{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nCiąg geometryczny (𝑎௡), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest rosnący\ni wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek 𝑎ଷ= 𝑎ଵ⋅𝑎ଶ . Niech 𝑞\noznacza iloraz ciągu (𝑎௡). Wtedy\nA. 𝑎ଵ= 1\n𝑞\nB. 𝑎ଵ= 𝑞\nC. 𝑎ଵ= 𝑞ଶ\nD. 𝑎ଵ= 𝑞ଷ\nRozwiązanie zadania. Ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek a_3 = a_1 ⋅ a_2. Niech q oznacza iloraz ciągu (a_n). Wtedy A. a_1=1/q B. a_1 = q C. a_1 = q² D. a_1 = q³","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(a_1 = q\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawiamy wzory ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym każdy wyraz wyraża się wzorem:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nZatem:\n\\[a_1 = a_1, \\quad a_2 = a_1 \\cdot q, \\quad a_3 = a_1 \\cdot q^2\\]\n\nPodstawiamy do warunku \\(a_3 = a_1 \\cdot a_2\\):\n\\[a_1 \\cdot q^2 = a_1 \\cdot (a_1 \\cdot q)\\]\n\n\\[a_1 \\cdot q^2 = a_1^2 \\cdot q\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(a_1 \\cdot q\\) - możemy to zrobić, bo wszystkie wyrazy są **dodatnie**, więc \\(a_1 > 0\\), a ciąg jest **rosnący** z wyrazami dodatnimi, więc \\(q > 1 > 0\\):\n\n\\[q = a_1\\]\n\n\\[\\boxed{a_1 = q}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnych wartości\n\nSprawdźmy, czy to ma sens. Skoro \\(a_1 = q\\) i ciąg jest rosnący z wyrazami dodatnimi, to musi być \\(q > 1\\).\n\nPrzyjmijmy przykładowo \\(q = 2\\), czyli \\(a_1 = 2\\):\n\\[a_1 = 2, \\quad a_2 = 2 \\cdot 2 = 4, \\quad a_3 = 2 \\cdot 4 = 8\\]\n\nSprawdzamy warunek \\(a_3 = a_1 \\cdot a_2\\):\n\\[8 = 2 \\cdot 4 = 8 \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy, że ciąg jest rosnący i wyrazy dodatnie: \\(2 < 4 < 8\\), wszystkie \\(> 0\\) \\(\\checkmark\\)\n\nWynik potwierdzony: \\(a_1 = q\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia \\(a_2\\) i \\(a_3\\) w postaci zależnej od \\(a_1\\) i \\(q\\), co pozwoliło uprościć warunek \\(a_3 = a_1 \\cdot a_2\\) do jednego równania z jedną niewiadomą.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | Po uproszczeniu \\(a_1 q^2 = a_1^2 q\\) uczeń dzieli przez \\(a_1 q^2\\) zamiast \\(a_1 q\\), otrzymując \\(1 = \\frac{a_1}{q}\\), czyli \\(a_1 = \\frac{1}{q}\\) - błąd w dzieleniu |\n| **C** | Uczeń myli strony równania i pisze \\(a_1^2 q^2 = a_1 q\\), skąd \\(a_1 = \\frac{1}{q}\\) albo podstawia warunek w złej kolejności (\\(a_1 = a_2 \\cdot a_3\\)) i operuje potęgami chaotycznie, dostając \\(a_1 = q^2\\) |\n| **D** | Uczeń błędnie zapisuje wzory: np. przyjmuje \\(a_3 = a_1 \\cdot q^3\\) zamiast \\(a_1 \\cdot q^2\\) (pomylenie indeksu z wykładnikiem - \\(a_n = a_1 \\cdot q^n\\) zamiast \\(q^{n-1}\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to wzór \\(a_n = a_1 \\cdot q^n\\) - pamiętaj, że poprawnie jest \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\), bo pierwszy