{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nDane są ciągi (𝑎௡), (𝑏௡), (𝑐௡), (𝑑௡), określone dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1 wzorami:\n𝑎௡= 20𝑛+ 3, 𝑏௡= 2𝑛ଶ-3, 𝑐௡= 𝑛ଶ+ 10𝑛-2, 𝑑௡= 𝑛+187\n𝑛\n. Liczba 197 jest\ndziesiątym wyrazem ciągu\nA. (𝑎௡)\nB. (𝑏௡)\nC. (𝑐௡)\nD. (𝑑௡)\n-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 𝑥\n𝑦\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Dane są ciągi (a_n), (b_n), (c_n), (d_n), określone dla każdej liczby naturalnej n≥1 wzorami: a_n=20n+3, b_n=2n^2-3, c_n=n^2+10n-2, d_n=n+187/n. Liczba 197 jest dziesiątym wyrazem ciągu A. (a_n) B. (b_n) C. (c_n) D. (d_n)","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - ciąg \\((b_n)\\), gdzie \\(b_{10} = 197\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie \\(n = 10\\) do każdego wzoru\n\nSprawdzamy po kolei, który ciąg daje \\(197\\) dla \\(n = 10\\).\n\n**Ciąg \\((a_n)\\):**\n\\[a_{10} = 20 \\cdot 10 + 3 = 200 + 3 = 203 \\neq 197\\]\n\n**Ciąg \\((b_n)\\):**\n\\[b_{10} = 2 \\cdot 10^2 - 3 = 2 \\cdot 100 - 3 = 200 - 3 = 197 \\checkmark\\]\n\n**Odpowiedź znaleziona.** Dla pewności sprawdzamy pozostałe (żeby nie paść w pułapkę, że inne też pasują):\n\n**Ciąg \\((c_n)\\):**\n\\[c_{10} = 10^2 + 10 \\cdot 10 - 2 = 100 + 100 - 2 = 198 \\neq 197\\]\n\n**Ciąg \\((d_n)\\):**\n\\[d_{10} = \\frac{10 + 187}{10} = \\frac{197}{10} = 19{,}7 \\neq 197\\]\n\n**Wniosek:** Jedynie \\(b_{10} = 197\\), więc odpowiedź to **B**.\n\n## Sposób 2 - Rozwiązanie równania \\(b_n = 197\\)\n\nZamiast podstawiać \\(n = 10\\), możemy sprawdzić, czy równanie \\(b_n = 197\\) daje w wyniku \\(n = 10\\):\n\n\\[2n^2 - 3 = 197\\]\n\\[2n^2 = 200\\]\n\\[n^2 = 100\\]\n\\[n = 10\\]\n\nPonieważ \\(n = 10\\) jest liczbą naturalną (\\(n \\geq 1\\)), **197 jest dziesiątym wyrazem ciągu \\((b_n)\\)**.\n\nTę samą metodę możemy zastosować do pozostałych ciągów i sprawdzić, czy dają \\(n = 10\\):\n\n- \\(a_n = 197\\): \\(20n + 3 = 197 \\Rightarrow 20n = 194 \\Rightarrow n = 9{,}7\\) - nie jest liczbą naturalną\n- \\(c_n = 197\\): \\(n^2 + 10n - 2 = 197 \\Rightarrow n^2 + 10n - 199 = 0\\), \\(\\Delta = 100 + 796 = 896\\), \\(\\sqrt{896} \\approx 29{,}9\\) - nie daje całkowitego \\(n\\)\n- \\(d_n = 197\\): \\(\\frac{n+187}{n} = 197 \\Rightarrow n + 187 = 197n \\Rightarrow 187 = 196n \\Rightarrow n = \\frac{187}{196}\\) - nie jest liczbą naturalną\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości \\(n = 10\\) do podanych wzorów ogólnych i wykonanie prostych działań arytmetycznych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość 10. wyrazu | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\((a_n)\\) | \\(a_{10} = 203\\) | Pomylenie \\(20 \\cdot 10 + 3 = 203\\) z \\(197\\); mogło wynikać z liczenia \\(20 \\cdot 9 + 3 = 183\\) i szukania bliskiej wartości |\n| C - \\((c_n)\\) | \\(c_{10} = 198\\) | Wynik zbliżony do \\(197\\) - łatwy błąd o \\(1\\); np. zapomnienie o \\(-2\\) lub pomylenie kolejności działań |\n| D - \\((d_n)\\) | \\(d_{10} = 19{,}7\\) | Uczeń może pomylić wartość \\(197\\) licznika \\((10 + 187 = 197)\\) z wartością całego wyrazu, nie dostrzegając, że wyraz to ułamek \\(\\frac{197}{10}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W ciągu \\((d_n)\\) licznik wynosi \\(n + 187 = 197\\) dla \\(n = 10\\) - to może zmylić! Liczba \\(197\\) pojawia się w liczniku, ale cały wyraz to \\(\\frac{197}{10} = 19{,}7\\), co nie jest szukaną wartością.