{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nWykresem funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = -3(𝑥+ 4)(𝑥-2) jest\nparabola o wierzchołku 𝑊= (𝑝, 𝑞). Współrzędne wierzchołka 𝑊 spełniają warunki\nA. 𝑝> 0 i 𝑞> 0\nB. 𝑝< 0 i 𝑞> 0\nC. 𝑝< 0 i 𝑞< 0\nD. 𝑝> 0 i 𝑞< 0\n-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑥\n𝑦\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 11. i 12.\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej 𝑓. Jednym z miejsc\nzerowych tej funkcji jest liczba 2. Do wykresu funkcji 𝑓 należy punkt (0, 3). Prosta o równaniu\n𝑥= -2 jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji 𝑓.\nRozwiązanie zadania. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba 2. Do wykresu funkcji f należy punkt (0,3). Prosta o równaniu x=-2 jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji f. Wartość funkcji $f$ dla argumentu $(-4)$ jest równa A. -2 B. 0 C. 3 D. 4","answer":"B","answer_text":"10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(p < 0\\) i \\(q > 0\\)\n\n## Sposób 1 - Postać iloczynowa → postać kanoniczna\n\nMamy funkcję w **postaci iloczynowej**:\n\\[f(x) = -3(x+4)(x-2)\\]\n\n**Krok 1: Znajdź miejsca zerowe.**\n\nMiejsca zerowe to punkty, gdzie \\(f(x) = 0\\):\n\\[x_1 = -4, \\quad x_2 = 2\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz współrzędną \\(p\\) wierzchołka.**\n\nWierzchołek leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-4 + 2}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\]\n\nZatem \\(p = -1 < 0\\). ✓\n\n**Krok 3: Wyznacz współrzędną \\(q\\) wierzchołka.**\n\nPodstawiamy \\(x = p = -1\\) do wzoru funkcji:\n\\[q = f(-1) = -3 \\cdot (-1+4) \\cdot (-1-2) = -3 \\cdot 3 \\cdot (-3) = -3 \\cdot (-9) = 27\\]\n\nZatem \\(q = 27 > 0\\). ✓\n\n**Wniosek:** \\(p < 0\\) i \\(q > 0\\) → **odpowiedź B**.\n\n## Sposób 2 - Rozwinięcie do postaci ogólnej i wzory na wierzchołek\n\nRozwijamy nawiasy:\n\\[f(x) = -3(x+4)(x-2) = -3(x^2 + 4x - 2x - 8) = -3(x^2 + 2x - 8)\\]\n\\[f(x) = -3x^2 - 6x + 24\\]\n\nMamy \\(a = -3\\), \\(b = -6\\), \\(c = 24\\).\n\n**Wyznaczamy \\(p\\):**\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-6}{2 \\cdot (-3)} = -\\frac{-6}{-6} = -1\\]\n\nZatem \\(p = -1 < 0\\). ✓\n\n**Wyznaczamy \\(\\Delta\\) i \\(q\\):**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \\cdot (-3) \\cdot 24 = 36 + 288 = 324\\]\n\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a} = -\\frac{324}{4 \\cdot (-3)} = -\\frac{324}{-12} = 27\\]\n\nZatem \\(q = 27 > 0\\). ✓\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1: **odpowiedź B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędne wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyte w Sposobie 2 do bezpośredniego obliczenia \\(p\\) i \\(q\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa (wzory Viète'a):\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2}\\]\nUżyte w Sposobie 1 - wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi (wynika ze wzorów Viète'a: \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\), a \\(p = -\\frac{b}{2a}\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń liczy \\(p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-4+2}{2}\\) poprawnie, ale myli znak - myśli, że \\(\\frac{-2}{2} = 1 > 0\\) zamiast \\(-1 < 0\\) |\n| C | Poprawnie wyznacza \\(p < 0\\), ale przy obliczaniu \\(q\\) gubi znak \\(-3 \\cdot 3 \\cdot (-3)\\) i wychodzi \\(q < 0\\) |\n| D | Myli się przy wyznaczaniu \\(p\\): bierze środek między \\(|x_1|\\) i \\(|x_2|\\) jako \\(\\frac{4+2}{2} = 3 > 0\\) - zapomina o znakach miejsc zerowych |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek