{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nDany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶 o bokach |𝐴𝐶| = 24, |𝐵𝐶| = 10, |𝐴𝐵| = 26. Dwusieczne\nkątów tego trójkąta przecinają się w punkcie 𝑃 (zobacz rysunek).\nOdległość 𝑥 punktu 𝑃 od przeciwprostokątnej 𝐴𝐵 jest równa\nA. 2\nB. 4\nC. 5\n2\nD. 13\n3\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n40°\n𝑥\n𝑃\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n24\n26\n10\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt prostokątny ABC o bokach |AC|=24, |BC|=10, |AB|=26. Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek). Odległość x punktu P od przeciwprostokątnej AB jest równa A. 2 B. 4 C. 5/2 D. 13/3","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B (\\(x = 4\\))\n\n## Sposób 1 - Promień okręgu wpisanego (wzór dla trójkąta prostokątnego)\n\nPunkt \\(P\\) to **środek okręgu wpisanego** (inkulo) trójkąta - jedyny punkt, do którego odległość od wszystkich trzech boków jest jednakowa i równa promieniowi \\(r\\).\n\n**Odległość \\(x\\) od \\(P\\) do dowolnego boku - w tym do przeciwprostokątnej \\(AB\\) - jest właśnie równa \\(r\\).**\n\nSprawdzamy, który kąt jest prostym:\n\\[|BC|^2 + |AC|^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2 = |AB|^2\\]\n\nKąt prosty jest przy wierzchołku \\(C\\). Dla **trójkąta prostokątnego** z nogami \\(a, b\\) i przeciwprostokątną \\(c\\) mamy gotowy wzór z karty CKE:\n\\[r = \\frac{a + b - c}{2}\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 10\\), \\(b = 24\\), \\(c = 26\\):\n\\[x = r = \\frac{10 + 24 - 26}{2} = \\frac{8}{2} = \\boxed{4}\\]\n\n## Sposób 2 - Pole i półobwód\n\nPromień okręgu wpisanego wyznaczamy ogólnym wzorem:\n\\[r = \\frac{P_{\\triangle}}{p}\\]\n\ngdzie \\(P_{\\triangle}\\) - pole trójkąta, \\(p\\) - półobwód.\n\n**Pole** (kąt prosty przy \\(C\\), więc nogi są podstawą i wysokością):\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot |BC| \\cdot |AC| = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 24 = 120\\]\n\n**Półobwód:**\n\\[p = \\frac{|AB| + |BC| + |AC|}{2} = \\frac{26 + 10 + 24}{2} = \\frac{60}{2} = 30\\]\n\n**Promień:**\n\\[x = r = \\frac{P_{\\triangle}}{p} = \\frac{120}{30} = \\boxed{4}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - trójkąt prostokątny (kąt prosty przy \\(C\\)):\n\\[r = \\frac{a + b - c}{2}\\]\nUżyte bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole trójkąta i promień okręgu wpisanego:\n\\[P = \\frac{1}{2} a \\cdot h_a, \\qquad P = p \\cdot r\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(r\\) przez \\(r = P/p\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** (\\(2\\)) | Podzielono pole przez cały obwód zamiast przez półobwód: \\(\\frac{120}{60} = 2\\) |\n| **C** (\\(\\frac{5}{2}\\)) | Użyto \\(r = \\frac{a+b-c}{4}\\) zamiast dzielenia przez \\(2\\): \\(\\frac{8}{4} = 2\\) lub pomylono którą nogę dzielić |\n| **D** (\\(\\frac{13}{3}\\)) | Mylnie wzięto \\(P\\) jako połowę przeciwprostokątnej (\\(13\\)) i podzielono przez \\(3\\), nie rozumiejąc skąd pochodzi \\(r\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt przecięcia dwusiecznych to **inkulo** (środek okręgu wpisanego) - jego odległość do **każdego** z trzech boków jest taka sama i równa \\(r\\). Nie trzeba liczyć osobno odległości do \\(AB\\) - wystarczy wyznaczyć \\(r\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(r = \\frac{a+b-c}{2}\\) działa **tylko dla trójkąta prostokątnego**, gdzie \\(c\\) to **przeciwprostokątna**. Nie wolno wstawić tam żadnego boku z chęci!