{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nWartość wyrażenia √2 ⋅൫√2 -√3൯+ √3 ⋅൫√2 -√3൯ jest równa\nA. 5 -2√6\nB. 5\nC. 5 + 2√6\nD. -1\nRozwiązanie zadania. Wartość wyrażenia √2⋅(√2-√3) + √3⋅(√2-√3) jest równa A. 5-2√6 B. 5 C. 5+2√6 D. -1","answer":"D","answer_text":"1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną liczbę\npunktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nWartość wyrażenia wynosi \\(-1\\).\n\n## Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika\n\nZauważamy, że oba składniki mają wspólny czynnik \\((\\sqrt{2} - \\sqrt{3})\\).\n\nWyłączamy go przed nawias:\n\n\\[\\sqrt{2}\\cdot(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) + \\sqrt{3}\\cdot(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) = (\\sqrt{2} + \\sqrt{3})\\cdot(\\sqrt{2}-\\sqrt{3})\\]\n\nTo jest wzór na **różnicę kwadratów**: \\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\\), gdzie \\(a = \\sqrt{2}\\), \\(b = \\sqrt{3}\\):\n\n\\[(\\sqrt{2} + \\sqrt{3})\\cdot(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) = (\\sqrt{2})^2 - (\\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = \\boxed{-1}\\]\n\n## Sposób 2 - wymnożenie nawiasów wprost\n\nMnożymy każdy nawias osobno, bez wyłączania czynnika:\n\n\\[\\sqrt{2}\\cdot(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) = \\sqrt{2}\\cdot\\sqrt{2} - \\sqrt{2}\\cdot\\sqrt{3} = 2 - \\sqrt{6}\\]\n\n\\[\\sqrt{3}\\cdot(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) = \\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{2} - \\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{3} = \\sqrt{6} - 3\\]\n\nDodajemy:\n\n\\[(2 - \\sqrt{6}) + (\\sqrt{6} - 3) = 2 - \\sqrt{6} + \\sqrt{6} - 3 = 2 - 3 = \\boxed{-1}\\]\n\nSkładniki \\(-\\sqrt{6}\\) i \\(+\\sqrt{6}\\) **znoszą się** - to kluczowy moment.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyta w Sposobie 1: \\((\\sqrt{2}+\\sqrt{3})(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) = (\\sqrt{2})^2 - (\\sqrt{3})^2\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność pierwiastka:\n\\[(\\sqrt{a})^2 = a \\quad \\text{dla } a \\geq 0\\]\nUżyta w obu sposobach: \\((\\sqrt{2})^2 = 2\\), \\((\\sqrt{3})^2 = 3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(5 - 2\\sqrt{6}\\) | Uczeń liczy \\((\\sqrt{2} - \\sqrt{3})^2 = 2 - 2\\sqrt{6} + 3 = 5 - 2\\sqrt{6}\\) - myli wyrażenie z kwadratem różnicy |\n| B: \\(5\\) | Uczeń liczy \\((\\sqrt{2} + \\sqrt{3})^2 = 2 + 2\\sqrt{6} + 3\\) i gubi \\(\\sqrt{6}\\), lub sumuje \\(2 + 3\\) bez znaku |\n| C: \\(5 + 2\\sqrt{6}\\) | Uczeń liczy \\((\\sqrt{2} + \\sqrt{3})^2 = 5 + 2\\sqrt{6}\\) - myli wyrażenie z kwadratem sumy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{3} = \\sqrt{6}\\), NIE \\(\\sqrt{5}\\)! To jeden z najczęstszych błędów przy pierwiastkach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wymnożeniu nawiasów zawsze szukaj składników, które się znoszą - tu \\(-\\sqrt{6} + \\sqrt{6} = 0\\) eliminuje całkowicie wyrazy z pierwiastkiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy widzisz ten sam nawias w obu składnikach sumy, zawsze spróbuj wyłączyć go przed nawias - Sposób 1 jest wtedy dwukrotnie szybszy od wymnażania wprost.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\\(\\sqrt{2}(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) + \\sqrt{3}(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) = (\\sqrt{2}+\\sqrt{3})(\\sqrt{2}-\\sqrt{3})\\).\nKorzystamy ze wzoru \\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\\):\n\\((\\sqrt{2})^2 - (\\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1\\).\n\n### Sposób 2 - Rozwinięcie\n\\(\\sqrt{2}\\cdot\\sqrt{2} - \\sqrt{2}\\cdot\\sqrt{3} + \\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{2} - \\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{3} = 2 - \\sqrt{6} + \\sqrt{6} - 3 = -1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(5 - 2\\sqrt{6}\\)** - to \\((\\sqrt{2}-\\sqrt{3})^2\\), błąd znaku.\n- **B. \\(5\\)** - to \\((\\sqrt{2})^2 + (\\sqrt{3})^2\\), błędny wzór.\n- **C. \\(5 + 2\\sqrt{6}\\)** - to \\((\\sqrt{2}+\\sqrt{3})^2\\).\n\n**Trik:** rozpoznanie wspólnego czynnika \\((\\sqrt{2}-\\sqrt{3})\\) i zastosowanie wzoru skróconego mnożenia.