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg \\((c_n)\\) daje \\(c_{10} = 198\\) - różnica tylko \\(1\\) od szukanego \\(197\\). Sprawdzaj obliczenia uważnie, szczególnie gdy wyniki są bliskie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź **wszystkie** ciągi, nawet jeśli wydaje Ci się, że znalazłeś odpowiedź. W zadaniach wielokrotnego wyboru tylko jedna odpowiedź jest poprawna, ale pomyłka w jednym obliczeniu może Cię zmylić.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie \\(n = 10\\) każdego ciągu\n- \\(a_{10} = 20\\cdot 10 + 3 = 203\\).\n- \\(b_{10} = 2\\cdot 100 - 3 = 197\\) ✓.\n- \\(c_{10} = 100 + 100 - 2 = 198\\).\n- \\(d_{10} = \\tfrac{197}{10} = 19{,}7\\).\n\n### Sposób 2 - Rozwiązanie równania \\(b_n = 197\\)\n\\(2n^2 - 3 = 197 \\Rightarrow 2n^2 = 200 \\Rightarrow n^2 = 100 \\Rightarrow n = 10\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C, D** - \\(n = 10\\) daje inne wartości niż \\(197\\).\n\n**Uwaga:** kolejność sprawdzania - od ciągów prostszych (liniowy, kwadratowy).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Dane są ciągi (𝑎௡), (𝑏௡), (𝑐௡), (𝑑௡), określone dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1 wzorami:<br>𝑎௡= 20𝑛+ 3, 𝑏௡= 2𝑛ଶ-3, 𝑐௡= 𝑛ଶ+ 10𝑛-2, 𝑑௡= 𝑛+187<br>𝑛<br>. Liczba 197 jest<br>dziesiątym wyrazem ciągu<br>A. (𝑎௡)<br>B. (𝑏௡)<br>C. (𝑐௡)<br>D. (𝑑௡)<br>-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 𝑥<br>𝑦<br>4<br>3<br>2<br>1<br>-1<br>-2</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Rozwiązanie zadania. Dane są ciągi (a_n), (b_n), (c_n), (d_n), określone dla każdej liczby naturalnej n≥1 wzorami: a_n=20n+3, b_n=2n^2-3, c_n=n^2+10n-2, d_n=n+187/n. Liczba 197 jest dziesiątym wyrazem ciągu A. (a_n) B. (b_n) C. (c_n) D. (d_n)</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - ciąg \\((b_n)\\), gdzie \\(b_{10} = 197\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Podstawienie \\(n = 10\\) do każdego wzoru</h4>\n<p>Sprawdzamy po kolei, który ciąg daje \\(197\\) dla \\(n = 10\\).</p>\n<p><strong>Ciąg \\((a_n)\\):</strong><br>\\[a_{10} = 20 \\cdot 10 + 3 = 200 + 3 = 203 \\neq 197\\]</p>\n<p><strong>Ciąg \\((b_n)\\):</strong><br>\\[b_{10} = 2 \\cdot 10^2 - 3 = 2 \\cdot 100 - 3 = 200 - 3 = 197 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź znaleziona.</strong> Dla pewności sprawdzamy pozostałe (żeby nie paść w pułapkę, że inne też pasują):</p>\n<p><strong>Ciąg \\((c_n)\\):</strong><br>\\[c_{10} = 10^2 + 10 \\cdot 10 - 2 = 100 + 100 - 2 = 198 \\neq 197\\]</p>\n<p><strong>Ciąg \\((d_n)\\):</strong><br>\\[d_{10} = \\frac{10 + 187}{10} = \\frac{197}{10} = 19{,}7 \\neq 197\\]</p>\n<p><strong>Wniosek:</strong> Jedynie \\(b_{10} = 197\\), więc odpowiedź to <strong>B</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Rozwiązanie równania \\(b_n = 197\\)</h4>\n<p>Zamiast podstawiać \\(n = 10\\), możemy sprawdzić, czy równanie \\(b_n = 197\\) daje w wyniku \\(n = 10\\):</p>\n<p>\\[2n^2 - 3 = 197\\]<br>\\[2n^2 = 200\\]<br>\\[n^2 = 100\\]<br>\\[n = 10\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(n = 10\\) jest liczbą naturalną (\\(n \\geq 1\\)), <strong>197 jest dziesiątym wyrazem ciągu \\((b_n)\\)</strong>.