Ze wzoru na cosinus podwojonego kąta mamy więc
2
2
2
2
1
2
5
cos
cos
sin
1
2sin
1
2
1
2
2
2
12
6
2 3
α
α
α
α
⋅
A
B
C
D
M
N
a
m
m
F
S
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
IV sposób
Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.
Przekątna BD dzieli równoległobok BMDN na dwa trójkąty o równych polach oraz romb
ABCD na dwa trójkąty o równych polach. Ponieważ pole tego równoległoboku to jedna
trzecia pola rombu, więc pole trójkąta NBD jest trzecią częścią pola trójkąta BDA. Trójkąty
NBD i BDA są równoramienne i mają ten sam kąt przy wierzchołku B , a jest to kąt przy
podstawie każdego z tych trójkątów, więc trójkąty te są podobne. Skala s tego podobieństwa
jest równa
DB
m
s
AB
a
Kwadrat skali tego podobieństwa jest równy stosunkowi pól tych trójkątów, czyli
1
2
3
1
3
BDA
NBD
BDA
BDA
P
P
s
P
P
Zatem
2
1
3
m
a
=
,
2
2
1
3
m
a
Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta BDA otrzymujemy
2
2
2
2
cos
BD
AB
AD
AB
AD
α
⋅
,
czyli
2
2
2
2
cos
m
a
a
a a
α
⋅
,
(
)
2
2
1
2
2cos
3 a
a
α
,
1
2
2cos
3
α
,
5
2cos
3
α =
,
5
cos
6
α =
A
B
C
D
M
N
a
m
m
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
Schemat punktowania III i IV sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Zdający
• zapisze, że pole trójkąta FBD jest dwunastą częścią pola rombu ABCD
albo
• zapisze, że pole trójkąta SBA jest czwartą częścią pola rombu ABCD
albo
• zapisze, że pole trójkąta NBD jest trzecią częścią pola trójkąta BDA.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający
• zapisze, że trójkąty FBD i SBA są podobne i
1
12
FBD
ABCD
P
P
, i
1
4
SBA
ABCD
P
P
albo
• zapisze, że trójkąty NBD i BDA są podobne i
1
3
NBD
BDA
P
P
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający
• zapisze układ równań z niewiadomymi m, a, cosα , np.:
2
2
1
3
m
a
i
2
2
2
2
cos
m
a
a
a a
α
⋅
lub
• obliczy wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta
2
α , np.:
1
sin
2
2 3
α =
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt
Zdający
• zapisze układ równań z niewiadomymi m, a, cosα , np.:
2
2
1
3
m
a
i
2
2
2
2
cos
m
a
a
a a
α
⋅
oraz
• obliczy wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta
2
α , np.:
1
sin
2
2 3
α =
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 pkt
Rozwiązanie pełne 6 pkt
Zdający obliczy cosα :
5
cos
6
α =
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
$\\cos \\alpha = \\dfrac{5}{6}$
"}]}