{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nWartość funkcji 𝑓 dla argumentu (-4) jest równa\nA. -2\nB. 0\nC. 3\nD. 4\nRozwiązanie zadania. Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = -3(x+4)(x-2) jest parabola o wierzchołku W=(p,q). Współrzędne wierzchołka W spełniają warunki A. p > 0 i q > 0 B. p < 0 i q > 0 C. p < 0 i q < 0 D. p > 0 i q < 0.","answer":"C","answer_text":"12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII.\nDodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku\narkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 29.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nstosuje\npoprawną\nmetodę\nobliczenia\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego\n𝑥2 -4𝑥+ 3, tzn. stosuje wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego i oblicza te\npierwiastki, popełniając błędy o charakterze dyskalkulicznym\nALBO\n\nzdający w wyniku obliczeń otrzyma wyróżnik ujemny, ale konsekwentnie narysuje parabolę\nALBO\n\npoprawnie rozwiąże nierówność 2(𝑥+ 1)(𝑥-3) < 0.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\n\npomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci\n𝑥∈(3, 1).\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci przedziału domkniętego, to\nmoże otrzymać co najwyżej 1 pkt.\nZadanie 30.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nzapisze 𝑎1 + (𝑎1 + 𝑟) + ⋯+ (𝑎1 + 19𝑟) = 20𝑎21 + 62.\nZadanie 32.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nzapisze długości podstaw trapezu po ich wydłużeniu, np.: 1,25𝑎 oraz 1,25𝑏 (albo\n𝑎+ 25% ⋅𝑎 oraz 𝑏+ 25% ⋅𝑏).\nZadanie 33.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 34.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nzapisze jedynie liczbę 30 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nALBO\n\nzapisze liczbę 9, o ile z zapisów wynika, że interpretuje tę liczbę jako liczbę zdarzeń\nelementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 (np. jest to zilustrowane wypisaniem kilku\nzdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i zdający nie zapisze zdarzeń\nelementarnych, które nie sprzyjają zdarzeniu 𝐴).\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\n\npoprawnie wypisze (lub zaznaczy) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, popełni błąd w ich zliczeniu i konsekwentnie zapisze wynik 𝑥\n30 , gdzie 𝑥 jest\nliczbą zliczonych zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴.\nZadanie 35.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nzastosuje poprawną metodę obliczenia długości boku 𝐵𝐶 trójkąta\nALBO\n\nzastosuje poprawną metodę obliczenia współczynnika kierunkowego w równaniu\nprostej 𝐵𝐶\nALBO\n\nzastosuje poprawną metodę wyznaczenia równania prostej zawierającej wysokość\ntrójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczoną z wierzchołka 𝐶.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\n\nzastosuje poprawną metodę wyznaczenia równania prostej zawierającej wysokość trójkąta\n𝐴𝐵𝐶 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 oraz zastosuje poprawną metodę wyznaczenia\nwspółrzędnych środka 𝐷 odcinka 𝐴𝐵 jako punktu przecięcia prostej 𝐴𝐵 z prostą 𝐶𝐷\nALBO\n\nzastosuje poprawną metodę wyznaczenia równania prostej 𝐴𝐶.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(f(-4) = 3\\)\n\n## Sposób 1 - Symetria paraboli\n\nOś symetrii to \\(x = -2\\). Każde dwa punkty o tej samej wartości funkcji leżą symetrycznie względem tej prostej.