{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nDrugim miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba\nA. -2\nB. -3\nC. -4\nD. -6\nRozwiązanie zadania. Na rysunku przedstawiono \\uline{fragment} wykresu funkcji kwadratowej f. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba 2. Do wykresu funkcji f należy punkt (0,3). Prosta o równaniu x=-2 jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji f. Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba A. -2 B. -3 C. -4 D. -6","answer":"D","answer_text":"11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(-6\\))\n\n## Sposób 1 - oś symetrii jako środek między miejscami zerowymi\n\nKluczowa własność paraboli: **oś symetrii przechodzi przez punkt leżący dokładnie w połowie między miejscami zerowymi**. Innymi słowy, oś symetrii to środek odcinka łączącego oba miejsca zerowe.\n\nNiech drugie miejsce zerowe wynosi \\(x_2\\). Mamy:\n\n\\[\\frac{x_1 + x_2}{2} = p\\]\n\ngdzie \\(p\\) to odcięta osi symetrii. Podstawiamy \\(x_1 = 2\\), \\(p = -2\\):\n\n\\[\\frac{2 + x_2}{2} = -2\\]\n\n\\[2 + x_2 = -4\\]\n\n\\[\\boxed{x_2 = -6}\\]\n\n## Sposób 2 - postać iloczynowa + punkt (0, 3)\n\nKorzystamy z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej:\n\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\nWiemy, że \\(x_1 = 2\\), więc:\n\n\\[f(x) = a(x - 2)(x - x_2)\\]\n\nPodstawiamy punkt \\((0, 3)\\), czyli \\(f(0) = 3\\):\n\n\\[a(0 - 2)(0 - x_2) = 3\\]\n\\[a \\cdot (-2) \\cdot (-x_2) = 3\\]\n\\[2a x_2 = 3 \\quad \\Rightarrow \\quad a = \\frac{3}{2x_2}\\]\n\nTeraz korzystamy z warunku na oś symetrii. Dla postaci \\(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\) oś symetrii to:\n\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = -2\\]\n\n\\[\\frac{2 + x_2}{2} = -2 \\quad \\Rightarrow \\quad x_2 = -6\\]\n\nSprawdzamy wartość \\(a\\):\n\n\\[a = \\frac{3}{2 \\cdot (-6)} = -\\frac{1}{4}\\]\n\nWeryfikacja punktu \\((0, 3)\\):\n\n\\[f(0) = -\\frac{1}{4}(0-2)(0+6) = -\\frac{1}{4} \\cdot (-2) \\cdot 6 = -\\frac{1}{4} \\cdot (-12) = 3 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek i oś symetrii:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad W = (p, q)\\]\nOś symetrii to prosta \\(x = p\\). W Sposobie 1 skorzystaliśmy z faktu, że \\(p\\) jest środkiem między miejscami zerowymi.\n\n**Dział 7 - postać iloczynowa:**\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(x_2\\) i \\(a\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(-2\\)) | Uczeń podaje odcięta osi symetrii jako drugie miejsce zerowe - to inna rzecz! Oś symetrii to prosta \\(x = -2\\), a nie zero funkcji. |\n| B (\\(-3\\)) | Brak sensu geometrycznego - środek między \\(2\\) a \\(-3\\) to \\(-0{,}5 \\neq -2\\). Prawdopodobnie błędne obliczenie odległości. |\n| C (\\(-4\\)) | **Najczęstszy błąd**: uczeń liczy „\\(-2\\) minus \\(2\\) to \\(-4\\)\", odejmując wartość pierwszego zera od osi. Zapomina, że odległość od \\(x_1 = 2\\) do osi \\(x = -2\\) wynosi \\(4\\) (nie \\(2\\)), więc drugie zero jest o \\(4\\) dalej w lewo od osi: \\(-2 - 4 = -6\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii to **środek** między zerami - nie chodzi o to, żeby odjąć wartość jednego zera od osi, ale żeby obliczyć odległość od zera do osi i tyle samo odmierzyć po drugiej stronie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź A (\\(-2\\)) to pułapka na nieuważnych - \\(-2\\) pojawia się w treści zadania jako oś symetrii, ale nie jako miejsce zerowe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\((0, 3)\\) nie jest potrzebny do znalezienia drugiego miejsca zerowego (wystarczy sam warunek osi symetrii) - ale pozwala wyznaczyć współczynnik \\(a\\) i w pełni opisać funkcję. Dobrze z niego skorzystać przy weryfikacji.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Symetria miejsc zerowych\nOś symetrii \\(x = -2\\) leży w środku między miejscami zerowymi \\(x_1\\) i \\(x_2\\).\n\\(\\dfrac{x_1 + x_2}{2} = -2\\). Wiemy \\(x_1 = 2\\). Stąd \\(2 + x_2 = -4 \\Rightarrow x_2 = -6\\).\n\n### Sposób 2 - Odległość od osi symetrii\nMiejsce zerowe \\(2\\) odległe od \\(-2\\) o \\(4\\). Drugie musi być w odległości \\(4\\) po przeciwnej stronie: \\(-2 - 4 = -6\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-2\\)** - to oś, nie miejsce zerowe.\n- **B, C** - nieprawidłowa odległość od osi symetrii.\n\n**Zasada:** oś symetrii paraboli dzieli odcinek między miejscami zerowymi na połowy.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>Drugim miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba<br>A. -2<br>B. -3<br>C. -4<br>D. -6<br>Rozwiązanie zadania. Na rysunku przedstawiono \\uline{fragment} wykresu funkcji kwadratowej f. