{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nNajmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność\n5(4 -𝑥)\n2\n< 𝑥 jest liczba\nA.\n1\nB.\n2\nC.\n3\nD.\n4","answer":"C","answer_text":"4. Jeżeli zdający niepoprawnie zastosuje twierdzenie Pitagorasa, to może otrzymać za całe\nrozwiązanie co najwyżej 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający zapisze błędną relację między polem powierzchni bocznej i polem\npodstawy stożka, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\nZadanie 34. (0-5)\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nWyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\ni przechodzącej przez punkt P :\n1\n2\ny\nx\nb\n\n\nPunkt P należy do prostej\n1\n2\ny\nx\nb\n\n\n, więc\n1\n2\n5\n4\nb\n\n\n. Stąd\n3\nb \nObliczamy współrzędne punktu S przecięcia prostej\n2\n7\ny\nx\n\n\ni prostej PQ:\n1\n2\n2\n7\n3\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\n\nStąd\n1\n2\n2\n7\n3\nx\nx\n\n\n\n\n, więc\n8\n5\nx \ni\n19\n5\ny \n,\nZatem\n8 19\n,\n5 5\nS\n\n\n\n\n\n\nPonieważ punkt S jest środkiem odcinka PQ , więc\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n4\n8\n2\n5\nQ\nx\n\n\ni 5\n13\n2\n5\nQ\ny\n\n\nStąd\n4\n5\nQ\nx \ni\n13\n5\nQ\ny \n, czyli\n4 13\n,\n5\n5\nQ\n\n\n\n\n\n\n\nII sposób („odległość punktu od prostej”)\nRównanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt P ma postać:\n1\n2\ny\nx\nb\n\n\nPonieważ\n\n\n4,5\nP \n, więc\n1\n2\n5\n4\nb\n\n\n, stąd\n3\nb \n. Zatem równanie prostej PQ ma postać:\n1\n2\n3\ny\nx\n\n\nPunkt Q leży na tej prostej, więc\n\n\n1\n2,\n3\nQ\nx\nx\n\n\nObliczamy odległość punktu P od prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\njest równa\n2 4 1 5\n7\n6 5\n5\n5\n\n\nPonieważ prosta o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\njest symetralną odcinka PQ, więc odległość punktu\n\n\n1\n2,\n3\nQ\nx\nx\n\n\nod prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\njest także równa 6 5\n5\nOtrzymujemy zatem równanie:\n2\n2\n3\n7\n6 5\n5\n5\nx\nx\n\n\n\n, stąd\n5\n2\n4\n6\nx\n\n\n\nRównanie to jest równoważne alternatywie równań\n5\n2\n4\n6\nx\n\n\n\nlub\n5\n2\n4\n6\nx\n\n\n.\nStąd\n4\n5\nx \nlub\n4\nx \nObliczamy współrzędne punktu\n4 13\n,\n5 5\nQ\n\n\n\n\n\n\n\nJeśli\n4\n5\nx \n, to\n\n\n13\n1\n4\n2\n2\n5\n5\n5\n3\n3\ny \n\n\n\n. Zatem\n4 13\n,\n5 5\nQ\n\n\n\n\n\n\n\nJeśli\n4\nx \n, to\n1\n2 4\n3\n2\n3\n5\ny \n\n\n\n\n. Zatem otrzymujemy współrzędne danego punktu P.\nUwaga\nZdający może bez wyznaczenia równania prostej\n1\n2\n3\ny\nx\n\n\n, tj. prostej prostopadłej do\nprostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\n, na której leży punkt\n\n\n4,5\nP \n, obliczyć odległość\n6 5\n5\nd \npunktu\n\n\n4,5\nP \nod prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\ni zapisać równanie z jedną niewiadomą\n\n\n\n\n2\n2\n6 5\n4\n2\n7\n5\n5\nx\nx\n\n\n\n\n\n, z którego wyznaczy pierwszą współrzędną środka odcinka\nPQ.\nIII sposób\nNiech\n\n\n,\nQ\nx y\n\nbędzie końcem odcinka PQ. Wtedy współrzędne środka S tego odcinka są\nrówne\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n\n\n5\n4\n2\n2\n,\ny\nx\nS\n\n\n\nPunkt S leży na symetralnej odcinka PQ, a więc na prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\n, więc\n5\n4\n2\n2\n2\n7\ny\nx\n\n\n\n\n,\n5\n8\n2\n14\ny\nx\n\n\n\n,\n2\n1\ny\nx\n\n.\nProsta prostopadła do prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\ni przechodząca przez punkt P ma\nrównanie postaci\n\n\n1\n2\n4\n5\ny\nx\n\n\n\nPunkt P leży na tej prostej, więc pozostaje rozwiązać układ równań\n2\n1\ny\nx\n\n\ni\n\n\n1\n2\n4\n5\ny\nx\n\n\n\n. Stąd otrzymujemy\n\n\n1\n2\n2\n1\n4\n5\nx\nx\n\n\n\n\n,\n1\n2\n2\n1\n3\nx\nx\n\n\n\n,\n5\n2\n2\nx ,\n4\n5\nx\n\n\nDruga współrzędna punktu Q jest równa\n\n\n8\n4\n5\n5\n13\n2\n1\n1\n5\ny \n\n\n\n,\nczyli\n\n\n13\n4\n5\n5\n,\nQ \nZasady oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\ncałkowitego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający:\n wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\ni przechodzącej przez punkt\n\n\n4,5\nP \n1\n2\n3\ny\nx\n\n\nalbo\n obliczy odległość d punktu\n\n\n4,5\nP \nod prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność
5(4 -𝑥)
2
< 𝑥 jest liczba
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

