{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nJeden z boków równoległoboku ma długość równą 5. Przekątne tego równoległoboku mogą\nmieć długości\nA. 4 i 6\nB. 4 i 3\nC. 10 i 10\nD. 5 i 5\nRozwiązanie zadania. Jeden z boków równoległoboku ma długość równą 5. Przekątne tego równoległoboku mogą mieć długości A. 4 i 6 B. 4 i 3 C. 10 i 10 D. 5 i 5","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nPrzekątne mają długości \\(10\\) i \\(10\\).\n\n## Sposób 1 - nierówność trójkąta dla półprzekątnych\n\n**Kluczowy fakt:** Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie. Znaczy to, że punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich na dwie równe części.\n\nNiech boki równoległoboku mają długości \\(a = 5\\) i \\(b\\) (nieznane), a przekątne \\(d_1\\) i \\(d_2\\). Punkt przecięcia przekątnych nazwijmy \\(O\\).\n\nTrójkąt \\(AOB\\) (gdzie \\(A, B\\) to sąsiednie wierzchołki) ma boki:\n\n\\[|AO| = \\frac{d_1}{2}, \\quad |BO| = \\frac{d_2}{2}, \\quad |AB| = a = 5\\]\n\nZ **nierówności trójkąta** (trójkąt musi być niezdegenerowany):\n\n\\[\\frac{d_1}{2} + \\frac{d_2}{2} > 5\\]\n\nczyli:\n\n\\[\\boxed{d_1 + d_2 > 10}\\]\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź:\n\n| Odp. | \\(d_1\\) | \\(d_2\\) | \\(d_1 + d_2\\) | Warunek \\(> 10\\) |\n| A | 4 | 6 | 10 | \\(10 > 10\\)? ❌ (równość = zdegenerowany) |\n| B | 4 | 3 | 7 | \\(7 > 10\\)? ❌ |\n| **C** | **10** | **10** | **20** | **\\(20 > 10\\)? ✓** |\n| D | 5 | 5 | 10 | \\(10 > 10\\)? ❌ (równość = zdegenerowany) |\n\n**Tylko C spełnia warunek.** Musimy też sprawdzić pozostałe nierówności trójkąta dla C:\n\\[\\frac{10}{2} + 5 = 10 > \\frac{10}{2} = 5 \\quad ✓\\]\n\nWszystkie warunki spełnione, równoległobok istnieje.\n\n## Sposób 2 - prawo równoległoboku (weryfikacja przez obliczenie boku)\n\nZ **prawa równoległoboku**:\n\n\\[d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\\]\n\nGdzie \\(a = 5\\) (dany bok), \\(b\\) = drugi bok (musi być \\(b > 0\\)).\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź:\n\n**Odpowiedź A** (\\(d_1 = 4, d_2 = 6\\)):\n\\[16 + 36 = 2(25 + b^2) \\implies 52 = 50 + 2b^2 \\implies b^2 = 1, \\; b = 1\\]\nLiczbowo \\(b = 1 > 0\\), ale sprawdźmy trójkąt AOB: boki \\(2, 3, 5\\): \\(2 + 3 = 5\\) - trójkąt zdegenerowany (spłaszczony do odcinka), równoległobok nie istnieje.\n\n**Odpowiedź B** (\\(d_1 = 4, d_2 = 3\\)):\n\\[16 + 9 = 2(25 + b^2) \\implies 25 = 50 + 2b^2 \\implies b^2 = -12{,}5 < 0\\]\nBrak rozwiązania - **niemożliwe**.\n\n**Odpowiedź C** (\\(d_1 = 10, d_2 = 10\\)):\n\\[100 + 100 = 2(25 + b^2) \\implies 200 = 50 + 2b^2 \\implies b^2 = 75, \\; b = 5\\sqrt{3}\\]\n\\(b = 5\\sqrt{3} > 0\\) - **równoległobok istnieje** (to prostokąt o bokach \\(5\\) i \\(5\\sqrt{3}\\)). ✓\n\n**Odpowiedź D** (\\(d_1 = 5, d_2 = 5\\)):\n\\[25 + 25 = 2(25 + b^2) \\implies 50 = 50 + 2b^2 \\implies b^2 = 0, \\; b = 0\\]\n\\(b = 0\\) - figura zdegenerowana, nie jest równoległobokiem.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - własności równoległoboku i jego przekątnych.