{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba ൭7\n5\n4 ⋅7\n1\n4 ൱\n2\n3\njest równa\nA. 7\n5\n3\nB. 7ଵ\nC. 7\n3\n2\nD. 7\n10\n3\nRozwiązanie zadania. Liczba (7^{5/4} ⋅ 7^{1/4})^{2/3} jest równa A. 7^{5/3} B. 7^1 C. 7^{3/2} D. 7^{10/3}","answer":"B","answer_text":"2 czerwca 2021 r.\nData publikacji\ndokumentu:","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(7^1 = 7\\)\n\n## Sposób 1 - Upraszczanie krok po kroku (działania na potęgach)\n\n**Krok 1: Upraszczamy wyrażenie w nawiasie.**\n\nMamy iloczyn potęg o tej samej podstawie - dodajemy wykładniki:\n\\[7^{\\frac{5}{4}} \\cdot 7^{\\frac{1}{4}} = 7^{\\frac{5}{4} + \\frac{1}{4}} = 7^{\\frac{6}{4}} = 7^{\\frac{3}{2}}\\]\n\n**Krok 2: Podnosimy wynik do potęgi \\(\\frac{2}{3}\\).**\n\nPotęga potęgi - mnożymy wykładniki:\n\\[\\left(7^{\\frac{3}{2}}\\right)^{\\frac{2}{3}} = 7^{\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{3}} = 7^{\\frac{6}{6}} = 7^1 = 7\\]\n\n**Wynik: \\(\\boxed{7}\\)**\n\n## Sposób 2 - Sprowadzenie do jednego ułamka od razu\n\nZamiast liczyć etapami, od razu zapisujemy całe wyrażenie jako potęgę siódemki i wyznaczamy jeden wykładnik:\n\nWykładnik całego wyrażenia wynosi:\n\\[\\left(\\frac{5}{4} + \\frac{1}{4}\\right) \\cdot \\frac{2}{3}\\]\n\nObliczamy:\n\\[\\frac{5}{4} + \\frac{1}{4} = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}\\]\n\\[\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{6}{6} = 1\\]\n\nZatem wynik to \\(7^1 = 7\\). Zgadza się z Odpowiedzią B. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\n- \\(a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\) - użyte w Kroku 1 do zsumowania wykładników w nawiasie\n- \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) - użyte w Kroku 2 do potęgowania potęgi\n\nTo są dwa kluczowe wzory tego zadania. Oba są wprost na karcie CKE.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(7^{\\frac{5}{3}}\\) | Mnożenie tylko pierwszego wykładnika przez \\(\\frac{2}{3}\\): \\(\\frac{5}{4} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{10}{12} = \\frac{5}{6}\\) - błąd, bo drugi składnik pominięto; albo obliczono \\(\\frac{5}{4} \\cdot \\frac{2}{3} + \\frac{1}{4}\\) w złej kolejności |\n| C: \\(7^{\\frac{3}{2}}\\) | Zatrzymanie się na Kroku 1 - obliczono poprawnie \\(7^{\\frac{3}{2}}\\) wewnątrz nawiasu, ale zapomniano podnieść do potęgi \\(\\frac{2}{3}\\) |\n| D: \\(7^{\\frac{10}{3}}\\) | Pominięcie dodawania wykładników - wzięto tylko \\(\\frac{5}{4}\\) i pomnożono przez 2, potem przez \\(\\frac{2}{3}\\): \\(\\frac{5}{4} \\cdot 2 \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{10}{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Reguła \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) dotyczy CAŁEGO wykładnika w środku - najpierw musisz uprościć wnętrze nawiasu do jednej potęgi, a dopiero potem potęgować.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu ułamków \\(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{3}\\) - dwójki i trójki skracają się \"po krzyżu\", wynik to 1. Łatwo to przeoczyć i dostać coś innego niż całkowity wykładnik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\\(7^{\\frac{3}{2}}\\)) to wynik zadania w połowie drogi - klasyczna pułapka na uczniów, którzy spieszą się przy odczytywaniu zadania.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własności potęg\n\\(7^{\\frac{5}{4}}\\cdot 7^{\\frac{1}{4}} = 7^{\\frac{5}{4}+\\frac{1}{4}} = 7^{\\frac{6}{4}} = 7^{\\frac{3}{2}}\\).\nDalej \\(\\left(7^{\\frac{3}{2}}\\right)^{\\frac{2}{3}} = 7^{\\frac{3}{2}\\cdot\\frac{2}{3}} = 7^{1} = 7\\).\n\n### Sposób 2 - Od razu łączne mnożenie wykładników\nWykładnik: \\(\\left(\\tfrac{5}{4}+\\tfrac{1}{4}\\right)\\cdot \\tfrac{2}{3} = \\tfrac{3}{2}\\cdot\\tfrac{2}{3} = 1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(7^{5/3}\\)** - błędne sumowanie wykładników.\n- **C. \\(7^{3/2}\\)** - pominięto zewnętrzną potęgę.\n- **D. \\(7^{10/3}\\)** - pomnożono zamiast pomnożyć przez \\(\\tfrac{2}{3}\\).\n\n**Zasada:** \\(a^m\\cdot a^n = a^{m+n}\\), \\((a^m)^n = a^{mn}\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (0-1)
Liczba ൭7
5
4 ⋅7
1
4 ൱
2
3
jest równa
A. 7
5
3
B. 7ଵ
C. 7
3
2
D. 7
10
3
Rozwiązanie zadania. Liczba (7^{5/4} ⋅ 7^{1/4})^{2/3} jest równa A. 7^{5/3} B. 7^1 C. 7^{3/2} D. 7^{10/3}

