{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nRozwiąż równanie\n(\n)\n3\n2\n4sin\nsin 2\n2sin\n2cos\n1\nx\nx\nx\nx\n⋅\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nRozwiąż równanie\n(\n)\n3\n2\n4sin\nsin 2\n2sin\n2cos\n1\nx\nx\nx\nx\n⋅\nRozwiązanie (I sposób)\nPrzekształcamy równanie równoważnie:\n3\n2\n2\n4sin\n2sin\ncos\n4sin\ncos\n2sin\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n3\n2\n2\n4sin\n2sin cos\n4sin\ncos\n2sin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n(\n)\n2\n2sin\n2sin\ncos\n2sin\ncos\nsin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nStąd otrzymujemy alternatywę\nsin\n0\nx =\nlub\n2\n2sin\ncos\n2sin\ncos\nsin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nsin\n0\nx =\nlub\n(\n)\n2sin\nsin\ncos\ncos\nsin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nsin\n0\nx =\nlub (\n)(\n)\nsin\ncos\n2sin\n1\n0\nx\nx\nx\nZatem\nsin\n0\nx =\nlub sin\ncos\nx\nx\nlub\n1\nsin\n2\nx =\nZauważmy, że drugie równanie tej alternatywy jest równoważne równaniu tg\n1\nx = .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nGdyby zachodziło cos\n0\nx =\n, to otrzymalibyśmy równość sin\n0\nx =\n, a to byłoby sprzeczne\nz tożsamością\n2\n2\nsin\ncos\n1\nx\nx\n= . Ostatecznie zapisujemy cztery serie rozwiązań podanego\nrównania:\nx\nkπ\nlub\n4\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n5\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\n, gdzie k oznacza liczbę całkowitą.\nSchemat punktowania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania\n1p.\nZdający zapisze dane równanie w postaci iloczynu, np.\n(\n)\n2\n2sin\n2sin\ncos\n2sin\ncos\nsin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny\npostęp 2p.\nZdający zapisze dane równanie w postaci iloczynu\n(\n)(\n)\n2\nsin\nsin\ncos\n2sin\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n⋅\nlub (\n)(\n)\n2\n2sin\nsin 2\n2sin\n1\n0\nx\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności\nzadania 3p.\nZdający poprawnie rozwiąże dwa spośród trzech równań:\nsin\n0\nx =\n, 2sin\n1\n0\nx -=\n, sin\ncos\n0\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy .\nRozwiązanie\npełne 4p.\nZdający zapisze cztery serie rozwiązań danego równania:\nx\nkπ\nlub\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n5\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n4\nx\nk\nπ\nπ\n, gdzie k oznacza liczbę\ncałkowitą.\nRozwiązanie (II sposób)\nPrzekształcamy równanie równoważnie:\n3\n2\n2\n4sin\n2sin\ncos\n4sin\ncos\n2sin\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n3\n2\n2\n4sin\n2sin cos\n4sin\ncos\n2sin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n(\n)\n2\n2sin\n2sin\ncos\n2sin\ncos\nsin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nStąd otrzymujemy alternatywę\nsin\n0\nx =\nlub\n2\n2sin\ncos\n2sin\ncos\nsin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nRównanie\n2\n2sin\ncos\n2sin\ncos\nsin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nzapisujemy w postaci\n(\n)\n2\n2sin\n2cos\n1 sin\ncos\n0\nx\nx\nx\nx\ni rozwiązujemy je tak samo jak równanie kwadratowe z niewiadomą sin x i parametrem\ncos x .\nOtrzymujemy wtedy wyróżnik\n(\n)\n2\n2cos\n1\nx\n∆=\noraz dwa rozwiązania:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\n2cos\n1\n2cos\n1\nsin\n4\nx\nx\nx\nlub\n2cos\n1\n2cos\n1\nsin\n4\nx\nx\nx\nJeśli\n1\n2\ncos x ≥\n, to otrzymujemy rozwiązania\n1\n2\nsin x =\nlub sin\ncos\nx\nx\n. Zatem w tym\nprzypadku\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n2\n4\nx\nk\nπ\nπ\nJeśli zaś\n1\n2\ncos x <\n, to otrzymujemy rozwiązania sin\ncos\nx\nx\nlub\n1\n2\nsin x =\n. W tym przypadku\n5\n2\n4\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n5\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nOstatecznie możemy zapisać cztery serie rozwiązań podanego równania:\nx\nkπ\nlub\n4\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n5\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\n, gdzie k oznacza liczbę\ncałkowitą.