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba 2. Do wykresu funkcji f należy punkt (0,3). Prosta o równaniu x=-2 jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji f. Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba A. -2 B. -3 C. -4 D. -6</p>","answer_text_html":"<ol><li>W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli</li></ol>\n<p>podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia<br>rozwiązania.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D (\\(-6\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - oś symetrii jako środek między miejscami zerowymi</h4>\n<p>Kluczowa własność paraboli: <strong>oś symetrii przechodzi przez punkt leżący dokładnie w połowie między miejscami zerowymi</strong>. Innymi słowy, oś symetrii to środek odcinka łączącego oba miejsca zerowe.</p>\n<p>Niech drugie miejsce zerowe wynosi \\(x_2\\). Mamy:</p>\n<p>\\[\\frac{x_1 + x_2}{2} = p\\]</p>\n<p>gdzie \\(p\\) to odcięta osi symetrii. Podstawiamy \\(x_1 = 2\\), \\(p = -2\\):</p>\n<p>\\[\\frac{2 + x_2}{2} = -2\\]</p>\n<p>\\[2 + x_2 = -4\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{x_2 = -6}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - postać iloczynowa + punkt (0, 3)</h4>\n<p>Korzystamy z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej:</p>\n<p>\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]</p>\n<p>Wiemy, że \\(x_1 = 2\\), więc:</p>\n<p>\\[f(x) = a(x - 2)(x - x_2)\\]</p>\n<p>Podstawiamy punkt \\((0, 3)\\), czyli \\(f(0) = 3\\):</p>\n<p>\\[a(0 - 2)(0 - x_2) = 3\\]<br>\\[a \\cdot (-2) \\cdot (-x_2) = 3\\]<br>\\[2a x_2 = 3 \\quad \\Rightarrow \\quad a = \\frac{3}{2x_2}\\]</p>\n<p>Teraz korzystamy z warunku na oś symetrii. Dla postaci \\(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\) oś symetrii to:</p>\n<p>\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = -2\\]</p>\n<p>\\[\\frac{2 + x_2}{2} = -2 \\quad \\Rightarrow \\quad x_2 = -6\\]</p>\n<p>Sprawdzamy wartość \\(a\\):</p>\n<p>\\[a = \\frac{3}{2 \\cdot (-6)} = -\\frac{1}{4}\\]</p>\n<p>Weryfikacja punktu \\((0, 3)\\):</p>\n<p>\\[f(0) = -\\frac{1}{4}(0-2)(0+6) = -\\frac{1}{4} \\cdot (-2) \\cdot 6 = -\\frac{1}{4} \\cdot (-12) = 3 \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - wierzchołek i oś symetrii:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad W = (p, q)\\]<br>Oś symetrii to prosta \\(x = p\\). W Sposobie 1 skorzystaliśmy z faktu, że \\(p\\) jest środkiem między miejscami zerowymi.</p>\n<p><strong>Dział 7 - postać iloczynowa:</strong><br>\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]<br>Użyliśmy jej w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(x_2\\) i \\(a\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A (\\(-2\\)) | Uczeń podaje odcięta osi symetrii jako drugie miejsce zerowe - to inna rzecz! Oś symetrii to prosta \\(x = -2\\), a nie zero funkcji. |<br>| B (\\(-3\\)) | Brak sensu geometrycznego - środek między \\(2\\) a \\(-3\\) to \\(-0{,}5 \\neq -2\\). Prawdopodobnie błędne obliczenie odległości. |<br>| C (\\(-4\\)) | <strong>Najczęstszy błąd</strong>: uczeń liczy „\\(-2\\) minus \\(2\\) to \\(-4\\)&quot;, odejmując wartość pierwszego zera od osi. Zapomina, że odległość od \\(x_1 = 2\\) do osi \\(x = -2\\) wynosi \\(4\\) (nie \\(2\\)), więc drugie zero jest o \\(4\\) dalej w lewo od osi: \\(-2 - 4 = -6\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Oś symetrii to <strong>środek</strong> między zerami - nie chodzi o to, żeby odjąć wartość jednego zera od osi, ale żeby obliczyć odległość od zera do osi i tyle samo odmierzyć po drugiej stronie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź A (\\(-2\\)) to pułapka na nieuważnych - \\(-2\\) pojawia się w treści zadania jako oś symetrii, ale nie jako miejsce zerowe.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkt \\((0, 3)\\) nie jest potrzebny do znalezienia drugiego miejsca zerowego (wystarczy sam warunek osi symetrii) - ale pozwala wyznaczyć współczynnik \\(a\\) i w pełni opisać funkcję. Dobrze z niego skorzystać przy weryfikacji.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Symetria miejsc zerowych</h5>\n<p>Oś symetrii \\(x = -2\\) leży w środku między miejscami zerowymi \\(x_1\\) i \\(x_2\\).<br>\\(\\dfrac{x_1 + x_2}{2} = -2\\). Wiemy \\(x_1 = 2\\). Stąd \\(2 + x_2 = -4 \\Rightarrow x_2 = -6\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Odległość od osi symetrii</h5>\n<p>Miejsce zerowe \\(2\\) odległe od \\(-2\\) o \\(4\\). Drugie musi być w odległości \\(4\\) po przeciwnej stronie: \\(-2 - 4 = -6\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-2\\)</strong> - to oś, nie miejsce zerowe.</li><li><strong>B, C</strong> - nieprawidłowa odległość od osi symetrii.</li></ul>\n<p><strong>Zasada:</strong> oś symetrii paraboli dzieli odcinek między miejscami zerowymi na połowy.</p>"}]}