\n\nKarta podaje związek między przekątnymi a bokami równoległoboku (prawo równoległoboku):\n\\[d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia drugiego boku i sprawdzenia realności równoległoboku.\n\nKluczowe twierdzenie trójkąta (Dział 10, planimetria) - nierówność trójkąta zastosowana do trójkąta z półprzekątnymi w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń myśli: skoro \\(d_1 + d_2 = 10 = 2 \\cdot 5\\), to może być OK. Zapomina, że nierówność trójkąta musi być **ostra** - równość daje zdegenerowany (spłaszczony) równoległobok |\n| B | Uczeń losowo wybiera \"małe liczby\" nie sprawdzając warunku. Suma \\(4 + 3 = 7 < 10\\), więc geometrycznie niemożliwe |\n| D | Analogicznie jak A: \\(5 + 5 = 10 = 2a\\), trójkąt AOB ma boki \\(2{,}5 + 2{,}5 = 5\\) - spłaszczony, równoległobok zdegenerowany |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedzi A i D kuszą, bo arytmetycznie pasują do boku \\(5\\). Pamiętaj - równość w nierówności trójkąta to zdegenerowany (czyli \"nieistniejący\" jako figura płaska) trójkąt!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić: jeden bok równoległoboku to \\(5\\), ale drugiego boku nie znamy. Nie zakładaj, że jest też równy \\(5\\) (to tylko szczególny przypadek - romb).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prawo równoległoboku \\(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\\) jest konieczne, ale nie wystarczające - nawet jeśli wychodzi \\(b > 0\\), sprawdź nierówność trójkąta dla półprzekątnych (jak w odpowiedzi A).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Własność przekątnych równoległoboku\nPrzekątne dzielą się wzajemnie na połowy. Bok \\(a\\) tworzy z połówkami przekątnych (\\(\\tfrac{d_1}{2}, \\tfrac{d_2}{2}\\)) trójkąt. Musi być spełniona nierówność trójkąta:\n\\(\\left|\\tfrac{d_1}{2} - \\tfrac{d_2}{2}\\right| < a < \\tfrac{d_1}{2} + \\tfrac{d_2}{2}\\).\n\n**Sprawdzenie C: \\(d_1 = d_2 = 10\\):**\n\\(\\tfrac{10}{2}, \\tfrac{10}{2} = 5, 5\\). \\(|5-5| = 0 < 5 < 5+5=10\\) ✓.\n\n**A: \\(d_1 = 4, d_2 = 6\\):** \\(2, 3\\): \\(|2-3|=1 < 5\\)? Ale \\(2+3=5 = 5\\), nierówność nieostra - równoległobok zdegenerowany, nie działa.\n\n**B: \\(4, 3\\):** \\(2, 1{,}5\\): \\(2+1{,}5 = 3{,}5 < 5\\) ✗.\n\n**D: \\(5, 5\\):** \\(2{,}5, 2{,}5\\): \\(2{,}5+2{,}5 = 5 = 5\\) ✗ (zdegenerowany).\n\n### Sposób 2 - Tożsamość równoległoboku\n\\(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\\). Sprawdzenie C: \\(100 + 100 = 200 = 2(25 + b^2) \\Rightarrow b^2 = 75, b = 5\\sqrt 3\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, D** - naruszają nierówność trójkąta (równoległobok zdegenerowany lub niemożliwy).\n\n**Zasada:** przekątne równoległoboku dzielą się wzajemnie na połowy.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 19. (0-1)
Jeden z boków równoległoboku ma długość równą 5. Przekątne tego równoległoboku mogą
mieć długości
A. 4 i 6
B. 4 i 3
C. 10 i 10
D. 5 i 5
Rozwiązanie zadania. Jeden z boków równoległoboku ma długość równą 5. Przekątne tego równoległoboku mogą mieć długości A. 4 i 6 B. 4 i 3 C. 10 i 10 D. 5 i 5