\nSchemat punktowania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania\n1p.\nZdający zapisze dane równanie w postaci iloczynu, np.\n(\n)\n2\n2sin\n2sin\ncos\n2sin\ncos\nsin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny\npostęp 2p.\nZdający zapisze równanie\n2\n2sin\ncos\n2sin\ncos\nsin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nw postaci\n(\n)\n2\n2sin\n2cos\n1 sin\ncos\n0\nx\nx\nx\nx\n,\nobliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego z lewej strony równania\n(\n)\n2\n2cos\n1\nx\n∆=\ni zapisze\ndwa rozwiązania tego równania\n2cos\n1\n2cos\n1\nsin\n4\nx\nx\nx\nlub\n2cos\n1\n2cos\n1\nsin\n4\nx\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nPokonanie zasadniczych trudności\nzadania 3p.\nZdający rozpatrzy poprawnie jeden z przypadków:\n• jeśli\n1\n2\ncos x ≥\n, to\n1\n2\nsin x =\nlub sin\ncos\nx\nx\nZatem w tym przypadku\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n2\n4\nx\nk\nπ\nπ\nalbo\n• jeśli zaś\n1\n2\ncos x <\n, to sin\ncos\nx\nx\nlub\n1\n2\nsin x =\nZatem w tym przypadku\n5\n2\n4\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n5\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy .\nRozwiązanie\npełne 4p.\nZdający zapisze cztery serie rozwiązań danego równania:\nx\nkπ\nlub\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n5\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n4\nx\nk\nπ\nπ\n, gdzie k oznacza liczbę\ncałkowitą.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez sin x lub przez (\n)\n2sin\n1\nx -\n, bez\nzapisania odpowiedniego komentarza opisującego przypadki sin\n0\nx =\noraz 2sin\n1\n0\nx -=\n, to za całe rozwiązanie może otrzymać najwyżej 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez sin x i przez (\n)\n2sin\n1\nx -\n, bez zapisania\nodpowiedniego komentarza opisującego przypadki sin\n0\nx =\noraz 2sin\n1\n0\nx -=\n, to za\ncałe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n3. Jeżeli zdający w rozwiązaniach nie uwzględni okresowości funkcji trygonometrycznych\ni zapisuje przykładowe rozwiązania z każdej serii, np.\n0\nx =\n,\n6\nx\nπ\n,\n5\n6\nx\nπ\n,\n4\nx\nπ\n, to\nmoże otrzymać co najwyżej 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający stosuje w rozwiązaniu fałszywe równości, np.\n2\ncos\n1 sin\nx\nx\n, to za\ncałe rozwiązanie może otrzymać najwyżej 2 punkty, o ile wcześniej nie nabył praw do 3\npunktów.\n5. Jeżeli zdający stosuje w rozwiązaniu równość\n2\nsin\ncos\ntg\ncos\nx\nx\nx\nx\n⋅\n⋅\n, bez\nodpowiedniego komentarza, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3\npunkty.\n6. Jeżeli zdający podczas doprowadzania równania do postaci iloczynu stosuje nieistniejące\n„wzory” skróconego mnożenia, np.\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\na\nb\nc\nd\na\nb\nc\nd\nlub\n(\n)(\n)\n3\n3\n2\n2\na\nb\na\nb\na\nb\n,\nto za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów, o ile wcześniej nie nabył praw do 1\npunktu.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony","solution":"$x=k\\pi$ lub $x=\\dfrac{\\pi}{4}+k\\pi$ lub $x=\\dfrac{\\pi}{6}+2k\\pi$ lub $x=\\dfrac{5\\pi}{6}+2k\\pi$, gdzie $k$ oznacza liczbę całkowitą.","image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
Rozwiąż równanie
(
)
3
2
4sin
sin 2
2sin
2cos
1
x
x
x
x
⋅
Odpowiedź:

