{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nDany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty A, B, C i D.\nWykaż, że jeżeli\nADB\nACB\n\n\n, to\nBAC\nBDC\n\n\n\nMMA_1R\n\nMMA_1R","answer":"A, B, C","answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nDany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty A, B, C i D.\nWykaż, że jeżeli\nADB\nACB\n\n\n, to\nBAC\nBDC\n\n\nPrzykładowe sposoby rozwiązania zadania\nI sposób\nNiech a\nAB\n,\nACB\nADB\nα =\n\n\n, 1r - promień okręgu opisanego na trójkącie ACB ,\n2r - promień okręgu opisanego na trójkącie ADB.\nZ twierdzenia sinusów dla trójkąta ACB i dla trójkąta ADC wynika, że\n1\n2\nsin\nAB\nr\nACB\n\noraz\n2\n2\nsin\nAB\nr\nADB\n\n,\nczyli\n1\n2\nsin\na\nr\nα =\noraz\n2\n2\nsin\na\nr\nα =\nStąd wynika, że 1\n2\nr\nr\nPonieważ odcinek AB jest wspólnym bokiem trójkątów ACB i ADB, więc środki okręgów\nopisanych na tych trójkątach leżą na symetralnej tego boku. Z faktu, że czworokąt ABCD jest\nwypukły, wynika natomiast, że punkty C i D leżą po tej samej stronie prostej AB.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nStąd i z równości 1\n2\nr\nr\nwynika, że środki obu tych okręgów pokrywają się, co oznacza, że\nokrąg opisany na trójkącie ACB jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie ADB.\nJest to więc okrąg opisany na czworokącie ABCD. Kąty BAC i BDC są równe, gdyż są to kąty\nwpisane w ten okrąg, oparte na tym samym łuku BC. To kończy dowód.\nSchemat punktowania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt\nZdający wykaże, że promienie okręgów opisanych na trójkątach ACB i ADB są równe.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt\nZdający uzasadni, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg.\nUwaga\nJeżeli zdający z faktu, że promienie okręgów opisanych na trójkątach ACB i ADB są równe\noraz z faktu, że środki tych okręgów leżą na tej samej prostej, wywnioskuje, że okręgi opisane\nna trójkątach ACB i ADB pokrywają się, to otrzymuje 2 punkty.\nRozwiązanie pełne 3 pkt\nZdający uzasadni, że kąty BAC i BDC są równe.\nII sposób\nMiejscem geometrycznym punktów, z których odcinek AB widać pod tym samym kątem\nACB\nADB\nα =\n\n\n, jest suma łuków (bez końców) \nAB okręgów, których ten odcinek jest\nwspólną cięciwą, przy czym łuk leżący po jednej stronie prostej AB jest symetryczny do łuku\nleżącego po drugiej stronie tej prostej.\nA\nB\nC\nD\nS\nr\nr\na\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nWierzchołki C i D czworokąta ABCD leżą na jednym z tych łuków, gdyż czworokąt ten jest\nwypukły.\nOznacza to, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg.\nKąty BAC i BDC są równe, gdyż są to kąty wpisane w ten okrąg, oparte na tym samym łuku\nBC. To kończy dowód.\nA\nB\nS\nr\nr\na\nA\nB\nC\nD\nS\nr\nr\na\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nSchemat punktowania II sposobu rozwiązania\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt\nZdający uzasadni, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg, odwołując się do miejsca\ngeometrycznego punktów, z których odcinek AB widać pod tym samym kątem\nACB\nADB\nα =\n\n\nUwaga\nJeżeli zdający z faktu, że promienie okręgów opisanych na trójkątach ACB i ADB są równe\noraz z faktu, że środki tych okręgów leżą na tej samej prostej, wywnioskuje, że okręgi opisane\nna trójkątach ACB i ADB pokrywają się, to otrzymuje 2 punkty.\nRozwiązanie pełne 3 pkt\nZdający uzasadni, że kąty BAC i BDC są równe .","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
Dany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty A, B, C i D.
Wykaż, że jeżeli
ADB
ACB


, to
BAC
BDC

\n

MMA_1R

\n

MMA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
Dany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty A, B, C i D.
Wykaż, że jeżeli
ADB
ACB


, to
BAC
BDC


Przykładowe sposoby rozwiązania zadania
I sposób
Niech a
AB
,
ACB
ADB
α =


, 1r - promień okręgu opisanego na trójkącie ACB ,
2r - promień okręgu opisanego na trójkącie ADB.
Z twierdzenia sinusów dla trójkąta ACB i dla trójkąta ADC wynika, że
1
2
sin
AB
r
ACB

oraz
2
2
sin
AB
r
ADB

,
czyli
1
2
sin
a
r
α =
oraz
2
2
sin
a
r
α =
Stąd wynika, że 1
2
r
r
Ponieważ odcinek AB jest wspólnym bokiem trójkątów ACB i ADB, więc środki okręgów
opisanych na tych trójkątach leżą na symetralnej tego boku. Z faktu, że czworokąt ABCD jest
wypukły, wynika natomiast, że punkty C i D leżą po tej samej stronie prostej AB.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
Stąd i z równości 1
2
r
r
wynika, że środki obu tych okręgów pokrywają się, co oznacza, że
okrąg opisany na trójkącie ACB jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie ADB.
Jest to więc okrąg opisany na czworokącie ABCD. Kąty BAC i BDC są równe, gdyż są to kąty
wpisane w ten okrąg, oparte na tym samym łuku BC. To kończy dowód.
Schemat punktowania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt
Zdający wykaże, że promienie okręgów opisanych na trójkątach ACB i ADB są równe.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt
Zdający uzasadni, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg.
Uwaga
Jeżeli zdający z faktu, że promienie okręgów opisanych na trójkątach ACB i ADB są równe
oraz z faktu, że środki tych okręgów leżą na tej samej prostej, wywnioskuje, że okręgi opisane
na trójkątach ACB i ADB pokrywają się, to otrzymuje 2 punkty.
Rozwiązanie pełne 3 pkt
Zdający uzasadni, że kąty BAC i BDC są równe.
II sposób
Miejscem geometrycznym punktów, z których odcinek AB widać pod tym samym kątem
ACB
ADB
α =


, jest suma łuków (bez końców) 
AB okręgów, których ten odcinek jest
wspólną cięciwą, przy czym łuk leżący po jednej stronie prostej AB jest symetryczny do łuku
leżącego po drugiej stronie tej prostej.
A
B
C
D
S
r
r
a
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
Wierzchołki C i D czworokąta ABCD leżą na jednym z tych łuków, gdyż czworokąt ten jest
wypukły.
Oznacza to, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg.
Kąty BAC i BDC są równe, gdyż są to kąty wpisane w ten okrąg, oparte na tym samym łuku
BC. To kończy dowód.
A
B
S
r
r
a
A
B
C
D
S
r
r
a
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
Schemat punktowania II sposobu rozwiązania
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt
Zdający uzasadni, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg, odwołując się do miejsca
geometrycznego punktów, z których odcinek AB widać pod tym samym kątem
ACB
ADB
α =


Uwaga
Jeżeli zdający z faktu, że promienie okręgów opisanych na trójkątach ACB i ADB są równe
oraz z faktu, że środki tych okręgów leżą na tej samej prostej, wywnioskuje, że okręgi opisane
na trójkątach ACB i ADB pokrywają się, to otrzymuje 2 punkty.
Rozwiązanie pełne 3 pkt
Zdający uzasadni, że kąty BAC i BDC są równe .

","solutions":[]}