","answer_text_html":"
  1. Jeżeli zdający niepoprawnie zastosuje twierdzenie Pitagorasa, to może otrzymać za całe
\n

rozwiązanie co najwyżej 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze błędną relację między polem powierzchni bocznej i polem
\n

podstawy stożka, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.
Zadanie 34. (0-5)
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu
2
7
y
x


i przechodzącej przez punkt P :
1
2
y
x
b


Punkt P należy do prostej
1
2
y
x
b


, więc
1
2
5
4
b


. Stąd
3
b 
Obliczamy współrzędne punktu S przecięcia prostej
2
7
y
x


i prostej PQ:
1
2
2
7
3
y
x
y
x







Stąd
1
2
2
7
3
x
x




, więc
8
5
x 
i
19
5
y 
,
Zatem
8 19
,
5 5
S






Ponieważ punkt S jest środkiem odcinka PQ , więc
Zasady oceniania rozwiązań zadań
4
8
2
5
Q
x


i 5
13
2
5
Q
y


Stąd
4
5
Q
x 
i
13
5
Q
y 
, czyli
4 13
,
5
5
Q







II sposób („odległość punktu od prostej”)
Równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt P ma postać:
1
2
y
x
b


Ponieważ


4,5
P 
, więc
1
2
5
4
b


, stąd
3
b 
. Zatem równanie prostej PQ ma postać:
1
2
3
y
x


Punkt Q leży na tej prostej, więc


1
2,
3
Q
x
x


Obliczamy odległość punktu P od prostej o równaniu
2
7
y
x


jest równa
2 4 1 5
7
6 5
5
5


Ponieważ prosta o równaniu
2
7
y
x


jest symetralną odcinka PQ, więc odległość punktu


1
2,
3
Q
x
x


od prostej o równaniu
2
7
y
x


jest także równa 6 5
5
Otrzymujemy zatem równanie:
2
2
3
7
6 5
5
5
x
x



, stąd
5
2
4
6
x



Równanie to jest równoważne alternatywie równań
5
2
4
6
x



lub
5
2
4
6
x


.
Stąd
4
5
x 
lub
4
x 
Obliczamy współrzędne punktu
4 13
,
5 5
Q







Jeśli
4
5
x 
, to


13
1
4
2
2
5
5
5
3
3
y 



. Zatem
4 13
,
5 5
Q







Jeśli
4
x 
, to
1
2 4
3
2
3
5
y 




. Zatem otrzymujemy współrzędne danego punktu P.
Uwaga
Zdający może bez wyznaczenia równania prostej
1
2
3
y
x


, tj. prostej prostopadłej do
prostej o równaniu
2
7
y
x


, na której leży punkt


4,5
P 
, obliczyć odległość
6 5
5
d 
punktu


4,5
P 
od prostej o równaniu
2
7
y
x


i zapisać równanie z jedną niewiadomą




2
2
6 5
4
2
7
5
5
x
x





, z którego wyznaczy pierwszą współrzędną środka odcinka
PQ.
III sposób
Niech


,
Q
x y

będzie końcem odcinka PQ. Wtedy współrzędne środka S tego odcinka są
równe
Zasady oceniania rozwiązań zadań


5
4
2
2
,
y
x
S



Punkt S leży na symetralnej odcinka PQ, a więc na prostej o równaniu
2
7
y
x


, więc
5
4
2
2
2
7
y
x




,
5
8
2
14
y
x



,
2
1
y
x

.
Prosta prostopadła do prostej o równaniu
2
7
y
x


i przechodząca przez punkt P ma
równanie postaci


1
2
4
5
y
x



Punkt P leży na tej prostej, więc pozostaje rozwiązać układ równań
2
1
y
x


i


1
2
4
5
y
x



. Stąd otrzymujemy


1
2
2
1
4
5
x
x




,
1
2
2
1
3
x
x



,
5
2
2
x ,
4
5
x


Druga współrzędna punktu Q jest równa


8
4
5
5
13
2
1
1
5
y 



,
czyli


13
4
5
5
,
Q 
Zasady oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do
całkowitego rozwiązania zadania 1 p.
Zdający:
 wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu
2
7
y
x


i przechodzącej przez punkt


4,5
P 
1
2
3
y
x


albo
 obliczy odległość d punktu


4,5
P 
od prostej o równaniu
2
7
y
x


","solutions":[]}