{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nNa okręgu o środku w punkcie 𝑂 leżą punkty 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶. Odcinek 𝐴𝐶 jest średnicą tego\nokręgu, a kąt środkowy 𝐴𝑂𝐵 ma miarę 82° (zobacz rysunek).\nMiara kąta 𝑂𝐵𝐶 jest równa\nA. 41°\nB. 45°\nC. 49°\nD. 51°\n82°\n𝑂\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A, B oraz C. Odcinek AC jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy AOB ma miarę 82° (zobacz rysunek). Miara kąta OBC jest równa A. 41° B. 45° C. 49° D. 51°","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(41°\\)\n\n## Sposób 1 - Łuki i trójkąt równoramienny OBC\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy łuk BC.\n\nPonieważ \\(AC\\) jest średnicą, kąt środkowy \\(AOC = 180°\\) - łuk \\(AC\\) to półokrąg.\n\nŁuk \\(AB\\) odpowiada kątowi środkowemu \\(AOB = 82°\\), więc:\n\\[\\text{łuk } BC = 180° - 82° = 98°\\]\n\n**Krok 2.** Kąt środkowy \\(BOC\\) odpowiada łukowi \\(BC\\):\n\\[\\angle BOC = 98°\\]\n\n**Krok 3.** Trójkąt \\(OBC\\) jest **równoramienny**, bo \\(OB = OC = r\\) (promienie tego samego okręgu).\n\nZatem kąty przy podstawie są równe:\n\\[\\angle OBC = \\angle OCB = \\frac{180° - 98°}{2} = \\frac{82°}{2} = \\boxed{41°}\\]\n\n## Sposób 2 - Kąt Talesa + kąt wpisany\n\n**Krok 1.** Skoro \\(AC\\) jest średnicą, to z **twierdzenia Talesa**:\n\\[\\angle ABC = 90°\\]\n(kąt wpisany oparty na średnicy to kąt prosty).\n\n**Krok 2.** Kąt wpisany \\(\\angle ACB\\) jest oparty na tym samym łuku \\(AB\\), co kąt środkowy \\(\\angle AOB = 82°\\). Z twierdzenia o kącie wpisanym:\n\\[\\angle ACB = \\frac{82°}{2} = 41°\\]\n\n**Krok 3.** Ponieważ \\(O\\) leży na odcinku \\(AC\\) (środek to punkt na średnicy), punkt \\(O\\) należy do prostej \\(AC\\), więc:\n\\[\\angle OCB = \\angle ACB = 41°\\]\n\n**Krok 4.** Trójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny (\\(OB = OC = r\\)), więc:\n\\[\\angle OBC = \\angle OCB = 41°\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Twierdzenie o kącie wpisanym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2, wyznaczając \\(\\angle ACB = \\frac{1}{2} \\cdot 82° = 41°\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Kąt wpisany oparty na średnicy:\n\n> Kąt wpisany oparty na średnicy (półokręgu) ma miarę \\(90°\\).\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do stwierdzenia, że \\(\\angle ABC = 90°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B - \\(45°\\) | Brak uzasadnienia geometrycznego; może wynikać z błędnego założenia, że wszystkie trójkąty wpisane w koło mają kąty \\(45°\\) |\n| C - \\(49°\\) | **Najczęstszy błąd!** Uczeń liczy trójkąt \\(OAB\\) (równoramienny, kąt przy wierzchołku \\(82°\\)) i dostaje kąty przy podstawie \\(\\frac{180°-82°}{2} = 49°\\). To jest miara kąta \\(\\angle OBA\\) - ale pytanie dotyczy \\(\\angle OBC\\), czyli kąta po drugiej stronie! |\n| D - \\(51°\\) | Błędne obliczenie łuku \\(BC\\): np. wzięcie \\(\\text{łuk } BC = 180° - 78° = 102°\\) (mylenie \\(82°\\) z \\(78°\\)) i liczenie \\(\\frac{180°-102°}{2} = 39°\\), albo inne błędy arytmetyczne przy wyznaczaniu kąta środkowego |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąty \\(\\angle OBA\\) i \\(\\angle OBC\\) to **dwa różne kąty** - jeden dotyczy trójkąta \\(OAB\\), drugi \\(OBC\\). Pomylenie ich (wynik 49°) to błąd odpowiedzi C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy \\(AOC = 180°\\) (nie \\(360°\\)!), bo \\(AC\\) jest średnicą - środek \\(O\\) leży dokładnie na odcinku \\(AC\\), a nie na łuku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny, bo \\(OB\\) i \\(OC\\) to promienie - ta własność jest kluczem do zadania i działa w każdym trójkącie, gdzie dwa boki to promienie tego samego okręgu.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt równoramienny OBC\nPonieważ \\(OB = OC\\) (promienie), trójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny, więc \\(\\angle OBC = \\angle OCB\\).\nKąty \\(AOB\\) i \\(BOC\\) leżą przy prostej \\(AC\\) (średnica): \\(\\angle AOB + \\angle BOC = 180°\\), więc \\(\\angle BOC = 180° - 82° = 98°\\).\nSuma kątów trójkąta: \\(\\angle OBC + \\angle OCB + \\angle BOC = 180°\\).\n\\(2\\angle OBC = 180° - 98° = 82° \\Rightarrow \\angle OBC = 41°\\).\n\n### Sposób 2 - Kąt wpisany\nKąt wpisany \\(\\angle BAC\\) oparty na łuku \\(BC\\) jest połową kąta środkowego: \\(\\angle BAC = \\tfrac{1}{2}\\angle BOC = 49°\\).\nW ΔABC z kątem prostym \\(\\angle ABC = 90°\\) (bo \\(AC\\) średnica) mamy \\(\\angle ACB = 90° - 49° = 41°\\).\n\\(\\angle OBC = \\angle OCB = 41°\\) (ΔOBC równoramienny).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C, D** - błędne obliczenie kąta \\(BOC\\) lub własności trójkąta równoramiennego.\n\n**Zasada:** kąt wpisany oparty na średnicy = \\(90°\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 16. (0-1)
Na okręgu o środku w punkcie 𝑂 leżą punkty 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶. Odcinek 𝐴𝐶 jest średnicą tego
okręgu, a kąt środkowy 𝐴𝑂𝐵 ma miarę 82° (zobacz rysunek).
Miara kąta 𝑂𝐵𝐶 jest równa
A. 41°
B. 45°
C. 49°
D. 51°
82°
𝑂
𝐴
𝐵
𝐶