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Przekątne mają długości \\(10\\) i \\(10\\).

\n

Sposób 1 - nierówność trójkąta dla półprzekątnych

\n

Kluczowy fakt: Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie. Znaczy to, że punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich na dwie równe części.

\n

Niech boki równoległoboku mają długości \\(a = 5\\) i \\(b\\) (nieznane), a przekątne \\(d_1\\) i \\(d_2\\). Punkt przecięcia przekątnych nazwijmy \\(O\\).

\n

Trójkąt \\(AOB\\) (gdzie \\(A, B\\) to sąsiednie wierzchołki) ma boki:

\n

\\[|AO| = \\frac{d_1}{2}, \\quad |BO| = \\frac{d_2}{2}, \\quad |AB| = a = 5\\]

\n

Z nierówności trójkąta (trójkąt musi być niezdegenerowany):

\n

\\[\\frac{d_1}{2} + \\frac{d_2}{2} > 5\\]

\n

czyli:

\n

\\[\\boxed{d_1 + d_2 > 10}\\]

\n

Sprawdzamy każdą odpowiedź:

\n

| Odp. | \\(d_1\\) | \\(d_2\\) | \\(d_1 + d_2\\) | Warunek \\(> 10\\) |
| A | 4 | 6 | 10 | \\(10 > 10\\)? ❌ (równość = zdegenerowany) |
| B | 4 | 3 | 7 | \\(7 > 10\\)? ❌ |
| C | 10 | 10 | 20 | \\(20 > 10\\)? ✓ |
| D | 5 | 5 | 10 | \\(10 > 10\\)? ❌ (równość = zdegenerowany) |

\n

Tylko C spełnia warunek. Musimy też sprawdzić pozostałe nierówności trójkąta dla C:
\\[\\frac{10}{2} + 5 = 10 > \\frac{10}{2} = 5 \\quad ✓\\]

\n

Wszystkie warunki spełnione, równoległobok istnieje.

\n

Sposób 2 - prawo równoległoboku (weryfikacja przez obliczenie boku)

\n

Z prawa równoległoboku:

\n

\\[d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\\]

\n

Gdzie \\(a = 5\\) (dany bok), \\(b\\) = drugi bok (musi być \\(b > 0\\)).

\n

Sprawdzamy każdą odpowiedź:

\n

Odpowiedź A (\\(d_1 = 4, d_2 = 6\\)):
\\[16 + 36 = 2(25 + b^2) \\implies 52 = 50 + 2b^2 \\implies b^2 = 1, \\; b = 1\\]
Liczbowo \\(b = 1 > 0\\), ale sprawdźmy trójkąt AOB: boki \\(2, 3, 5\\): \\(2 + 3 = 5\\) - trójkąt zdegenerowany (spłaszczony do odcinka), równoległobok nie istnieje.

\n

Odpowiedź B (\\(d_1 = 4, d_2 = 3\\)):
\\[16 + 9 = 2(25 + b^2) \\implies 25 = 50 + 2b^2 \\implies b^2 = -12{,}5 < 0\\]
Brak rozwiązania - niemożliwe.

