{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nDane są okrąg i prosta styczna do tego okręgu w punkcie 𝐴. Punkty 𝐵 i 𝐶 są położone na\nokręgu tak, że 𝐵𝐶 jest jego średnicą. Cięciwa 𝐴𝐵 tworzy ze styczną kąt o mierze 40°\n(zobacz rysunek).\nMiara kąta 𝐴𝐵𝐶 jest równa\nA. 20°\nB. 40°\nC. 45°\nD. 50°\nRozwiązanie zadania. Dane są okrąg i prosta styczna do tego okręgu w punkcie A. Punkty B i C są położone na okręgu tak, że BC jest jego średnicą. Cięciwa AB tworzy ze styczną kąt o mierze 40° (zobacz rysunek). Miara kąta ABC jest równa A. 20° B. 40° C. 45° D. 50°","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(50°\\)\n\n## Sposób 1 - Kąt między styczną a cięciwą + kąt wpisany w półokrąg\n\n**Krok 1: Skorzystaj z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą.**\n\nKąt między styczną do okręgu a cięciwą poprowadzoną z punktu styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tym samym łuku, lecz po przeciwnej stronie cięciwy.\n\nCięciwa \\(AB\\) tworzy ze styczną kąt \\(40°\\), więc kąt wpisany oparty na łuku \\(AB\\) po przeciwnej stronie (czyli kąt \\(ACB\\)) jest równy:\n\\[\\angle ACB = 40°\\]\n\n**Krok 2: Skorzystaj z twierdzenia Talesa.**\n\n\\(BC\\) jest średnicą okręgu, więc kąt wpisany oparty na średnicy to kąt prosty:\n\\[\\angle BAC = 90°\\]\n\n**Krok 3: Oblicz kąt \\(ABC\\) z sumy kątów trójkąta.**\n\nW trójkącie \\(ABC\\):\n\\[\\angle ABC + \\angle BAC + \\angle ACB = 180°\\]\n\\[\\angle ABC + 90° + 40° = 180°\\]\n\\[\\angle ABC = 180° - 90° - 40° = \\mathbf{50°}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez miary łuków\n\n**Krok 1: Wyznacz łuk \\(AB\\).**\n\nKąt między styczną a cięciwą \\(AB\\) wynosi \\(40°\\). Ten kąt jest równy połowie łuku \\(AB\\) (łuku po stronie kąta):\n\\[\\text{łuk } AB = 2 \\cdot 40° = 80°\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz łuk \\(AC\\).**\n\nŁuk \\(BC\\) odpowiada średnicy, czyli:\n\\[\\text{łuk } BC = 180°\\]\n\nZatem:\n\\[\\text{łuk } AC = 360° - 80° - 180° = 100°\\]\n\n**Krok 3: Oblicz kąt wpisany \\(ABC\\).**\n\nKąt wpisany \\(\\angle ABC\\) jest oparty na łuku \\(AC\\) i równa się połowie tego łuku:\n\\[\\angle ABC = \\frac{\\text{łuk } AC}{2} = \\frac{100°}{2} = \\mathbf{50°}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria) oraz Dział 10 (Planimetria, s. 15-19)**\n\n- **Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą** (Planimetria, s. 19):\nKąt między styczną a cięciwą = kąt wpisany oparty na tym samym łuku po przeciwnej stronie:\n\\[\\angle(\\text{styczna}, AB) = \\angle ACB\\]\nUżyte w Sposobie 1 (krok 1) oraz jako podstawa do Sposobu 2 (miary łuków).\n\n- **Kąt wpisany w półokrąg** (Planimetria, s. 19 - kąt wpisany = połowa kąta środkowego):\n\\[\\angle BAC = 90° \\quad \\text{(gdy } BC \\text{ jest średnicą)}\\]\nUżyte w Sposobie 1 (krok 2).\n\n- **Kąt wpisany = \\(\\frac{1}{2}\\) łuku** (Planimetria, s. 19):\n\\[\\angle ABC = \\frac{\\text{łuk } AC}{2}\\]\nUżyte w Sposobie 2 (krok 3).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** (\\(20°\\)) | Wzięcie połowy kąta \\(40°\\) bez uzasadnienia - mylenie połowy łuku z połową danego kąta |\n| **B** (\\(40°\\)) | Błędne założenie, że \\(\\angle ABC\\) = kąt między styczną a \\(AB\\), czyli przepisanie danych bez użycia twierdzeń |\n| **C** (\\(45°\\)) | Fałszywe skojarzenie: \"jest kąt prosty w trójkącie, więc inne kąty to \\(45°\\)\" - ignoruje konkretną wartość \\(40°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą działa tylko z punktu **styczności** (tutaj \\(A\\)). Gdyby \\(A\\) nie był punktem styku, twierdzenie nie obowiązuje.