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A, B oraz C. Odcinek AC jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy AOB ma miarę 82° (zobacz rysunek). Miara kąta OBC jest równa A. 41° B. 45° C. 49° D. 51°

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(41°\\)

\n

Sposób 1 - Łuki i trójkąt równoramienny OBC

\n

Krok 1. Wyznaczamy łuk BC.

\n

Ponieważ \\(AC\\) jest średnicą, kąt środkowy \\(AOC = 180°\\) - łuk \\(AC\\) to półokrąg.

\n

Łuk \\(AB\\) odpowiada kątowi środkowemu \\(AOB = 82°\\), więc:
\\[\\text{łuk } BC = 180° - 82° = 98°\\]

\n

Krok 2. Kąt środkowy \\(BOC\\) odpowiada łukowi \\(BC\\):
\\[\\angle BOC = 98°\\]

\n

Krok 3. Trójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny, bo \\(OB = OC = r\\) (promienie tego samego okręgu).

\n

Zatem kąty przy podstawie są równe:
\\[\\angle OBC = \\angle OCB = \\frac{180° - 98°}{2} = \\frac{82°}{2} = \\boxed{41°}\\]

\n

Sposób 2 - Kąt Talesa + kąt wpisany

\n

Krok 1. Skoro \\(AC\\) jest średnicą, to z twierdzenia Talesa:
\\[\\angle ABC = 90°\\]
(kąt wpisany oparty na średnicy to kąt prosty).