\n

MMA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
Rozwiąż równanie
(
)
3
2
4sin
sin 2
2sin
2cos
1
x
x
x
x
⋅
Rozwiązanie (I sposób)
Przekształcamy równanie równoważnie:
3
2
2
4sin
2sin
cos
4sin
cos
2sin
x
x
x
x
x
x
3
2
2
4sin
2sin cos
4sin
cos
2sin
0
x
x
x
x
x
x
(
)
2
2sin
2sin
cos
2sin
cos
sin
0
x
x
x
x
x
x
Stąd otrzymujemy alternatywę
sin
0
x =
lub
2
2sin
cos
2sin
cos
sin
0
x
x
x
x
x
sin
0
x =
lub
(
)
2sin
sin
cos
cos
sin
0
x
x
x
x
x
sin
0
x =
lub (
)(
)
sin
cos
2sin
1
0
x
x
x
Zatem
sin
0
x =
lub sin
cos
x
x
lub
1
sin
2
x =
Zauważmy, że drugie równanie tej alternatywy jest równoważne równaniu tg
1
x = .
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
Gdyby zachodziło cos
0
x =
, to otrzymalibyśmy równość sin
0
x =
, a to byłoby sprzeczne
z tożsamością
2
2
sin
cos
1
x
x
= . Ostatecznie zapisujemy cztery serie rozwiązań podanego
równania:
x
kπ
lub
4
x
k
π
π
lub
2
6
x
k
π
π
lub
5
2
6
x
k
π
π
, gdzie k oznacza liczbę całkowitą.
Schemat punktowania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania
1p.
Zdający zapisze dane równanie w postaci iloczynu, np.
(
)
2
2sin
2sin
cos
2sin
cos
sin
0
x
x
x
x
x
x
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny
postęp 2p.
Zdający zapisze dane równanie w postaci iloczynu
(
)(
)
2
sin
sin
cos
2sin
1
0
x
x
x
x
⋅
lub (
)(
)
2
2sin
sin 2
2sin
1
0
x
x
x
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności
zadania 3p.
Zdający poprawnie rozwiąże dwa spośród trzech równań:
sin
0
x =
, 2sin
1
0
x -=
, sin
cos
0
x
x
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy .
Rozwiązanie
pełne 4p.
Zdający zapisze cztery serie rozwiązań danego równania:
x
kπ
lub
2
6
x
k
π
π
lub
5
2
6
x
k
π
π
lub
4
x
k
π
π
, gdzie k oznacza liczbę
całkowitą.
Rozwiązanie (II sposób)
Przekształcamy równanie równoważnie:
3
2
2
4sin
2sin
cos
4sin
cos
2sin
x
x
x
x
x
x
3
2
2
4sin
2sin cos
4sin
cos
2sin
0
x
x
x
x
x
x
(
)
2
2sin
2sin
cos
2sin
cos
sin
0
x
x
x
x
x
x
Stąd otrzymujemy alternatywę
sin
0
x =
lub
2
2sin
cos
2sin
cos
sin
0
x
x
x
x
x
Równanie
2
2sin
cos
2sin
cos
sin
0
x
x
x
x
x
zapisujemy w postaci
(
)
2
2sin
2cos
1 sin
cos
0
x
x
x
x
i rozwiązujemy je tak samo jak równanie kwadratowe z niewiadomą sin x i parametrem
cos x .
Otrzymujemy wtedy wyróżnik
(
)
2
2cos
1
x
∆=
oraz dwa rozwiązania:
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
2cos
1
2cos
1
sin
4
x
x
x
lub
2cos
1
2cos
1
sin
4
x
x
x
Jeśli
1
2
cos x ≥
, to otrzymujemy rozwiązania
1
2
sin x =
lub sin
cos
x
x
. Zatem w tym
przypadku
2
6
x
k
π
π
lub
2
4
x
k
π
π
Jeśli zaś
1
2
cos x <
, to otrzymujemy rozwiązania sin
cos
x
x
lub
1
2
sin x =
. W tym przypadku
5
2
4
x
k
π
π
lub
5
2
6
x
k
π
π
Ostatecznie możemy zapisać cztery serie rozwiązań podanego równania:
x
kπ
lub
4
x
k
π
π
lub
2
6
x
k
π
π
lub
5
2
6
x
k
π
π
, gdzie k oznacza liczbę
całkowitą.
Schemat punktowania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania
1p.
Zdający zapisze dane równanie w postaci iloczynu, np.
(
)
2
2sin
2sin
cos
2sin
cos
sin
0
x
x
x
x
x
x
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny
postęp 2p.
Zdający zapisze równanie
2
2sin
cos
2sin
cos
sin
0
x
x
x
x
x
w postaci
(
)
2
2sin
2cos
1 sin
cos
0
x
x
x
x
,
obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego z lewej strony równania
(
)
2
2cos
1
x
∆=
i zapisze
dwa rozwiązania tego równania
2cos
1
2cos
1
sin
4
x
x
x
lub
2cos
1
2cos
1
sin
4
x
x
x
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony
Pokonanie zasadniczych trudności
zadania 3p.
Zdający rozpatrzy poprawnie jeden z przypadków:
• jeśli
1
2
cos x ≥
, to
1
2
sin x =
lub sin
cos
x
x
Zatem w tym przypadku
2
6
x
k
π
π
lub
2
4
x
k
π
π
albo
• jeśli zaś
1
2
cos x <
, to sin
cos
x
x
lub
1
2
sin x =
Zatem w tym przypadku
5
2
4
x
k
π
π
lub
5
2
6
x
k
π
π
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy .
Rozwiązanie
pełne 4p.
Zdający zapisze cztery serie rozwiązań danego równania:
x
kπ
lub
2
6
x
k
π
π
lub
5
2
6
x
k
π
π
lub
4
x
k
π
π
, gdzie k oznacza liczbę
całkowitą.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez sin x lub przez (
\n