</p>\n<p>Tę samą metodę możemy zastosować do pozostałych ciągów i sprawdzić, czy dają \\(n = 10\\):</p>\n<ul><li>\\(a_n = 197\\): \\(20n + 3 = 197 \\Rightarrow 20n = 194 \\Rightarrow n = 9{,}7\\) - nie jest liczbą naturalną</li><li>\\(c_n = 197\\): \\(n^2 + 10n - 2 = 197 \\Rightarrow n^2 + 10n - 199 = 0\\), \\(\\Delta = 100 + 796 = 896\\), \\(\\sqrt{896} \\approx 29{,}9\\) - nie daje całkowitego \\(n\\)</li><li>\\(d_n = 197\\): \\(\\frac{n+187}{n} = 197 \\Rightarrow n + 187 = 197n \\Rightarrow 187 = 196n \\Rightarrow n = \\frac{187}{196}\\) - nie jest liczbą naturalną</li></ul>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości \\(n = 10\\) do podanych wzorów ogólnych i wykonanie prostych działań arytmetycznych.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wartość 10. wyrazu | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A - \\((a_n)\\) | \\(a_{10} = 203\\) | Pomylenie \\(20 \\cdot 10 + 3 = 203\\) z \\(197\\); mogło wynikać z liczenia \\(20 \\cdot 9 + 3 = 183\\) i szukania bliskiej wartości |<br>| C - \\((c_n)\\) | \\(c_{10} = 198\\) | Wynik zbliżony do \\(197\\) - łatwy błąd o \\(1\\); np. zapomnienie o \\(-2\\) lub pomylenie kolejności działań |<br>| D - \\((d_n)\\) | \\(d_{10} = 19{,}7\\) | Uczeń może pomylić wartość \\(197\\) licznika \\((10 + 187 = 197)\\) z wartością całego wyrazu, nie dostrzegając, że wyraz to ułamek \\(\\frac{197}{10}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W ciągu \\((d_n)\\) licznik wynosi \\(n + 187 = 197\\) dla \\(n = 10\\) - to może zmylić! Liczba \\(197\\) pojawia się w liczniku, ale cały wyraz to \\(\\frac{197}{10} = 19{,}7\\), co nie jest szukaną wartością.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ciąg \\((c_n)\\) daje \\(c_{10} = 198\\) - różnica tylko \\(1\\) od szukanego \\(197\\). Sprawdzaj obliczenia uważnie, szczególnie gdy wyniki są bliskie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze sprawdź <strong>wszystkie</strong> ciągi, nawet jeśli wydaje Ci się, że znalazłeś odpowiedź. W zadaniach wielokrotnego wyboru tylko jedna odpowiedź jest poprawna, ale pomyłka w jednym obliczeniu może Cię zmylić.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Obliczenie \\(n = 10\\) każdego ciągu</h5>\n<ul><li>\\(a_{10} = 20\\cdot 10 + 3 = 203\\).</li><li>\\(b_{10} = 2\\cdot 100 - 3 = 197\\) ✓.</li><li>\\(c_{10} = 100 + 100 - 2 = 198\\).</li><li>\\(d_{10} = \\tfrac{197}{10} = 19{,}7\\).</li></ul>\n<h5>Sposób 2 - Rozwiązanie równania \\(b_n = 197\\)</h5>\n<p>\\(2n^2 - 3 = 197 \\Rightarrow 2n^2 = 200 \\Rightarrow n^2 = 100 \\Rightarrow n = 10\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, C, D</strong> - \\(n = 10\\) daje inne wartości niż \\(197\\).</li></ul>\n<p><strong>Uwaga:</strong> kolejność sprawdzania - od ciągów prostszych (liniowy, kwadratowy).</p>"}]}