","answer_text_html":"

2 czerwca 2021 r.
Data publikacji
dokumentu:

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(7^1 = 7\\)

\n

Sposób 1 - Upraszczanie krok po kroku (działania na potęgach)

\n

Krok 1: Upraszczamy wyrażenie w nawiasie.

\n

Mamy iloczyn potęg o tej samej podstawie - dodajemy wykładniki:
\\[7^{\\frac{5}{4}} \\cdot 7^{\\frac{1}{4}} = 7^{\\frac{5}{4} + \\frac{1}{4}} = 7^{\\frac{6}{4}} = 7^{\\frac{3}{2}}\\]

\n

Krok 2: Podnosimy wynik do potęgi \\(\\frac{2}{3}\\).

\n

Potęga potęgi - mnożymy wykładniki:
\\[\\left(7^{\\frac{3}{2}}\\right)^{\\frac{2}{3}} = 7^{\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{3}} = 7^{\\frac{6}{6}} = 7^1 = 7\\]

\n

Wynik: \\(\\boxed{7}\\)

\n

Sposób 2 - Sprowadzenie do jednego ułamka od razu

\n

Zamiast liczyć etapami, od razu zapisujemy całe wyrażenie jako potęgę siódemki i wyznaczamy jeden wykładnik:

\n

Wykładnik całego wyrażenia wynosi:
\\[\\left(\\frac{5}{4} + \\frac{1}{4}\\right) \\cdot \\frac{2}{3}\\]

\n

Obliczamy:
\\[\\frac{5}{4} + \\frac{1}{4} = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}\\]
\\[\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{6}{6} = 1\\]

\n

Zatem wynik to \\(7^1 = 7\\). Zgadza się z Odpowiedzią B. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)

\n\n

To są dwa kluczowe wzory tego zadania. Oba są wprost na karcie CKE.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A: \\(7^{\\frac{5}{3}}\\) | Mnożenie tylko pierwszego wykładnika przez \\(\\frac{2}{3}\\): \\(\\frac{5}{4} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{10}{12} = \\frac{5}{6}\\) - błąd, bo drugi składnik pominięto; albo obliczono \\(\\frac{5}{4} \\cdot \\frac{2}{3} + \\frac{1}{4}\\) w złej kolejności |
| C: \\(7^{\\frac{3}{2}}\\) | Zatrzymanie się na Kroku 1 - obliczono poprawnie \\(7^{\\frac{3}{2}}\\) wewnątrz nawiasu, ale zapomniano podnieść do potęgi \\(\\frac{2}{3}\\) |
| D: \\(7^{\\frac{10}{3}}\\) | Pominięcie dodawania wykładników - wzięto tylko \\(\\frac{5}{4}\\) i pomnożono przez 2, potem przez \\(\\frac{2}{3}\\): \\(\\frac{5}{4} \\cdot 2 \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{10}{3}\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Reguła \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) dotyczy CAŁEGO wykładnika w środku - najpierw musisz uprościć wnętrze nawiasu do jednej potęgi, a dopiero potem potęgować.
\n
⚠️ Uwaga: Przy mnożeniu ułamków \\(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{3}\\) - dwójki i trójki skracają się "po krzyżu", wynik to 1. Łatwo to przeoczyć i dostać coś innego niż całkowity wykładnik.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź C (\\(7^{\\frac{3}{2}}\\)) to wynik zadania w połowie drogi - klasyczna pułapka na uczniów, którzy spieszą się przy odczytywaniu zadania.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Własności potęg
\n

\\(7^{\\frac{5}{4}}\\cdot 7^{\\frac{1}{4}} = 7^{\\frac{5}{4}+\\frac{1}{4}} = 7^{\\frac{6}{4}} = 7^{\\frac{3}{2}}\\).
Dalej \\(\\left(7^{\\frac{3}{2}}\\right)^{\\frac{2}{3}} = 7^{\\frac{3}{2}\\cdot\\frac{2}{3}} = 7^{1} = 7\\).

\n
Sposób 2 - Od razu łączne mnożenie wykładników
\n

Wykładnik: \\(\\left(\\tfrac{5}{4}+\\tfrac{1}{4}\\right)\\cdot \\tfrac{2}{3} = \\tfrac{3}{2}\\cdot\\tfrac{2}{3} = 1\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Zasada: \\(a^m\\cdot a^n = a^{m+n}\\), \\((a^m)^n = a^{mn}\\).

"}]}