)
2sin
1
x -
, bez
zapisania odpowiedniego komentarza opisującego przypadki sin
0
x =
oraz 2sin
1
0
x -=
, to za całe rozwiązanie może otrzymać najwyżej 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez sin x i przez (
\n

)
2sin
1
x -
, bez zapisania
odpowiedniego komentarza opisującego przypadki sin
0
x =
oraz 2sin
1
0
x -=
, to za
całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający w rozwiązaniach nie uwzględni okresowości funkcji trygonometrycznych
\n

i zapisuje przykładowe rozwiązania z każdej serii, np.
0
x =
,
6
x
π
,
5
6
x
π
,
4
x
π
, to
może otrzymać co najwyżej 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający stosuje w rozwiązaniu fałszywe równości, np.
\n

2
cos
1 sin
x
x
, to za
całe rozwiązanie może otrzymać najwyżej 2 punkty, o ile wcześniej nie nabył praw do 3
punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający stosuje w rozwiązaniu równość
\n

2
sin
cos
tg
cos
x
x
x
x
⋅
⋅
, bez
odpowiedniego komentarza, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3
punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający podczas doprowadzania równania do postaci iloczynu stosuje nieistniejące
\n

„wzory” skróconego mnożenia, np.
(
)
2
2
2
2
2
a
b
c
d
a
b
c
d
lub
(
)(
)
3
3
2
2
a
b
a
b
a
b
,
to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów, o ile wcześniej nie nabył praw do 1
punktu.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poziom rozszerzony

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x=k\\pi$ lub $x=\\dfrac{\\pi}{4}+k\\pi$ lub $x=\\dfrac{\\pi}{6}+2k\\pi$ lub $x=\\dfrac{5\\pi}{6}+2k\\pi$, gdzie $k$ oznacza liczbę całkowitą.

"}]}