\n\nSprawdźmy, jak daleko punkt \\(x = 0\\) leży od osi symetrii:\n\\[0 - (-2) = 2\\]\n\nPunkt symetryczny do \\(x = 0\\) względem prostej \\(x = -2\\) to:\n\\[x = -2 - 2 = -4\\]\n\nSkoro parabola jest symetryczna względem \\(x = -2\\), punkty \\(x = 0\\) i \\(x = -4\\) mają tę samą wartość funkcji:\n\\[f(-4) = f(0) = 3\\]\n\n**Odpowiedź: \\(f(-4) = 3\\)** - bezpośrednio z symetrii, bez żadnych obliczeń.\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji\n\n**Krok 1 - znajdź oba miejsca zerowe.**\n\nJedno miejsce zerowe to \\(x_2 = 2\\). Oś symetrii \\(x = -2\\) jest w połowie między zerami, więc:\n\\[-2 = \\frac{x_1 + 2}{2}\\]\n\\[x_1 + 2 = -4 \\implies x_1 = -6\\]\n\n**Krok 2 - napisz postać iloczynową.**\n\n\\[f(x) = a(x + 6)(x - 2)\\]\n\n**Krok 3 - wyznacz \\(a\\) z warunku \\(f(0) = 3\\).**\n\n\\[f(0) = a(0+6)(0-2) = a \\cdot 6 \\cdot (-2) = -12a = 3\\]\n\\[a = -\\frac{1}{4}\\]\n\n**Krok 4 - oblicz \\(f(-4)\\).**\n\n\\[f(-4) = -\\frac{1}{4}(-4+6)(-4-2) = -\\frac{1}{4} \\cdot 2 \\cdot (-6) = -\\frac{1}{4} \\cdot (-12) = \\mathbf{3}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do zapisania funkcji przez jej miejsca zerowe.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 8)** - wierzchołek i oś symetrii:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nOś symetrii \\(x = p = -2\\) wyznacza środek między zerami: \\(p = \\frac{x_1 + x_2}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(-2\\) | Uczeń myli wartość funkcji z osią symetrii - wpisuje \\(f(-4) = -2\\) bo \"coś jest równe \\(-2\\)\" |\n| B: \\(0\\) | Uczeń podstawia \\(f(-4)\\) do błędnego wzoru lub liczy \\(-4 + 4 = 0\\) bez sensu |\n| D: \\(4\\) | Uczeń liczy odległość \\(-4\\) od osi symetrii (\\(|-4 - (-2)| = 2\\)) i podaje \\(2 \\cdot 2 = 4\\) zamiast wartości funkcji |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii paraboli to prosta \\(x = -2\\), nie punkt. Wartość funkcji to \\(f(-4)\\), a nie \\(x = -2\\). Nie mylmy argumentu z wartością!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria paraboli oznacza, że punkty symetryczne względem osi symetrii mają **tę samą wartość** funkcji - to potężne narzędzie skracające obliczenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyznaczając drugie miejsce zerowe, pamiętaj że oś symetrii leży dokładnie **w połowie** między zerami: \\(x_1 = 2 \\cdot p - x_2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Symetria\nOś symetrii \\(x = -2\\). Punkty symetryczne względem \\(x = -2\\) mają równe wartości funkcji.\nPunkt \\(x = 0\\): \\(f(0) = 3\\). Punkt \\(x = -4\\) jest symetryczny (bo \\(-2 - 2 = -4\\), \\(-2 + 2 = 0\\)).\nStąd \\(f(-4) = f(0) = 3\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór z postaci iloczynowej\nMiejsca zerowe \\(2, -6\\), więc \\(f(x) = a(x-2)(x+6)\\).\n\\(f(0) = a\\cdot(-2)\\cdot 6 = -12a = 3 \\Rightarrow a = -\\tfrac{1}{4}\\).\n\\(f(-4) = -\\tfrac{1}{4}\\cdot(-6)\\cdot 2 = 3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, D** - nie uwzględniają symetrii.\n\n**Zasada:** \\(f(p - t) = f(p + t)\\) dla funkcji kwadratowej z osią symetrii \\(x = p\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12. (0-1)<br>Wartość funkcji 𝑓 dla argumentu (-4) jest równa<br>A. -2<br>B. 0<br>C. 3<br>D. 4<br>Rozwiązanie zadania. Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = -3(x+4)(x-2) jest parabola o wierzchołku W=(p,q). Współrzędne wierzchołka W spełniają warunki A. p &gt; 0 i q &gt; 0 B. p &lt; 0 i q &gt; 0 C. p &lt; 0 i q &lt; 0 D. p &gt; 0 i q &lt; 0.