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 1. (0-1)<br>Wartość wyrażenia √2 ⋅൫√2 -√3൯+ √3 ⋅൫√2 -√3൯ jest równa<br>A. 5 -2√6<br>B. 5<br>C. 5 + 2√6<br>D. -1<br>Rozwiązanie zadania. Wartość wyrażenia √2⋅(√2-√3) + √3⋅(√2-√3) jest równa A. 5-2√6 B. 5 C. 5+2√6 D. -1</p>","answer_text_html":"<ol><li>Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki</li></ol>\n<p>zadania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym</li></ol>\n<p>zapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną liczbę<br>punktów.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>Wartość wyrażenia wynosi \\(-1\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika</h4>\n<p>Zauważamy, że oba składniki mają wspólny czynnik \\((\\sqrt{2} - \\sqrt{3})\\).</p>\n<p>Wyłączamy go przed nawias:</p>\n<p>\\[\\sqrt{2}\\cdot(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) + \\sqrt{3}\\cdot(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) = (\\sqrt{2} + \\sqrt{3})\\cdot(\\sqrt{2}-\\sqrt{3})\\]</p>\n<p>To jest wzór na <strong>różnicę kwadratów</strong>: \\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\\), gdzie \\(a = \\sqrt{2}\\), \\(b = \\sqrt{3}\\):</p>\n<p>\\[(\\sqrt{2} + \\sqrt{3})\\cdot(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) = (\\sqrt{2})^2 - (\\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = \\boxed{-1}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - wymnożenie nawiasów wprost</h4>\n<p>Mnożymy każdy nawias osobno, bez wyłączania czynnika:</p>\n<p>\\[\\sqrt{2}\\cdot(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) = \\sqrt{2}\\cdot\\sqrt{2} - \\sqrt{2}\\cdot\\sqrt{3} = 2 - \\sqrt{6}\\]</p>\n<p>\\[\\sqrt{3}\\cdot(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) = \\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{2} - \\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{3} = \\sqrt{6} - 3\\]</p>\n<p>Dodajemy:</p>\n<p>\\[(2 - \\sqrt{6}) + (\\sqrt{6} - 3) = 2 - \\sqrt{6} + \\sqrt{6} - 3 = 2 - 3 = \\boxed{-1}\\]</p>\n<p>Składniki \\(-\\sqrt{6}\\) i \\(+\\sqrt{6}\\) <strong>znoszą się</strong> - to kluczowy moment.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)</strong> - różnica kwadratów:<br>\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]<br>Użyta w Sposobie 1: \\((\\sqrt{2}+\\sqrt{3})(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) = (\\sqrt{2})^2 - (\\sqrt{3})^2\\).</p>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - własność pierwiastka:<br>\\[(\\sqrt{a})^2 = a \\quad \\text{dla } a \\geq 0\\]<br>Użyta w obu sposobach: \\((\\sqrt{2})^2 = 2\\), \\((\\sqrt{3})^2 = 3\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A: \\(5 - 2\\sqrt{6}\\) | Uczeń liczy \\((\\sqrt{2} - \\sqrt{3})^2 = 2 - 2\\sqrt{6} + 3 = 5 - 2\\sqrt{6}\\) - myli wyrażenie z kwadratem różnicy |<br>| B: \\(5\\) | Uczeń liczy \\((\\sqrt{2} + \\sqrt{3})^2 = 2 + 2\\sqrt{6} + 3\\) i gubi \\(\\sqrt{6}\\), lub sumuje \\(2 + 3\\) bez znaku |<br>| C: \\(5 + 2\\sqrt{6}\\) | Uczeń liczy \\((\\sqrt{2} + \\sqrt{3})^2 = 5 + 2\\sqrt{6}\\) - myli wyrażenie z kwadratem sumy |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{3} = \\sqrt{6}\\), NIE \\(\\sqrt{5}\\)! To jeden z najczęstszych błędów przy pierwiastkach.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po wymnożeniu nawiasów zawsze szukaj składników, które się znoszą - tu \\(-\\sqrt{6} + \\sqrt{6} = 0\\) eliminuje całkowicie wyrazy z pierwiastkiem.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy widzisz ten sam nawias w obu składnikach sumy, zawsze spróbuj wyłączyć go przed nawias - Sposób 1 jest wtedy dwukrotnie szybszy od wymnażania wprost.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika</h5>\n<p>\\(\\sqrt{2}(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) + \\sqrt{3}(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) = (\\sqrt{2}+\\sqrt{3})(\\sqrt{2}-\\sqrt{3})\\).<br>Korzystamy ze wzoru \\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\\):<br>\\((\\sqrt{2})^2 - (\\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Rozwinięcie</h5>\n<p>\\(\\sqrt{2}\\cdot\\sqrt{2} - \\sqrt{2}\\cdot\\sqrt{3} + \\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{2} - \\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{3} = 2 - \\sqrt{6} + \\sqrt{6} - 3 = -1\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(5 - 2\\sqrt{6}\\)</strong> - to \\((\\sqrt{2}-\\sqrt{3})^2\\), błąd znaku.</li><li><strong>B. \\(5\\)</strong> - to \\((\\sqrt{2})^2 + (\\sqrt{3})^2\\), błędny wzór.</li><li><strong>C. \\(5 + 2\\sqrt{6}\\)</strong> - to \\((\\sqrt{2}+\\sqrt{3})^2\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> rozpoznanie wspólnego czynnika \\((\\sqrt{2}-\\sqrt{3})\\) i zastosowanie wzoru skróconego mnożenia.</p>"}]}