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wzorze \\(r = \\frac{P}{p}\\) pamiętaj o **pół**obwodzie (\\(p\\)), a nie pełnym obwodzie. To jeden z najczęstszych błędów arytmetycznych w tym typie zadania.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Promień okręgu wpisanego\nPunkt przecięcia dwusiecznych to środek okręgu wpisanego, a odległość tego punktu od każdego boku to promień \\(r\\) okręgu wpisanego.\nWzór: \\(r = \\dfrac{P}{p}\\), gdzie \\(P\\) - pole, \\(p\\) - połowa obwodu.\nPole: \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 24\\cdot 10 = 120\\).\nObwód: \\(24 + 10 + 26 = 60\\), \\(p = 30\\).\n\\(r = \\tfrac{120}{30} = 4\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór dla trójkąta prostokątnego\n\\(r = \\dfrac{a + b - c}{2} = \\dfrac{24 + 10 - 26}{2} = \\dfrac{8}{2} = 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - pomyłka: \\(\\tfrac{8}{4}\\) zamiast \\(\\tfrac{8}{2}\\).\n- **C. \\(\\tfrac{5}{2}\\), D. \\(\\tfrac{13}{3}\\)** - nieprawidłowe zastosowanie.\n\n**Zasada:** środek okręgu wpisanego = punkt przecięcia dwusiecznych; jego odległość od każdego boku = \\(r\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Dany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶 o bokach |𝐴𝐶| = 24, |𝐵𝐶| = 10, |𝐴𝐵| = 26. Dwusieczne<br>kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie 𝑃 (zobacz rysunek).<br>Odległość 𝑥 punktu 𝑃 od przeciwprostokątnej 𝐴𝐵 jest równa<br>A. 2<br>B. 4<br>C. 5<br>2<br>D. 13<br>3<br>𝐶<br>𝐵<br>𝐴<br>40°<br>𝑥<br>𝑃<br>𝐶<br>𝐴<br>𝐵<br>24<br>26<br>10</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Rozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt prostokątny ABC o bokach |AC|=24, |BC|=10, |AB|=26. Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek). Odległość x punktu P od przeciwprostokątnej AB jest równa A. 2 B. 4 C. 5/2 D. 13/3</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B (\\(x = 4\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Promień okręgu wpisanego (wzór dla trójkąta prostokątnego)</h4>\n<p>Punkt \\(P\\) to <strong>środek okręgu wpisanego</strong> (inkulo) trójkąta - jedyny punkt, do którego odległość od wszystkich trzech boków jest jednakowa i równa promieniowi \\(r\\).</p>\n<p><strong>Odległość \\(x\\) od \\(P\\) do dowolnego boku - w tym do przeciwprostokątnej \\(AB\\) - jest właśnie równa \\(r\\).</strong></p>\n<p>Sprawdzamy, który kąt jest prostym:<br>\\[|BC|^2 + |AC|^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2 = |AB|^2\\]</p>\n<p>Kąt prosty jest przy wierzchołku \\(C\\). Dla <strong>trójkąta prostokątnego</strong> z nogami \\(a, b\\) i przeciwprostokątną \\(c\\) mamy gotowy wzór z karty CKE:<br>\\[r = \\frac{a + b - c}{2}\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(a = 10\\), \\(b = 24\\), \\(c = 26\\):<br>\\[x = r = \\frac{10 + 24 - 26}{2} = \\frac{8}{2} = \\boxed{4}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Pole i półobwód</h4>\n<p>Promień okręgu wpisanego wyznaczamy ogólnym wzorem:<br>\\[r = \\frac{P_{\\triangle}}{p}\\]</p>\n<p>gdzie \\(P_{\\triangle}\\) - pole trójkąta, \\(p\\) - półobwód.