między miejscami zerowymi to \\(\\frac{x_1 + x_2}{2}\\) - pamiętaj o znakach! Tu \\(x_1 = -4\\), więc \\(\\frac{-4+2}{2} = -1\\), nie \\(\\frac{4+2}{2} = 3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(q = f(p)\\) mamy trzy czynniki: \\(-3\\), \\((p+4)\\) i \\((p-2)\\). Dwa minusy dają plus - nie zgub żadnego znaku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola ma ramiona skierowane **w dół** (współczynnik \\(a = -3 < 0\\)), więc wierzchołek jest najwyższym punktem wykresu - \\(q > 0\\) jest tu jak najbardziej możliwe. Nie zakładaj pochopnie, że „ujemna parabola\" oznacza ujemny wierzchołek.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Oś symetrii\nMiejsca zerowe: \\(-4\\) i \\(2\\). Oś symetrii: \\(p = \\dfrac{-4+2}{2} = -1 < 0\\).\nWspółczynnik \\(a = -3 < 0\\) - ramiona w dół, wierzchołek to maksimum.\n\\(q = f(-1) = -3(-1+4)(-1-2) = -3\\cdot 3\\cdot(-3) = 27 > 0\\).\nStąd \\(p < 0\\) i \\(q > 0\\).\n\n### Sposób 2 - Graficznie\nParabola z ramionami w dół i miejscami zerowymi \\(-4, 2\\) ma wierzchołek ponad osią OX i między tymi miejscami zerowymi (po lewej od zera).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, D** - \\(p > 0\\), ale oś symetrii leży w \\(-1\\).\n- **C** - \\(q < 0\\), ale wierzchołek jest maksimum dodatnim.\n\n**Zasada:** oś symetrii: \\(p = \\tfrac{x_1+x_2}{2}\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>Wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = -3(𝑥+ 4)(𝑥-2) jest<br>parabola o wierzchołku 𝑊= (𝑝, 𝑞). Współrzędne wierzchołka 𝑊 spełniają warunki<br>A. 𝑝&gt; 0 i 𝑞&gt; 0<br>B. 𝑝&lt; 0 i 𝑞&gt; 0<br>C. 𝑝&lt; 0 i 𝑞&lt; 0<br>D. 𝑝&gt; 0 i 𝑞&lt; 0<br>-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑥<br>𝑦<br>3<br>2<br>1<br>-1<br>-2<br>-3</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Informacja do zadań 11. i 12.<br>Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej 𝑓. Jednym z miejsc<br>zerowych tej funkcji jest liczba 2. Do wykresu funkcji 𝑓 należy punkt (0, 3). Prosta o równaniu<br>𝑥= -2 jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji 𝑓.<br>Rozwiązanie zadania. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba 2. Do wykresu funkcji f należy punkt (0,3). Prosta o równaniu x=-2 jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji f. Wartość funkcji $f$ dla argumentu $(-4)$ jest równa A. -2 B. 0 C. 3 D. 4</p>","answer_text_html":"<ol><li>W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać</li></ol>\n<p>przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych<br>sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje<br>prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>\\(p &lt; 0\\) i \\(q &gt; 0\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Postać iloczynowa → postać kanoniczna</h4>\n<p>Mamy funkcję w <strong>postaci iloczynowej</strong>:<br>\\[f(x) = -3(x+4)(x-2)\\]</p>\n<p><strong>Krok 1: Znajdź miejsca zerowe.</strong></p>\n<p>Miejsca zerowe to punkty, gdzie \\(f(x) = 0\\):<br>\\[x_1 = -4, \\quad x_2 = 2\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz współrzędną \\(p\\) wierzchołka.</strong></p>\n<p>Wierzchołek leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi:<br>\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-4 + 2}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\]</p>\n<p>Zatem \\(p = -1 &lt; 0\\). ✓</p>\n<p><strong>Krok 3: Wyznacz współrzędną \\(q\\) wierzchołka.