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt prosty (\\(90°\\)) dotyczy kąta **wpisanego w półokrąg** (\\(\\angle BAC\\)), a **nie** kąta \\(ABC\\). Łatwo pomylić, który kąt jest prosty!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach z łukami pamiętaj, że kąt między **styczną a cięciwą** = połowa **łuku po stronie kąta** - nie dowolnego łuku \\(AB\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą\nKąt między styczną a cięciwą \\(AB\\) = \\(40°\\) = kąt wpisany oparty na łuku \\(AB\\), czyli \\(\\angle ACB = 40°\\).\nKąt \\(\\angle BAC = 90°\\), bo \\(BC\\) - średnica (kąt wpisany oparty na średnicy).\nW ΔABC: \\(\\angle ABC = 180° - 90° - 40° = 50°\\).\n\n### Sposób 2 - Przez kąt środkowy\nKąt środkowy odpowiadający kątowi między styczną a cięciwą: \\(2\\cdot 40° = 80°\\), to kąt \\(AOB\\) (gdzie \\(O\\) to środek).\nΔAOB równoramienny (\\(OA = OB\\)), więc \\(\\angle OAB = \\angle OBA = \\tfrac{180° - 80°}{2} = 50°\\).\n\\(\\angle OBA = \\angle ABC = 50°\\) (bo \\(O\\) leży na \\(BC\\)).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(20°\\), B. \\(40°\\), C. \\(45°\\)** - błędne zastosowanie twierdzeń o kątach.\n\n**Zasada:** kąt między styczną a cięciwą równa się kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Dane są okrąg i prosta styczna do tego okręgu w punkcie 𝐴. Punkty 𝐵 i 𝐶 są położone na<br>okręgu tak, że 𝐵𝐶 jest jego średnicą. Cięciwa 𝐴𝐵 tworzy ze styczną kąt o mierze 40°<br>(zobacz rysunek).<br>Miara kąta 𝐴𝐵𝐶 jest równa<br>A. 20°<br>B. 40°<br>C. 45°<br>D. 50°<br>Rozwiązanie zadania. Dane są okrąg i prosta styczna do tego okręgu w punkcie A. Punkty B i C są położone na okręgu tak, że BC jest jego średnicą. Cięciwa AB tworzy ze styczną kąt o mierze 40° (zobacz rysunek). Miara kąta ABC jest równa A. 20° B. 40° C. 45° D. 50°</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(50°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Kąt między styczną a cięciwą + kąt wpisany w półokrąg</h4>\n<p><strong>Krok 1: Skorzystaj z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą.</strong></p>\n<p>Kąt między styczną do okręgu a cięciwą poprowadzoną z punktu styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tym samym łuku, lecz po przeciwnej stronie cięciwy.</p>\n<p>Cięciwa \\(AB\\) tworzy ze styczną kąt \\(40°\\), więc kąt wpisany oparty na łuku \\(AB\\) po przeciwnej stronie (czyli kąt \\(ACB\\)) jest równy:<br>\\[\\angle ACB = 40°\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Skorzystaj z twierdzenia Talesa.</strong></p>\n<p>\\(BC\\) jest średnicą okręgu, więc kąt wpisany oparty na średnicy to kąt prosty:<br>\\[\\angle BAC = 90°\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Oblicz kąt \\(ABC\\) z sumy kątów trójkąta.</strong></p>\n<p>W trójkącie \\(ABC\\):<br>\\[\\angle ABC + \\angle BAC + \\angle ACB = 180°\\]<br>\\[\\angle ABC + 90° + 40° = 180°\\]<br>\\[\\angle ABC = 180° - 90° - 40° = \\mathbf{50°}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez miary łuków</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz łuk \\(AB\\).</strong></p>\n<p>Kąt między styczną a cięciwą \\(AB\\) wynosi \\(40°\\). Ten kąt jest równy połowie łuku \\(AB\\) (łuku po stronie kąta):<br>\\[\\text{łuk } AB = 2 \\cdot 40° = 80°\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz łuk \\(AC\\).