</p>","answer_text_html":"<ol><li>W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub</li></ol>\n<p>geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która<br>wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać<br>1 punkt.<br>II.<br>Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku<br>arkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Zadanie 29.<br>Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:<br><br>stosuje<br>poprawną<br>metodę<br>obliczenia<br>pierwiastków<br>trójmianu<br>kwadratowego<br>𝑥2 -4𝑥+ 3, tzn. stosuje wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego i oblicza te<br>pierwiastki, popełniając błędy o charakterze dyskalkulicznym<br>ALBO<br><br>zdający w wyniku obliczeń otrzyma wyróżnik ujemny, ale konsekwentnie narysuje parabolę<br>ALBO<br><br>poprawnie rozwiąże nierówność 2(𝑥+ 1)(𝑥-3) &lt; 0.<br>Zdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:<br><br>pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci<br>𝑥∈(3, 1).<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci przedziału domkniętego, to<br>może otrzymać co najwyżej 1 pkt.<br>Zadanie 30.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 31.<br>Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:<br><br>zapisze 𝑎1 + (𝑎1 + 𝑟) + ⋯+ (𝑎1 + 19𝑟) = 20𝑎21 + 62.<br>Zadanie 32.<br>Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:<br><br>zapisze długości podstaw trapezu po ich wydłużeniu, np.: 1,25𝑎 oraz 1,25𝑏 (albo<br>𝑎+ 25% ⋅𝑎 oraz 𝑏+ 25% ⋅𝑏).<br>Zadanie 33.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zadanie 34.<br>Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:<br><br>zapisze jedynie liczbę 30 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich<br>zdarzeń elementarnych).<br>ALBO<br><br>zapisze liczbę 9, o ile z zapisów wynika, że interpretuje tę liczbę jako liczbę zdarzeń<br>elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 (np. jest to zilustrowane wypisaniem kilku<br>zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i zdający nie zapisze zdarzeń<br>elementarnych, które nie sprzyjają zdarzeniu 𝐴).<br>Zdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:<br><br>poprawnie wypisze (lub zaznaczy) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające<br>zdarzeniu 𝐴, popełni błąd w ich zliczeniu i konsekwentnie zapisze wynik 𝑥<br>30 , gdzie 𝑥 jest<br>liczbą zliczonych zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴.<br>Zadanie 35.<br>Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:<br><br>zastosuje poprawną metodę obliczenia długości boku 𝐵𝐶 trójkąta<br>ALBO<br><br>zastosuje poprawną metodę obliczenia współczynnika kierunkowego w równaniu<br>prostej 𝐵𝐶<br>ALBO<br><br>zastosuje poprawną metodę wyznaczenia równania prostej zawierającej wysokość<br>trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczoną z wierzchołka 𝐶.<br>Zdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:<br><br>zastosuje poprawną metodę wyznaczenia równania prostej zawierającej wysokość trójkąta<br>𝐴𝐵𝐶 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 oraz zastosuje poprawną metodę wyznaczenia<br>współrzędnych środka 𝐷 odcinka 𝐴𝐵 jako punktu przecięcia prostej 𝐴𝐵 z prostą 𝐶𝐷<br>ALBO<br><br>zastosuje poprawną metodę wyznaczenia równania prostej 𝐴𝐶.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(f(-4) = 3\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Symetria paraboli</h4>\n<p>Oś symetrii to \\(x = -2\\). Każde dwa punkty o tej samej wartości funkcji leżą symetrycznie względem tej prostej.