</strong></p>\n<p>Podstawiamy \\(x = p = -1\\) do wzoru funkcji:<br>\\[q = f(-1) = -3 \\cdot (-1+4) \\cdot (-1-2) = -3 \\cdot 3 \\cdot (-3) = -3 \\cdot (-9) = 27\\]</p>\n<p>Zatem \\(q = 27 &gt; 0\\). ✓</p>\n<p><strong>Wniosek:</strong> \\(p &lt; 0\\) i \\(q &gt; 0\\) → <strong>odpowiedź B</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Rozwinięcie do postaci ogólnej i wzory na wierzchołek</h4>\n<p>Rozwijamy nawiasy:<br>\\[f(x) = -3(x+4)(x-2) = -3(x^2 + 4x - 2x - 8) = -3(x^2 + 2x - 8)\\]<br>\\[f(x) = -3x^2 - 6x + 24\\]</p>\n<p>Mamy \\(a = -3\\), \\(b = -6\\), \\(c = 24\\).</p>\n<p><strong>Wyznaczamy \\(p\\):</strong><br>\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-6}{2 \\cdot (-3)} = -\\frac{-6}{-6} = -1\\]</p>\n<p>Zatem \\(p = -1 &lt; 0\\). ✓</p>\n<p><strong>Wyznaczamy \\(\\Delta\\) i \\(q\\):</strong><br>\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \\cdot (-3) \\cdot 24 = 36 + 288 = 324\\]<br>\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a} = -\\frac{324}{4 \\cdot (-3)} = -\\frac{324}{-12} = 27\\]</p>\n<p>Zatem \\(q = 27 &gt; 0\\). ✓</p>\n<p>Wynik zgodny ze Sposobem 1: <strong>odpowiedź B</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - współrzędne wierzchołka paraboli:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]<br>Użyte w Sposobie 2 do bezpośredniego obliczenia \\(p\\) i \\(q\\).</p>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać iloczynowa (wzory Viète&#x27;a):<br>\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2}\\]<br>Użyte w Sposobie 1 - wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi (wynika ze wzorów Viète&#x27;a: \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\), a \\(p = -\\frac{b}{2a}\\)).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Uczeń liczy \\(p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-4+2}{2}\\) poprawnie, ale myli znak - myśli, że \\(\\frac{-2}{2} = 1 &gt; 0\\) zamiast \\(-1 &lt; 0\\) |<br>| C | Poprawnie wyznacza \\(p &lt; 0\\), ale przy obliczaniu \\(q\\) gubi znak \\(-3 \\cdot 3 \\cdot (-3)\\) i wychodzi \\(q &lt; 0\\) |<br>| D | Myli się przy wyznaczaniu \\(p\\): bierze środek między \\(|x_1|\\) i \\(|x_2|\\) jako \\(\\frac{4+2}{2} = 3 &gt; 0\\) - zapomina o znakach miejsc zerowych |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Środek między miejscami zerowymi to \\(\\frac{x_1 + x_2}{2}\\) - pamiętaj o znakach! Tu \\(x_1 = -4\\), więc \\(\\frac{-4+2}{2} = -1\\), nie \\(\\frac{4+2}{2} = 3\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu \\(q = f(p)\\) mamy trzy czynniki: \\(-3\\), \\((p+4)\\) i \\((p-2)\\). Dwa minusy dają plus - nie zgub żadnego znaku!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Parabola ma ramiona skierowane <strong>w dół</strong> (współczynnik \\(a = -3 &lt; 0\\)), więc wierzchołek jest najwyższym punktem wykresu - \\(q &gt; 0\\) jest tu jak najbardziej możliwe. Nie zakładaj pochopnie, że „ujemna parabola&quot; oznacza ujemny wierzchołek.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Oś symetrii</h5>\n<p>Miejsca zerowe: \\(-4\\) i \\(2\\). Oś symetrii: \\(p = \\dfrac{-4+2}{2} = -1 &lt; 0\\).<br>Współczynnik \\(a = -3 &lt; 0\\) - ramiona w dół, wierzchołek to maksimum.<br>\\(q = f(-1) = -3(-1+4)(-1-2) = -3\\cdot 3\\cdot(-3) = 27 &gt; 0\\).<br>Stąd \\(p &lt; 0\\) i \\(q &gt; 0\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Graficznie</h5>\n<p>Parabola z ramionami w dół i miejscami zerowymi \\(-4, 2\\) ma wierzchołek ponad osią OX i między tymi miejscami zerowymi (po lewej od zera).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, D</strong> - \\(p &gt; 0\\), ale oś symetrii leży w \\(-1\\).</li><li><strong>C</strong> - \\(q &lt; 0\\), ale wierzchołek jest maksimum dodatnim.</li></ul>\n<p><strong>Zasada:</strong> oś symetrii: \\(p = \\tfrac{x_1+x_2}{2}\\).</p>"}]}