</strong></p>\n<p>Łuk \\(BC\\) odpowiada średnicy, czyli:<br>\\[\\text{łuk } BC = 180°\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[\\text{łuk } AC = 360° - 80° - 180° = 100°\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Oblicz kąt wpisany \\(ABC\\).</strong></p>\n<p>Kąt wpisany \\(\\angle ABC\\) jest oparty na łuku \\(AC\\) i równa się połowie tego łuku:<br>\\[\\angle ABC = \\frac{\\text{łuk } AC}{2} = \\frac{100°}{2} = \\mathbf{50°}\\]</p>\n<p>Oba sposoby dają ten sam wynik. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria) oraz Dział 10 (Planimetria, s. 15-19)</strong></p>\n<ul><li><strong>Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą</strong> (Planimetria, s. 19):</li></ul>\n<p>Kąt między styczną a cięciwą = kąt wpisany oparty na tym samym łuku po przeciwnej stronie:<br>\\[\\angle(\\text{styczna}, AB) = \\angle ACB\\]<br>Użyte w Sposobie 1 (krok 1) oraz jako podstawa do Sposobu 2 (miary łuków).</p>\n<ul><li><strong>Kąt wpisany w półokrąg</strong> (Planimetria, s. 19 - kąt wpisany = połowa kąta środkowego):</li></ul>\n<p>\\[\\angle BAC = 90° \\quad \\text{(gdy } BC \\text{ jest średnicą)}\\]<br>Użyte w Sposobie 1 (krok 2).</p>\n<ul><li><strong>Kąt wpisany = \\(\\frac{1}{2}\\) łuku</strong> (Planimetria, s. 19):</li></ul>\n<p>\\[\\angle ABC = \\frac{\\text{łuk } AC}{2}\\]<br>Użyte w Sposobie 2 (krok 3).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>A</strong> (\\(20°\\)) | Wzięcie połowy kąta \\(40°\\) bez uzasadnienia - mylenie połowy łuku z połową danego kąta |<br>| <strong>B</strong> (\\(40°\\)) | Błędne założenie, że \\(\\angle ABC\\) = kąt między styczną a \\(AB\\), czyli przepisanie danych bez użycia twierdzeń |<br>| <strong>C</strong> (\\(45°\\)) | Fałszywe skojarzenie: &quot;jest kąt prosty w trójkącie, więc inne kąty to \\(45°\\)&quot; - ignoruje konkretną wartość \\(40°\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą działa tylko z punktu <strong>styczności</strong> (tutaj \\(A\\)). Gdyby \\(A\\) nie był punktem styku, twierdzenie nie obowiązuje.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt prosty (\\(90°\\)) dotyczy kąta <strong>wpisanego w półokrąg</strong> (\\(\\angle BAC\\)), a <strong>nie</strong> kąta \\(ABC\\). Łatwo pomylić, który kąt jest prosty!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W zadaniach z łukami pamiętaj, że kąt między <strong>styczną a cięciwą</strong> = połowa <strong>łuku po stronie kąta</strong> - nie dowolnego łuku \\(AB\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą</h5>\n<p>Kąt między styczną a cięciwą \\(AB\\) = \\(40°\\) = kąt wpisany oparty na łuku \\(AB\\), czyli \\(\\angle ACB = 40°\\).<br>Kąt \\(\\angle BAC = 90°\\), bo \\(BC\\) - średnica (kąt wpisany oparty na średnicy).<br>W ΔABC: \\(\\angle ABC = 180° - 90° - 40° = 50°\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez kąt środkowy</h5>\n<p>Kąt środkowy odpowiadający kątowi między styczną a cięciwą: \\(2\\cdot 40° = 80°\\), to kąt \\(AOB\\) (gdzie \\(O\\) to środek).<br>ΔAOB równoramienny (\\(OA = OB\\)), więc \\(\\angle OAB = \\angle OBA = \\tfrac{180° - 80°}{2} = 50°\\).<br>\\(\\angle OBA = \\angle ABC = 50°\\) (bo \\(O\\) leży na \\(BC\\)).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(20°\\), B. \\(40°\\), C. \\(45°\\)</strong> - błędne zastosowanie twierdzeń o kątach.</li></ul>\n<p><strong>Zasada:</strong> kąt między styczną a cięciwą równa się kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie.</p>"}]}