wyraz to \\(a_1 = a_1 \\cdot q^0 = a_1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"ciąg rosnący z wyrazami dodatnimi\" nie jest ozdobnikiem - gwarantuje \\(q > 1\\), co pozwala nam bezpiecznie dzielić przez \\(q\\) (i przez \\(a_1\\)). Bez tego zastrzeżenia dzielenie przez zero byłoby możliwe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloczyn \\(a_1 \\cdot a_2\\) to **mnożenie wyrazów**, nie wzór ciągu geometrycznego - nie wolno mylić go z \\(a_1 \\cdot q^2\\). To prawy, a nie lewy człon równania!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie wyrazów\nW ciągu geometrycznym: \\(a_2 = a_1 q\\), \\(a_3 = a_1 q^2\\).\nZ warunku: \\(a_1 q^2 = a_1 \\cdot a_1 q = a_1^2 q\\).\nStąd (dzieląc przez \\(a_1 q \\ne 0\\)): \\(q = a_1\\), czyli \\(a_1 = q\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(a_1 = q\\), więc \\(a_2 = q^2\\), \\(a_3 = q^3\\). Warunek: \\(q^3 = q\\cdot q^2 = q^3\\) ✓.\nCiąg rosnący i dodatnie wyrazy → \\(q > 1\\), więc \\(a_1 = q > 1\\) (dodatnie) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a_1 = \\tfrac{1}{q}\\)** - daje \\(a_2 = 1\\), \\(a_3 = q\\), \\(a_1 a_2 = \\tfrac{1}{q} \\ne q\\).\n- **C, D** - nie spełniają warunku \\(a_3 = a_1 a_2\\).\n\n**Zasada:** \\(a_n = a_1 q^{n-1}\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>Ciąg geometryczny (𝑎௡), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest rosnący<br>i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek 𝑎ଷ= 𝑎ଵ⋅𝑎ଶ . Niech 𝑞<br>oznacza iloraz ciągu (𝑎௡). Wtedy<br>A. 𝑎ଵ= 1<br>𝑞<br>B. 𝑎ଵ= 𝑞<br>C. 𝑎ଵ= 𝑞ଶ<br>D. 𝑎ଵ= 𝑞ଷ<br>Rozwiązanie zadania. Ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek a_3 = a_1 ⋅ a_2. Niech q oznacza iloraz ciągu (a_n). Wtedy A. a_1=1/q B. a_1 = q C. a_1 = q² D. a_1 = q³</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>\\(a_1 = q\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Podstawiamy wzory ciągu geometrycznego</h4>\n<p>W ciągu geometrycznym każdy wyraz wyraża się wzorem:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[a_1 = a_1, \\quad a_2 = a_1 \\cdot q, \\quad a_3 = a_1 \\cdot q^2\\]</p>\n<p>Podstawiamy do warunku \\(a_3 = a_1 \\cdot a_2\\):<br>\\[a_1 \\cdot q^2 = a_1 \\cdot (a_1 \\cdot q)\\]</p>\n<p>\\[a_1 \\cdot q^2 = a_1^2 \\cdot q\\]</p>\n<p>Dzielimy obie strony przez \\(a_1 \\cdot q\\) - możemy to zrobić, bo wszystkie wyrazy są <strong>dodatnie</strong>, więc \\(a_1 &gt; 0\\), a ciąg jest <strong>rosnący</strong> z wyrazami dodatnimi, więc \\(q &gt; 1 &gt; 0\\):</p>\n<p>\\[q = a_1\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{a_1 = q}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnych wartości</h4>\n<p>Sprawdźmy, czy to ma sens. Skoro \\(a_1 = q\\) i ciąg jest rosnący z wyrazami dodatnimi, to musi być \\(q &gt; 1\\).