\n

Krok 2. Kąt wpisany \\(\\angle ACB\\) jest oparty na tym samym łuku \\(AB\\), co kąt środkowy \\(\\angle AOB = 82°\\). Z twierdzenia o kącie wpisanym:
\\[\\angle ACB = \\frac{82°}{2} = 41°\\]

\n

Krok 3. Ponieważ \\(O\\) leży na odcinku \\(AC\\) (środek to punkt na średnicy), punkt \\(O\\) należy do prostej \\(AC\\), więc:
\\[\\angle OCB = \\angle ACB = 41°\\]

\n

Krok 4. Trójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny (\\(OB = OC = r\\)), więc:
\\[\\angle OBC = \\angle OCB = 41°\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - Twierdzenie o kącie wpisanym:

\n
Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
\n

Użyliśmy tego w Sposobie 2, wyznaczając \\(\\angle ACB = \\frac{1}{2} \\cdot 82° = 41°\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - Kąt wpisany oparty na średnicy:

\n
Kąt wpisany oparty na średnicy (półokręgu) ma miarę \\(90°\\).
\n

Użyliśmy tego w Sposobie 2 do stwierdzenia, że \\(\\angle ABC = 90°\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B - \\(45°\\) | Brak uzasadnienia geometrycznego; może wynikać z błędnego założenia, że wszystkie trójkąty wpisane w koło mają kąty \\(45°\\) |
| C - \\(49°\\) | Najczęstszy błąd! Uczeń liczy trójkąt \\(OAB\\) (równoramienny, kąt przy wierzchołku \\(82°\\)) i dostaje kąty przy podstawie \\(\\frac{180°-82°}{2} = 49°\\). To jest miara kąta \\(\\angle OBA\\) - ale pytanie dotyczy \\(\\angle OBC\\), czyli kąta po drugiej stronie! |
| D - \\(51°\\) | Błędne obliczenie łuku \\(BC\\): np. wzięcie \\(\\text{łuk } BC = 180° - 78° = 102°\\) (mylenie \\(82°\\) z \\(78°\\)) i liczenie \\(\\frac{180°-102°}{2} = 39°\\), albo inne błędy arytmetyczne przy wyznaczaniu kąta środkowego |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kąty \\(\\angle OBA\\) i \\(\\angle OBC\\) to dwa różne kąty - jeden dotyczy trójkąta \\(OAB\\), drugi \\(OBC\\). Pomylenie ich (wynik 49°) to błąd odpowiedzi C.
\n
⚠️ Uwaga: Kąt środkowy \\(AOC = 180°\\) (nie \\(360°\\)!), bo \\(AC\\) jest średnicą - środek \\(O\\) leży dokładnie na odcinku \\(AC\\), a nie na łuku.
\n
⚠️ Uwaga: Trójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny, bo \\(OB\\) i \\(OC\\) to promienie - ta własność jest kluczem do zadania i działa w każdym trójkącie, gdzie dwa boki to promienie tego samego okręgu.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Trójkąt równoramienny OBC
\n

Ponieważ \\(OB = OC\\) (promienie), trójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny, więc \\(\\angle OBC = \\angle OCB\\).
Kąty \\(AOB\\) i \\(BOC\\) leżą przy prostej \\(AC\\) (średnica): \\(\\angle AOB + \\angle BOC = 180°\\), więc \\(\\angle BOC = 180° - 82° = 98°\\).
Suma kątów trójkąta: \\(\\angle OBC + \\angle OCB + \\angle BOC = 180°\\).
\\(2\\angle OBC = 180° - 98° = 82° \\Rightarrow \\angle OBC = 41°\\).

\n
Sposób 2 - Kąt wpisany
\n

Kąt wpisany \\(\\angle BAC\\) oparty na łuku \\(BC\\) jest połową kąta środkowego: \\(\\angle BAC = \\tfrac{1}{2}\\angle BOC = 49°\\).
W ΔABC z kątem prostym \\(\\angle ABC = 90°\\) (bo \\(AC\\) średnica) mamy \\(\\angle ACB = 90° - 49° = 41°\\).
\\(\\angle OBC = \\angle OCB = 41°\\) (ΔOBC równoramienny).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Zasada: kąt wpisany oparty na średnicy = \\(90°\\).

"}]}