{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nKąt o mierze 𝛼 jest ostry i tg 𝛼= √5. Wtedy\nA. cosଶ𝛼= 1\n6\nB. cosଶ𝛼= 1\n5\nC. cosଶ𝛼=\nඥ5\n5\nD. cosଶ𝛼= 5\n6\nRozwiązanie zadania. Kąt o mierze α jest ostry i tgα =√5. Wtedy A. cos²α = 1/6 B. cos²α = 1/5 C. cos²α = √5/5 D. cos²α = 5/6.","answer":"A","answer_text":"16.\n17.\n18.\n19.\n20.\n21.\n22.\n23.\n24.\n25.\n26.\n27.\n28.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\[\\cos^2\\alpha = \\frac{1}{6}\\]\n\n## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna + podstawienie\n\nWiemy, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\sqrt{5}\\), czyli:\n\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{5} \\cdot \\cos\\alpha\\]\n\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nPodstawiamy \\(\\sin\\alpha = \\sqrt{5}\\cos\\alpha\\):\n\\[(\\sqrt{5}\\cos\\alpha)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[5\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[6\\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\boxed{\\cos^2\\alpha = \\frac{1}{6}}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór na \\(\\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\)\n\nZ jedynki trygonometrycznej dzielimy obie strony przez \\(\\cos^2\\alpha\\):\n\\[\\frac{\\sin^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} + \\frac{\\cos^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\nPodstawiamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\sqrt{5}\\):\n\\[(\\sqrt{5})^2 + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\\[5 + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\\[6 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\\[\\boxed{\\cos^2\\alpha = \\frac{1}{6}}\\]\n\nTen sposób jest szybszy - omija podstawianie i od razu daje wynik w jednym kroku.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w obu sposobach jako punktu wyjścia.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nPosłużyła do wyrażenia \\(\\sin\\alpha\\) przez \\(\\cos\\alpha\\) (Sposób 1) i do uzyskania wzoru \\(\\operatorname{tg}^2\\alpha + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\) (Sposób 2).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **B** | Uczeń myli \\(\\cos^2\\alpha\\) z \\(\\frac{1}{\\operatorname{tg}^2\\alpha} = \\frac{1}{5}\\) - to wzór na coś zupełnie innego |\n| **C** | Uczeń oblicza \\(\\cos\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{6}}\\) poprawnie, ale zamiast podnieść do kwadratu, zostawia \\(\\frac{\\sqrt{5}}{5}\\) - myli \\(\\cos\\alpha\\) z \\(\\cos^2\\alpha\\) |\n| **D** | Uczeń dostaje \\(6\\cos^2\\alpha = 1\\), ale błędnie dzieli: pisze \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{6}{1} = 6\\), po czym „poprawia\" do \\(\\frac{5}{6}\\) - typowy błąd odwracania ułamka |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\operatorname{tg}^2\\alpha + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\), **nie** \\(\\frac{1}{\\cos^2\\alpha} - 1\\). Kolejność ma znaczenie przy przenoszeniu wyrazów!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\\(\\frac{\\sqrt{5}}{5}\\)) to wartość \\(\\cos\\alpha\\), **nie** \\(\\cos^2\\alpha\\) - zadanie pyta o kwadrat! Zawsze sprawdź, czy podnieść do kwadratu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Fakt, że kąt jest ostry (\\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\)) zapewnia \\(\\cos\\alpha > 0\\), ale tu i tak szukamy \\(\\cos^2\\alpha > 0\\) - więc warunek ostrości nie zmienia obliczeń, tylko potwierdza, że rozwiązanie istnieje.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Tożsamość \\(1 + \\tg^2\\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^2\\alpha}\\)\n\\(1 + (\\sqrt{5})^2 = 1 + 5 = 6\\).\n\\(\\dfrac{1}{\\cos^2\\alpha} = 6 \\Rightarrow \\cos^2\\alpha = \\dfrac{1}{6}\\).\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\n\\(\\tg\\alpha = \\tfrac{\\sqrt 5}{1}\\), więc przyprostokątna naprzeciw \\(= \\sqrt{5}\\), przyprostokątna przy \\(= 1\\), przeciwprostokątna \\(= \\sqrt{1+5} = \\sqrt 6\\).\n\\(\\cos\\alpha = \\tfrac{1}{\\sqrt 6}\\), \\(\\cos^2\\alpha = \\tfrac{1}{6}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{1}{5}\\)** - pominięto \\(+1\\) w tożsamości.\n- **C. \\(\\tfrac{\\sqrt 5}{5}\\)** - pomyłka \\(\\cos\\alpha\\), \\(\\cos^2\\alpha\\).\n- **D. \\(\\tfrac{5}{6}\\)** - to \\(\\sin^2\\alpha\\), nie \\(\\cos^2\\alpha\\).\n\n**Zasada:** \\(\\tg\\alpha = \\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\) oraz \\(\\sin^2 + \\cos^2 = 1\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"trygonometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 15. (0-1)<br>Kąt o mierze 𝛼 jest ostry i tg 𝛼= √5. Wtedy<br>A. cosଶ𝛼= 1<br>6<br>B. cosଶ𝛼= 1<br>5<br>C. cosଶ𝛼=<br>ඥ5<br>5<br>D. cosଶ𝛼= 5<br>6<br>Rozwiązanie zadania. Kąt o mierze α jest ostry i tgα =√5. Wtedy A. cos²α = 1/6 B. cos²α = 1/5 C. cos²α = √5/5 D. cos²α = 5/6.