\n

Odpowiedź C (\\(d_1 = 10, d_2 = 10\\)):
\\[100 + 100 = 2(25 + b^2) \\implies 200 = 50 + 2b^2 \\implies b^2 = 75, \\; b = 5\\sqrt{3}\\]
\\(b = 5\\sqrt{3} > 0\\) - równoległobok istnieje (to prostokąt o bokach \\(5\\) i \\(5\\sqrt{3}\\)). ✓

\n

Odpowiedź D (\\(d_1 = 5, d_2 = 5\\)):
\\[25 + 25 = 2(25 + b^2) \\implies 50 = 50 + 2b^2 \\implies b^2 = 0, \\; b = 0\\]
\\(b = 0\\) - figura zdegenerowana, nie jest równoległobokiem.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20-21) - własności równoległoboku i jego przekątnych.

\n

Karta podaje związek między przekątnymi a bokami równoległoboku (prawo równoległoboku):
\\[d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\\]

\n

Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia drugiego boku i sprawdzenia realności równoległoboku.

\n

Kluczowe twierdzenie trójkąta (Dział 10, planimetria) - nierówność trójkąta zastosowana do trójkąta z półprzekątnymi w Sposobie 1.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Uczeń myśli: skoro \\(d_1 + d_2 = 10 = 2 \\cdot 5\\), to może być OK. Zapomina, że nierówność trójkąta musi być ostra - równość daje zdegenerowany (spłaszczony) równoległobok |
| B | Uczeń losowo wybiera "małe liczby" nie sprawdzając warunku. Suma \\(4 + 3 = 7 < 10\\), więc geometrycznie niemożliwe |
| D | Analogicznie jak A: \\(5 + 5 = 10 = 2a\\), trójkąt AOB ma boki \\(2{,}5 + 2{,}5 = 5\\) - spłaszczony, równoległobok zdegenerowany |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedzi A i D kuszą, bo arytmetycznie pasują do boku \\(5\\). Pamiętaj - równość w nierówności trójkąta to zdegenerowany (czyli "nieistniejący" jako figura płaska) trójkąt!
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić: jeden bok równoległoboku to \\(5\\), ale drugiego boku nie znamy. Nie zakładaj, że jest też równy \\(5\\) (to tylko szczególny przypadek - romb).
\n
⚠️ Uwaga: Prawo równoległoboku \\(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\\) jest konieczne, ale nie wystarczające - nawet jeśli wychodzi \\(b > 0\\), sprawdź nierówność trójkąta dla półprzekątnych (jak w odpowiedzi A).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Własność przekątnych równoległoboku
\n

Przekątne dzielą się wzajemnie na połowy. Bok \\(a\\) tworzy z połówkami przekątnych (\\(\\tfrac{d_1}{2}, \\tfrac{d_2}{2}\\)) trójkąt. Musi być spełniona nierówność trójkąta:
\\(\\left|\\tfrac{d_1}{2} - \\tfrac{d_2}{2}\\right| < a < \\tfrac{d_1}{2} + \\tfrac{d_2}{2}\\).

\n

Sprawdzenie C: \\(d_1 = d_2 = 10\\):
\\(\\tfrac{10}{2}, \\tfrac{10}{2} = 5, 5\\). \\(|5-5| = 0 < 5 < 5+5=10\\) ✓.

\n

A: \\(d_1 = 4, d_2 = 6\\): \\(2, 3\\): \\(|2-3|=1 < 5\\)? Ale \\(2+3=5 = 5\\), nierówność nieostra - równoległobok zdegenerowany, nie działa.

\n

B: \\(4, 3\\): \\(2, 1{,}5\\): \\(2+1{,}5 = 3{,}5 < 5\\) ✗.

\n

D: \\(5, 5\\): \\(2{,}5, 2{,}5\\): \\(2{,}5+2{,}5 = 5 = 5\\) ✗ (zdegenerowany).

\n
Sposób 2 - Tożsamość równoległoboku
\n

\\(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\\). Sprawdzenie C: \\(100 + 100 = 200 = 2(25 + b^2) \\Rightarrow b^2 = 75, b = 5\\sqrt 3\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Zasada: przekątne równoległoboku dzielą się wzajemnie na połowy.

"}]}