Zadanie 15. (0-7)
Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia
okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej jest równa d. Wyznacz długość
krawędzi podstawy tego z rozpatrywanych ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz
tę największą objętość.
MMA_1R
Odpowiedź:
MMA_1R
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Zadanie 15. (0-7)
Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia
okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej jest równa d. Wyznacz długość
krawędzi podstawy tego z rozpatrywanych ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz
tę objętość.
Rozwiązanie (I sposób)
Wprowadzamy oznaczenia: r - promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa,
b - krawędź boczna, a - krawędź podstawy, H - wysokość ostrosłupa.
Z zależności r
b
d
wyznaczamy b
d
r
-. W trójkącie SCW stosujemy tw. Pitagorasa:
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
H
b
r
b
r
b
r
d b
r
d d
r
r
d d
r
skąd wyznaczamy
(
)
2
H
d d
r
Zauważamy, że
0
r >
oraz
2
0
d
r
, czyli
0,
2
d
r
∈
Wyznaczamy a w zależności od r:
2
a
r
i zapisujemy objętość ostrosłupa w zależności od
zmiennej r.
( )
2
2
4
2
5
1
2
2
2
2
3
3
V r
r
d
dr
r d
r d
⋅
dla
0,
2
d
r
∈
Rozważamy funkcję pomocniczą ( )
4
2
5
2
f r
r d
r d
, której dziedziną jest przedział 0, 2
d
Aby znaleźć maksimum lokalne tej funkcji, wyznaczamy jej pochodną
( )
(
)
3
2
4
3
4
10
2
2
5
′
f
r
r d
r d
r d
d
r
Jedynym miejscem zerowym z przedziału 0, 2
d
jest
2
5
r
d
(
0
r =
nie należy do dziedziny funkcji f ).
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
Analizujemy monotoniczność funkcji f (np. na podstawie wykresu znaku pochodnej):
( )
0
f
r
′
dla
2
0,
5
r
d
∈
(funkcja w tym przedziale rośnie),
( )
0
f
r
′
<
dla
2
1
,
5
2
r
d
d
∈
(funkcja w tym przedziale maleje).
Wnioskujemy, że funkcja osiąga maksimum lokalne dla
2
5
r
d
. Z analizy monotoniczności
funkcji w dziedzinie wynika, że jest to jednocześnie największa wartość funkcji w dziedzinie.
Ponieważ funkcja ( )
g x
x
jest funkcją rosnącą, funkcja V oraz funkcja f są rosnące
i malejące w tych samych przedziałach i przyjmują maksimum lokalne dla tego samego
argumentu.
Wobec tego, ostrosłup ma największą objętość dla
2
5
r
d
, czyli dla
2 2
5
a
d
. Wysokość
tego ostrosłupa jest równa
4
5
5
5
H
d d
d
d
.Szukana objętość jest równa
3
8 5
375
V
d
Odp. Największą objętość ma ostrosłup o krawędzi podstawy
2 2
5
a
d
, objętość ta jest
równa
3
8 5
375
V
d
Schemat oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap składa się z trzech części:
a) wyznaczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa oraz wysokości w zależności
od długości promienia okręgu opisanego na podstawie
b) zapisanie objętości ostrosłupa jako funkcji zmiennej r:
( )
4
2
5
2
2
3
V r
r d
r d
,
c) określenie dziedziny funkcji V:
0,
2
d
r
∈
Za każdą z części tego etapu zdający otrzymuje po 1 punkcie.
Drugi etap składa się z trzech części:
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
a) wprowadzenie funkcji pomocniczej ( )
4
2
5
2
f r
r d
r d
i wyznaczenie pochodnej
( )
(
)
3
2
4
3
4
10
24
2
5
f
r
r d
r d
r d
d
r
′
b) obliczenie miejsca zerowego pochodnej
2
5
r
d
,
c) uzasadnienie, że dla
2
5
r
d
funkcja f osiąga największą wartość oraz że dla takiej
wartości promienia objętość ostrosłupa jest największa.
Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile
poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.
Uwaga
Jeżeli zdający nie wyznaczy dziedziny funkcji V, to nie może otrzymać punktu za ostatnią część
etapu drugiego (uzasadnienie).
• Trzeci etap.
Obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa o największej objętości:
2 2
5
a
d
. Wyznaczenie największej objętości ostrosłupa:
3
8 5
375
V
d
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Rozwiązanie (II sposób)
Wprowadzamy oznaczenia, jak w I sposobie.
Z zależności r
b
d
wyznaczamy b
d
r
-. W trójkącie SCW stosujemy tw. Pitagorasa:
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
/ :
0
2
1
1
2
2
H
d d
r
d
d
H
d
r
d
H
r
d
d
H
d
d
≠
Obliczamy pole podstawy ostrosłupa
2
1 2
2
2
2
P
P
r
r
r
⋅
⋅
oraz objętość
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
4
2
3
5
2
1
2
1
2
3
3 4
1
2
6
V
r H
d
H
H
d
V H
d H
d H
H
d
⋅
⋅
⋅
Z warunków geometrycznych
0
H > i H
r
b
<
(nierówność trójkąta w trójkącie SWC)
wyznaczamy dziedzinę funkcji V:
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
(
)
0,
H
d
∈
Aby znaleźć maksimum lokalne tej funkcji, wyznaczamy jej pochodną
(
)
(
)
4
2
2
4
2
1
5
6
6
V
H
H
d H
d
d
′
Obliczamy miejsca zerowe i analizujemy znak pochodnej
(
)
4
2
2
4
2
2
2
4
2
2
0
5
6
0
5
6
0
1
5
5
5
,
,
,
5
5
V
H
H
d H
d
H
t
t
d t
d
t
d
t
d
H
d
H
d
H
d
H
d
′
⇔
Jedynym miejscem zerowym pochodnej w przedziale (
)
0,d jest
5
5
H
d
(
)
0
V
H
′
dla
5
0,
5
H
d
∈
(funkcja V w tym przedziale rośnie),
(
)
0
V
H
′
< dla
5
,
5
H
d d
∈
(funkcja V w tym przedziale maleje).
Wnioskujemy, że funkcja V osiąga maksimum lokalne dla
5
5
H
d
. Z analizy
monotoniczności funkcji V w dziedzinie wynika, że jest to jednocześnie największa wartość
funkcji w przedziale (
)
0,d .
Ostrosłup ma największą objętość dla
5
5
H
d
, czyli dla
2 2
5
a
d
. Największa objętość
jest równa
3
8 5
375
V
d
Schemat oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap składa się z trzech części:
a) wyznaczenie długości promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa oraz
pola podstawy w zależności od długości wysokości ostrosłupa
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
b) zapisanie objętości ostrosłupa jako funkcji zmiennej H:
(
)
(
)
4
2
3
5
2
1
2
6
V H
d H
d H
H
d
c) określenie dziedziny funkcji V:
(
)
0,
H
d
∈
Za każdą z części tego etapu zdający otrzymuje po 1 punkcie.
Drugi etap składa się z trzech części:
a) wyznaczenie pochodnej
(
)
(
)
4
2
2
4
2
1
5
6
6
V
H
H
d H
d
d
′
,
b) obliczenie miejsca zerowego pochodnej
5
5
H
d
,
c) uzasadnienie, że dla
5
5
H
d
objętość ostrosłupa jest największa.
Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile
poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.
Uwaga
Jeżeli zdający nie wyznaczy dziedziny funkcji V, to nie może otrzymać punktu za ostatnią część
etapu drugiego (uzasadnienie).
• Trzeci etap.
Obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa o największej objętości:
2 2
5
a
d
. Wyznaczenie największej objętości ostrosłupa:
3
8 5
375
V
d
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
$a=\\dfrac{2\\sqrt{2}}{5}d$, $V=\\dfrac{8\\sqrt{5}}{375}d^3$
"}]}