</p>","answer_text_html":"<p>16.<br>17.<br>18.<br>19.<br>20.<br>21.<br>22.<br>23.<br>24.<br>25.<br>26.<br>27.<br>28.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>\\[\\cos^2\\alpha = \\frac{1}{6}\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - jedynka trygonometryczna + podstawienie</h4>\n<p>Wiemy, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\sqrt{5}\\), czyli:<br>\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{5} \\cdot \\cos\\alpha\\]</p>\n<p>Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(\\sin\\alpha = \\sqrt{5}\\cos\\alpha\\):<br>\\[(\\sqrt{5}\\cos\\alpha)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>\\[5\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>\\[6\\cos^2\\alpha = 1\\]<br>\\[\\boxed{\\cos^2\\alpha = \\frac{1}{6}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - wzór na \\(\\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\)</h4>\n<p>Z jedynki trygonometrycznej dzielimy obie strony przez \\(\\cos^2\\alpha\\):<br>\\[\\frac{\\sin^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} + \\frac{\\cos^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]<br>\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\sqrt{5}\\):<br>\\[(\\sqrt{5})^2 + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]<br>\\[5 + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]<br>\\[6 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]<br>\\[\\boxed{\\cos^2\\alpha = \\frac{1}{6}}\\]</p>\n<p>Ten sposób jest szybszy - omija podstawianie i od razu daje wynik w jednym kroku.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - jedynka trygonometryczna:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>Użyliśmy jej w obu sposobach jako punktu wyjścia.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> - definicja tangensa:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]<br>Posłużyła do wyrażenia \\(\\sin\\alpha\\) przez \\(\\cos\\alpha\\) (Sposób 1) i do uzyskania wzoru \\(\\operatorname{tg}^2\\alpha + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\) (Sposób 2).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>B</strong> | Uczeń myli \\(\\cos^2\\alpha\\) z \\(\\frac{1}{\\operatorname{tg}^2\\alpha} = \\frac{1}{5}\\) - to wzór na coś zupełnie innego |<br>| <strong>C</strong> | Uczeń oblicza \\(\\cos\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{6}}\\) poprawnie, ale zamiast podnieść do kwadratu, zostawia \\(\\frac{\\sqrt{5}}{5}\\) - myli \\(\\cos\\alpha\\) z \\(\\cos^2\\alpha\\) |<br>| <strong>D</strong> | Uczeń dostaje \\(6\\cos^2\\alpha = 1\\), ale błędnie dzieli: pisze \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{6}{1} = 6\\), po czym „poprawia&quot; do \\(\\frac{5}{6}\\) - typowy błąd odwracania ułamka |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że \\(\\operatorname{tg}^2\\alpha + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\), <strong>nie</strong> \\(\\frac{1}{\\cos^2\\alpha} - 1\\). Kolejność ma znaczenie przy przenoszeniu wyrazów!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź C (\\(\\frac{\\sqrt{5}}{5}\\)) to wartość \\(\\cos\\alpha\\), <strong>nie</strong> \\(\\cos^2\\alpha\\) - zadanie pyta o kwadrat! Zawsze sprawdź, czy podnieść do kwadratu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Fakt, że kąt jest ostry (\\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\)) zapewnia \\(\\cos\\alpha &gt; 0\\), ale tu i tak szukamy \\(\\cos^2\\alpha &gt; 0\\) - więc warunek ostrości nie zmienia obliczeń, tylko potwierdza, że rozwiązanie istnieje.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Tożsamość \\(1 + \\tg^2\\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^2\\alpha}\\)</h5>\n<p>\\(1 + (\\sqrt{5})^2 = 1 + 5 = 6\\).<br>\\(\\dfrac{1}{\\cos^2\\alpha} = 6 \\Rightarrow \\cos^2\\alpha = \\dfrac{1}{6}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Trójkąt prostokątny</h5>\n<p>\\(\\tg\\alpha = \\tfrac{\\sqrt 5}{1}\\), więc przyprostokątna naprzeciw \\(= \\sqrt{5}\\), przyprostokątna przy \\(= 1\\), przeciwprostokątna \\(= \\sqrt{1+5} = \\sqrt 6\\).<br>\\(\\cos\\alpha = \\tfrac{1}{\\sqrt 6}\\), \\(\\cos^2\\alpha = \\tfrac{1}{6}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(\\tfrac{1}{5}\\)</strong> - pominięto \\(+1\\) w tożsamości.</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{\\sqrt 5}{5}\\)</strong> - pomyłka \\(\\cos\\alpha\\), \\(\\cos^2\\alpha\\).</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{5}{6}\\)</strong> - to \\(\\sin^2\\alpha\\), nie \\(\\cos^2\\alpha\\).</li></ul>\n<p><strong>Zasada:</strong> \\(\\tg\\alpha = \\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\) oraz \\(\\sin^2 + \\cos^2 = 1\\).</p>"}]}