{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie\n5\n4\n3\n3\nn\nn\nn\njest podzielne przez 16.\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie\n5\n4\n3\n3\nn\nn\nn\njest podzielne przez 16.\nRozwiązanie (I sposób)\nPrzekształcamy wyrażenie\n5\n4\n3\n3\nn\nn\nn\nrównoważnie w następujący sposób\n(\n) (\n)\n(\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n)\n4\n4\n2\n2\n2\n3\n3\n1\n3\n1\n1\n3\n1\n1\n1\n3\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nLiczba n jest nieparzysta więc liczby (\n) (\n) (\n) (\n)3\n,\n1\n,\n1\n,\n1\n2\nn\nn\nn\nn\nsą parzyste zatem ich\niloczyn jest podzielny przez 24.Wyrażenie jest sumą dwóch składników podzielnych przez 16\nwięc jest podzielne przez 16.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze wyrażenie w postaci:(\n) (\n) 16\n3\n1\n4\n⋅\nn\nn\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze nierówność w postaci: (\n) (\n) (\n) (\n) 16\n3\n1\n1\n1\n2\n⋅\n⋅\n⋅\nn\nn\nn\nn\ni nie uzasadni\npodzielności przez 16.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nRozwiązanie (II sposób)\nPonieważ liczba n jest nieparzysta możemy zapisać ją w postaci 2k+1, gdzie k jest liczbą\ncałkowitą.\nWyrażenie\n5\n4\n3\n3\nn\nn\nn\nprzyjmuje postać:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n5\n4\n2\n1\n3 2\n1\n2\n1\n3\nk\nk\nk\nPo przekształceniu wyrażenia równoważnie otrzymujemy\n16\n16\n32\n16\n32\n32\n2\n3\n4\n5\nn\nn\nn\nn\nn\n,\nstąd wyrażenie możemy zapisać w postaci iloczynu (\n)1\n2\n2\n2\n16\n2\n3\n4\n5\nn\nn\nn\nn\nn\n, który jako\niloczyn liczby 16 oraz całkowitej liczby(\n)1\n2\n2\n2\n2\n3\n4\n5\nn\nn\nn\nn\nn\njest podzielny przez 16.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze wraz z odpowiednimi założeniami wyrażenie (\n)\n(\n)\n(\n) 19\n1\n2\n1\n2\n3\n1\n2\n4\n5\nk\nk\nk\ni\nprzekształci poprawnie przynajmniej jedno z wyrażeń.\n(\n)\n1\n10\n40\n80\n80\n32\n1\n2\n2\n3\n4\n5\n5\nn\nn\nn\nn\nn\nk\nlub\n(\n)\n1\n8\n24\n32\n16\n1\n2\n2\n3\n4\n4\nn\nn\nn\nn\nk\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy doprowadzi wyrażenie do postaci\n16\n16\n32\n16\n32\n32\n2\n3\n4\n5\nn\nn\nn\nn\nn\ni nie uzasadni,\nże to wyrażenie jest podzielne przez 16.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"liczby_naturalne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie
5
4
3
3
n
n
n
jest podzielne przez 16.

\n

MMA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie
5
4
3
3
n
n
n
jest podzielne przez 16.
Rozwiązanie (I sposób)
Przekształcamy wyrażenie
5
4
3
3
n
n
n
równoważnie w następujący sposób
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
4
4
2
2
2
3
3
1
3
1
1
3
1
1
1
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
Liczba n jest nieparzysta więc liczby (
) (
) (
) (
)3
,
1
,
1
,
1
2
n
n
n
n
są parzyste zatem ich
iloczyn jest podzielny przez 24.Wyrażenie jest sumą dwóch składników podzielnych przez 16
więc jest podzielne przez 16.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze wyrażenie w postaci:(
) (
) 16
3
1
4
⋅
n
n
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze nierówność w postaci: (
) (
) (
) (
) 16
3
1
1
1
2
⋅
⋅
⋅
n
n
n
n
i nie uzasadni
podzielności przez 16.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Rozwiązanie (II sposób)
Ponieważ liczba n jest nieparzysta możemy zapisać ją w postaci 2k+1, gdzie k jest liczbą
całkowitą.
Wyrażenie
5
4
3
3
n
n
n
przyjmuje postać:
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
(
)
(
)
(
)
5
4
2
1
3 2
1
2
1
3
k
k
k
Po przekształceniu wyrażenia równoważnie otrzymujemy
16
16
32
16
32
32
2
3
4
5
n
n
n
n
n
,
stąd wyrażenie możemy zapisać w postaci iloczynu (
)1
2
2
2
16
2
3
4
5
n
n
n
n
n
, który jako
iloczyn liczby 16 oraz całkowitej liczby(
)1
2
2
2
2
3
4
5
n
n
n
n
n
jest podzielny przez 16.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze wraz z odpowiednimi założeniami wyrażenie (
)
(
)
(
) 19
1
2
1
2
3
1
2
4
5
k
k
k
i
przekształci poprawnie przynajmniej jedno z wyrażeń.
(
)
1
10
40
80
80
32
1
2
2
3
4
5
5
n
n
n
n
n
k
lub
(
)
1
8
24
32
16
1
2
2
3
4
4
n
n
n
n
k
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy doprowadzi wyrażenie do postaci
16
16
32
16
32
32
2
3
4
5
n
n
n
n
n
i nie uzasadni,
że to wyrażenie jest podzielne przez 16.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.

","solutions":[]}