</p>\n<p>Przyjmijmy przykładowo \\(q = 2\\), czyli \\(a_1 = 2\\):<br>\\[a_1 = 2, \\quad a_2 = 2 \\cdot 2 = 4, \\quad a_3 = 2 \\cdot 4 = 8\\]</p>\n<p>Sprawdzamy warunek \\(a_3 = a_1 \\cdot a_2\\):<br>\\[8 = 2 \\cdot 4 = 8 \\checkmark\\]</p>\n<p>Sprawdzamy, że ciąg jest rosnący i wyrazy dodatnie: \\(2 &lt; 4 &lt; 8\\), wszystkie \\(&gt; 0\\) \\(\\checkmark\\)</p>\n<p>Wynik potwierdzony: \\(a_1 = q\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór ogólny ciągu geometrycznego:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]<br>Użyliśmy go do wyznaczenia \\(a_2\\) i \\(a_3\\) w postaci zależnej od \\(a_1\\) i \\(q\\), co pozwoliło uprościć warunek \\(a_3 = a_1 \\cdot a_2\\) do jednego równania z jedną niewiadomą.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>A</strong> | Po uproszczeniu \\(a_1 q^2 = a_1^2 q\\) uczeń dzieli przez \\(a_1 q^2\\) zamiast \\(a_1 q\\), otrzymując \\(1 = \\frac{a_1}{q}\\), czyli \\(a_1 = \\frac{1}{q}\\) - błąd w dzieleniu |<br>| <strong>C</strong> | Uczeń myli strony równania i pisze \\(a_1^2 q^2 = a_1 q\\), skąd \\(a_1 = \\frac{1}{q}\\) albo podstawia warunek w złej kolejności (\\(a_1 = a_2 \\cdot a_3\\)) i operuje potęgami chaotycznie, dostając \\(a_1 = q^2\\) |<br>| <strong>D</strong> | Uczeń błędnie zapisuje wzory: np. przyjmuje \\(a_3 = a_1 \\cdot q^3\\) zamiast \\(a_1 \\cdot q^2\\) (pomylenie indeksu z wykładnikiem - \\(a_n = a_1 \\cdot q^n\\) zamiast \\(q^{n-1}\\)) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to wzór \\(a_n = a_1 \\cdot q^n\\) - pamiętaj, że poprawnie jest \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\), bo pierwszy wyraz to \\(a_1 = a_1 \\cdot q^0 = a_1\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek &quot;ciąg rosnący z wyrazami dodatnimi&quot; nie jest ozdobnikiem - gwarantuje \\(q &gt; 1\\), co pozwala nam bezpiecznie dzielić przez \\(q\\) (i przez \\(a_1\\)). Bez tego zastrzeżenia dzielenie przez zero byłoby możliwe.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Iloczyn \\(a_1 \\cdot a_2\\) to <strong>mnożenie wyrazów</strong>, nie wzór ciągu geometrycznego - nie wolno mylić go z \\(a_1 \\cdot q^2\\). To prawy, a nie lewy człon równania!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Podstawienie wyrazów</h5>\n<p>W ciągu geometrycznym: \\(a_2 = a_1 q\\), \\(a_3 = a_1 q^2\\).<br>Z warunku: \\(a_1 q^2 = a_1 \\cdot a_1 q = a_1^2 q\\).<br>Stąd (dzieląc przez \\(a_1 q \\ne 0\\)): \\(q = a_1\\), czyli \\(a_1 = q\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>\\(a_1 = q\\), więc \\(a_2 = q^2\\), \\(a_3 = q^3\\). Warunek: \\(q^3 = q\\cdot q^2 = q^3\\) ✓.<br>Ciąg rosnący i dodatnie wyrazy → \\(q &gt; 1\\), więc \\(a_1 = q &gt; 1\\) (dodatnie) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(a_1 = \\tfrac{1}{q}\\)</strong> - daje \\(a_2 = 1\\), \\(a_3 = q\\), \\(a_1 a_2 = \\tfrac{1}{q} \\ne q\\).</li><li><strong>C, D</strong> - nie spełniają warunku \\(a_3 = a_1 a_2\\).</li></ul>\n<p><strong>Zasada:</strong> \\(a_n = a_1 q^{n-1}\\).</p>"}]}