</p>\n<p><strong>Pole</strong> (kąt prosty przy \\(C\\), więc nogi są podstawą i wysokością):<br>\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot |BC| \\cdot |AC| = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 24 = 120\\]</p>\n<p><strong>Półobwód:</strong><br>\\[p = \\frac{|AB| + |BC| + |AC|}{2} = \\frac{26 + 10 + 24}{2} = \\frac{60}{2} = 30\\]</p>\n<p><strong>Promień:</strong><br>\\[x = r = \\frac{P_{\\triangle}}{p} = \\frac{120}{30} = \\boxed{4}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)</strong> - trójkąt prostokątny (kąt prosty przy \\(C\\)):<br>\\[r = \\frac{a + b - c}{2}\\]<br>Użyte bezpośrednio w Sposobie 1.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)</strong> - pole trójkąta i promień okręgu wpisanego:<br>\\[P = \\frac{1}{2} a \\cdot h_a, \\qquad P = p \\cdot r\\]<br>Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(r\\) przez \\(r = P/p\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>A</strong> (\\(2\\)) | Podzielono pole przez cały obwód zamiast przez półobwód: \\(\\frac{120}{60} = 2\\) |<br>| <strong>C</strong> (\\(\\frac{5}{2}\\)) | Użyto \\(r = \\frac{a+b-c}{4}\\) zamiast dzielenia przez \\(2\\): \\(\\frac{8}{4} = 2\\) lub pomylono którą nogę dzielić |<br>| <strong>D</strong> (\\(\\frac{13}{3}\\)) | Mylnie wzięto \\(P\\) jako połowę przeciwprostokątnej (\\(13\\)) i podzielono przez \\(3\\), nie rozumiejąc skąd pochodzi \\(r\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkt przecięcia dwusiecznych to <strong>inkulo</strong> (środek okręgu wpisanego) - jego odległość do <strong>każdego</strong> z trzech boków jest taka sama i równa \\(r\\). Nie trzeba liczyć osobno odległości do \\(AB\\) - wystarczy wyznaczyć \\(r\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(r = \\frac{a+b-c}{2}\\) działa <strong>tylko dla trójkąta prostokątnego</strong>, gdzie \\(c\\) to <strong>przeciwprostokątna</strong>. Nie wolno wstawić tam żadnego boku z chęci!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy wzorze \\(r = \\frac{P}{p}\\) pamiętaj o <strong>pół</strong>obwodzie (\\(p\\)), a nie pełnym obwodzie. To jeden z najczęstszych błędów arytmetycznych w tym typie zadania.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Promień okręgu wpisanego</h5>\n<p>Punkt przecięcia dwusiecznych to środek okręgu wpisanego, a odległość tego punktu od każdego boku to promień \\(r\\) okręgu wpisanego.<br>Wzór: \\(r = \\dfrac{P}{p}\\), gdzie \\(P\\) - pole, \\(p\\) - połowa obwodu.<br>Pole: \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 24\\cdot 10 = 120\\).<br>Obwód: \\(24 + 10 + 26 = 60\\), \\(p = 30\\).<br>\\(r = \\tfrac{120}{30} = 4\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór dla trójkąta prostokątnego</h5>\n<p>\\(r = \\dfrac{a + b - c}{2} = \\dfrac{24 + 10 - 26}{2} = \\dfrac{8}{2} = 4\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(2\\)</strong> - pomyłka: \\(\\tfrac{8}{4}\\) zamiast \\(\\tfrac{8}{2}\\).</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{5}{2}\\), D. \\(\\tfrac{13}{3}\\)</strong> - nieprawidłowe zastosowanie.</li></ul>\n<p><strong>Zasada:</strong> środek okręgu wpisanego = punkt przecięcia dwusiecznych; jego odległość od każdego boku = \\(r\\).</p>"}]}