</p>\n<p>Sprawdźmy, jak daleko punkt \\(x = 0\\) leży od osi symetrii:<br>\\[0 - (-2) = 2\\]</p>\n<p>Punkt symetryczny do \\(x = 0\\) względem prostej \\(x = -2\\) to:<br>\\[x = -2 - 2 = -4\\]</p>\n<p>Skoro parabola jest symetryczna względem \\(x = -2\\), punkty \\(x = 0\\) i \\(x = -4\\) mają tę samą wartość funkcji:<br>\\[f(-4) = f(0) = 3\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(f(-4) = 3\\)</strong> - bezpośrednio z symetrii, bez żadnych obliczeń.</p>\n<h4>Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji</h4>\n<p><strong>Krok 1 - znajdź oba miejsca zerowe.</strong></p>\n<p>Jedno miejsce zerowe to \\(x_2 = 2\\). Oś symetrii \\(x = -2\\) jest w połowie między zerami, więc:<br>\\[-2 = \\frac{x_1 + 2}{2}\\]<br>\\[x_1 + 2 = -4 \\implies x_1 = -6\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - napisz postać iloczynową.</strong></p>\n<p>\\[f(x) = a(x + 6)(x - 2)\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - wyznacz \\(a\\) z warunku \\(f(0) = 3\\).</strong></p>\n<p>\\[f(0) = a(0+6)(0-2) = a \\cdot 6 \\cdot (-2) = -12a = 3\\]<br>\\[a = -\\frac{1}{4}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4 - oblicz \\(f(-4)\\).</strong></p>\n<p>\\[f(-4) = -\\frac{1}{4}(-4+6)(-4-2) = -\\frac{1}{4} \\cdot 2 \\cdot (-6) = -\\frac{1}{4} \\cdot (-12) = \\mathbf{3}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać iloczynowa:<br>\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]<br>Użyliśmy jej w Sposobie 2 do zapisania funkcji przez jej miejsca zerowe.</p>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 8)</strong> - wierzchołek i oś symetrii:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]<br>Oś symetrii \\(x = p = -2\\) wyznacza środek między zerami: \\(p = \\frac{x_1 + x_2}{2}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A: \\(-2\\) | Uczeń myli wartość funkcji z osią symetrii - wpisuje \\(f(-4) = -2\\) bo &quot;coś jest równe \\(-2\\)&quot; |<br>| B: \\(0\\) | Uczeń podstawia \\(f(-4)\\) do błędnego wzoru lub liczy \\(-4 + 4 = 0\\) bez sensu |<br>| D: \\(4\\) | Uczeń liczy odległość \\(-4\\) od osi symetrii (\\(|-4 - (-2)| = 2\\)) i podaje \\(2 \\cdot 2 = 4\\) zamiast wartości funkcji |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Oś symetrii paraboli to prosta \\(x = -2\\), nie punkt. Wartość funkcji to \\(f(-4)\\), a nie \\(x = -2\\). Nie mylmy argumentu z wartością!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Symetria paraboli oznacza, że punkty symetryczne względem osi symetrii mają <strong>tę samą wartość</strong> funkcji - to potężne narzędzie skracające obliczenia.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wyznaczając drugie miejsce zerowe, pamiętaj że oś symetrii leży dokładnie <strong>w połowie</strong> między zerami: \\(x_1 = 2 \\cdot p - x_2\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Symetria</h5>\n<p>Oś symetrii \\(x = -2\\). Punkty symetryczne względem \\(x = -2\\) mają równe wartości funkcji.<br>Punkt \\(x = 0\\): \\(f(0) = 3\\). Punkt \\(x = -4\\) jest symetryczny (bo \\(-2 - 2 = -4\\), \\(-2 + 2 = 0\\)).<br>Stąd \\(f(-4) = f(0) = 3\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór z postaci iloczynowej</h5>\n<p>Miejsca zerowe \\(2, -6\\), więc \\(f(x) = a(x-2)(x+6)\\).<br>\\(f(0) = a\\cdot(-2)\\cdot 6 = -12a = 3 \\Rightarrow a = -\\tfrac{1}{4}\\).<br>\\(f(-4) = -\\tfrac{1}{4}\\cdot(-6)\\cdot 2 = 3\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, B, D</strong> - nie uwzględniają symetrii.</li></ul>\n<p><strong>Zasada:</strong> \\(f(p - t) = f(p + t)\\) dla funkcji kwadratowej z osią symetrii \\(x = p\\).</p>"}]}